14全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（教师版）.docx

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1、专题14全等与相似模型一线三等角（K字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180。与三角形内角和为180。，证得两个三角形全等。【常见模型及证法】同侧型一线三等角:锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）条件：ZA = /CED= B+ CE=DE证明思路：NA=NB,/C

2、=/BED+任一边相等dBEOmACE异侧型一线三等角:锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：NFAC=ZABD=NCED+任意一边相等证明思路：ZA=NB,ZC=N8EO+任一边相等=.8EACE例1.（2021山东日照中考真题）如图，在矩形A88中,AB=8cm,AD=I2cm,点P从点6出发,以2cms的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以UCmzS的速度沿8边向点。运动,到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当V为时，AABP与PCQ全等.【分析】可分两种情况：MBP=PCQ得到期=CQ,AB=PC,A8PmAQCP得到

3、BA=CQ,PB=PC,然后分别计算出，的值，进而得到V的值.【详解】解：当BP=CQ,AB=PC时，MBPNkPCQ,AB=Scm,.PC=Scm,BP=12-8=4（c?）,2/=4,解得：1=2,.CQ=BP=Acm,.v2=4,解得：v=2；行8A=CQ,PB=PC时,ABP三CP,PB=PC,.BP=PC=cn,2=6,解得：，=3,QCQ=AB=Scm,.p3=8,解得：V=-,综上所述，当u=2或I时，MBPLmPQC全等,故答案为：2或g.【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.例2.（2022黑龙江九年级期末）（1）如图（

4、1）,已知：在EABC中，SIBAC=90。，AB=AC,直线机经过点A,BD0直线加，C0直线?，垂足分别为点。、E.证明团OE=8O+CE.（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在（MBC中，AB=AC,。、4、E三点都在直线m上，并且有0D=0AEC=0C=f,其中为任意锐角或钝角.请问结论OE=BD+C石是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3）,D、E是。、A、E三点所在直线相上的两动点（D、A、E三点互不重合），点尸为13BAC平分线上的一点，且SABF和IMb均为等边三角形，连接8、CE,若（38DA=（MEC=3BAC,试判DEF的形状

5、.【答案】（D见解析（2）成立，证明见解析（3）用QE尸为等边三角形，证明见解析【分析】（1）DE=DA+AEf故由全等三角形的判定AAS证0AOB三1CE4,得出DA=EaAE=BD,从而ilEDE=I3D+CE;(2)成立，。)然通过证明0A。做回CE4,得出8D=AE,AD=CE,fDE=DA+AE=EC+Bl(3)Ftl0AD三CEA得BD=AE,BDBA=CAE,由0A8尸和0AC户均等边三角形，得0A8尸=团。F=60。，FB=FA.所以W8A+a钻尸=ISCAE+13C4尸，即008户WE4E,所以团OBKSMAR所以FD=FE,0BFD=AFE,再根据DFE=DFA+AFEDF

6、ABFD=60q得到团OM是等边三角形.【详解】解：(1)证明：团8D0直线m,C0直线m,00DA=0CE=9Oo.00BAC=9O%BAD+CAE=90o.00D+(3ABD=9Oo,00C4E=0ABD.XAB=AC,00AD三3CEA(AAS).IME=BD,AD=CE.(3DE=AE+AD=BD+CE:(2)成立.证明如下：WDA=WAC=a,BBDBABAD=BAD+0C4E=18Oo-.DB=CAE.三DA=BAEC=,B=AC,00ADB(30CE4(AAS).0AE=BO,AD=CE.(WE=AE+AD=孙CE；(3)团QE/为等边三角形.理由如卜：由(2)知，0AQ8三CE

7、A,BD=AE,WBA=0C4,团0ABF和0C/均为等边三角形，0F=0CAF=6Oo.00DBA+aABF=0CAE+0CAF.三DBF=0ME.05F=AF,00DBj三E4F(SAS).0DF=EF,0FD=0AFE.00DFE=0DM+a4FE=WFA+BFD=60o.囤DEF为等边三角形.【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定.例3.（2022广东汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形A8C中，财。8=90。，CB=CAt直线EO经过点C,过A作AZ）0EO于。，过B作8

8、瓦Ez）于求证：BBE（MCDA:（2）模型应用：已知直线AB与y轴交于A点，与X轴交于8点，sin0A8O=,08=4,将线段AB绕点8逆时针旋转90度，得到线段8C,过点4。作直线，求直线AC的解析式；如图3,矩形ABCO,O为坐标原点，3的坐标为（8,6）,A,C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点。在第一象限，且是直线用2工-5上的一点，若0AP。是以。为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点。的坐标.图1图2【答案】(1)见解析；(2)=一白+3：。(3,【详解】(1)解：由题意可得，ZACB=ZADC=ZBEC=90,0ZEBC+ZBCE=ABCE+ZACD=90,

9、NEBC=ZACD,NEBC=/ACD在43EC和JCzM中，NE=ND,BECACDA(AAS),BC=AC(2)解：如图，过点。作CDlx轴于点O,在K向钻。中sin08O=j,OB=4,0iAO=3m,AB=Sm,OB=4n=4,w=l,HA0=3,同(1)可证得ACH且MOA,团CD=Bo=4,BD=A0=3,0OD=4+3=7,0C(-7,4),回A(0,3),设直线AC解析式为y=kx+3,把C点坐标代入可得-7A+3=4,解得k=,13直线AC解析式为y=-l+3;设O坐标为(x,2x-5),当。在A8的下方时，过。作。0)，轴于E,交8C于E同(1)可证得0ADE三3DPF,0

10、DF=AE=6-(Zv-5)=Il-Zv,DE=X,团11-2+=8,Sv=3,0D(3,1),当。在AB的上方时，如图，过。作。Ey轴于E,交4C的延长线于E同（1）可证得,BDF=AE=（2-5）-6=2-11,DE=x,S2x-11+-8,0x=y.m喈，小综上述D（3,1）或喈，胃【点睹】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法-次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键.例4.（2023湖南岳阳统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2,M=40。，点。在线段BC上运动（点。不与点B、C重合），连接AO,作IMDE=40

11、。，OE交线段AC于点E（1）当08D4=115时，EDC=o,AED=；（2）线段。的长度为何值时，a4BQ0I3QCE,请说明理由；（3）在点。的运动过程中，AAOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求团SD4的度数；若不可以，请说明理由.【答案】(1)25,65；(2)2,理由见详解：(3)可以，110。或80。.【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；(2)当DC=2时，禾IJ用(3DEC+0EDC=14O,0ADB+EDC=14Oo,求出0ADB=(3DEC,再利用AB=DC=2,即可得出0ABD瓯DCE.(3)当团BDA的度数为110。或80。时，BADE的形状是等腰

12、三角形.【详解】解：(1)00B=4Oo,0ADB=115o,00BAD=18Oo-0B-3ADB=18Oo-115o-4Oo=25%0AB=AC,00C=0B=4Oo,00EDC=18Oo-0ADB-0ADE=25o,B0DEC=18Oo-0EDC-aC=115,AED=180o-DEC=180o-115o=65o;(2)当DC=2时，回ABD困DCE,理由：00C=4Oo,国DECMEDC=140,又0ADE=4O,l113ADB+0EDC=14Oo,三ADB=0DEC,NADB=NDEC又13AB=DC=2,在0ABD和团DCE中，B=C00ABDS0DCE(AAS)；AB=DC(3)当

13、团BDA的度数为110。或80。时，团ADE的形状是等腰三角形，皿BDA=Ilo。时，00ADC=7Oo,00C=4Oo,0DAC=7Oo,SEADE的形状是等腰三角形；团当回BDA的度数为80。时，00ADC=1OO%00C=4Oo,00DAC=4Oo,00ADE的形状是等腰三角形.【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.例5.（2022浙江杭州一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABC。是正方形，点上在BC上，OmAE于尸，请问图中是否存在一组全等

14、三角形？小杰同学经过思考发现：ADFWEAB.理由如下：因为ABC。是正方形（已知）所以囹B=90且AD=48和AO38C又因为。阳AE（已知）即团。幺=90。（垂直的意义）所以团。心=团8（等量代换）又AD38C所以团1=02（两直线平行，内错角相等）ZDFA=NB在（M。尸和MAB中JNl=22所以0AOF三E48（AAS）AD=AB小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等.你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与0A。尸全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由.【答案】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作B

15、HsIAE于点H,证明见详解；【分析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与朋DF全等的三角形成立的理由即可解答本题；【详解】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作BHME于H,则EIADF画BAH；回四边形ABCD是正方形，SAD=BA,团DAB=90。，K2HAB+FAD=90%0DF0AE,BH0AE,00DFA=IaAHB=90,00HAB+0HBA=9Oo,BBFAD=团HBA,ZDFA=ZAHb在SADF和团BAH中，ZFAD=NHBA03ADF三3BAH(AAS);AD=BA【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答；例6.（2022山东九年级课时练习）（1）课本习题回放:“如图，ZACB=90o,AC=