代数基本定理.docx
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1、学校代码:10200学号:1212408014本科毕业论文代数基本定理学生姓名:龚三指导老师:陈良云教授所在学院:数学及统计学院所学专业:数学及应用数学中国长春2019年5月摘要本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法,主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论学问,为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节:第一节是复函数和复分析;其次节是柯西-黎曼方程:第三节是保角映射和解析性.部分:主要介绍了运用伽罗瓦理论的学问来证明代数基本定理,使得代数基本定理更简洁而且简洁理解.部分二主要分为三节:第一节是伽罗瓦理论概述;其次节是有限群理论的一些结论
2、;第三节是伽罗瓦扩张.关健词:柯西-黎曼方程,保角映射,代数基本定理,置换群,伽罗瓦扩张AbstractThisthesisexp1.ainsthemethodofthefundamenta1.ofa1.gebra,comp1.exana1.ysistoprovethatthemethodsandgrouptheory,dividedintotwomajorcontents.Thecontentoneintroducescomp1.exana1.ysisandcomp1.exfunctionofthebasictheoretica1.know1.edge,to1.aythefoundation
3、behindthecomp1.exana1.ysisofthefundamenta1.theoremofa1.gebratoprove.Thecontentoneisdividedinthree:Sectiononeisthecomp1.exfunctionsandana1.ysis;SectiontwoistheCauchy-Riemannequations;Sectionthreeistheconforma1.mappingandana1.yticnature.Thecontentsoftwomainuseoftheknow1.edgeoftheGa1.oistheorytoproveth
4、efundamenta1.theoremofa1.gebra,fundamenta1.theoremofa1.gebraissimp1.eandeasytounderstand.Thecontenttwoismain1.ydividedintothree:SectiononeisanoverviewoftheGa1.oistheory;Sectiontwoissomeoftheconc1.usionoftheGa1.oisexpansion.Keywords:Cauchy-Riemannequations,Conforma1.mapping,Fundamenta1.TheoryofAIgebI
5、aPermutationgroup,Ga1.oisexpansion书目摘要1Abstract1书目21复分析和复函数31.1 受函数和分析性31.2 柯西-黎曼方程61.3 保角映射和解析性102伽罗瓦定理122.1伽罗瓦理论概述122.2有限群理论的一些结论142.3伽罗瓦扩张18参考文献20致谢211复分析和复函数1.1复函数和分析性本章的最终部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微枳分.然而,证明表明白一个更为普遍的结论,叫做刘维尔定理.从这个结论动身,代数基本定理将是一个很简洁的结论.为说明这种方法,我们必需先介绍复分析,复变函数的基本概念.复函数w=f(三),函数f:
6、CTC.w,ZeC.那么为复变函数的复平面的几何说明,一个复函数是从一个复平面的映射(或变换)到复平面上.若Z=K+iy=(x,y),w三u+iv,U=U(x,y),v=v(x,y)是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.W=f(三)=u(三)+v(三)函数U(三)称为f(三)的实部,记为Ref(三);V(三)称为f(三)的虚部,记为Imf(三).f(三)的分析问题许多状况都回来到分析u(x,y)及v(x,y).例1.1.1考虑复函数/(三)=J,确定于它的实部和虚部.假设z=iy,那么z=(x+iy)=(-yi)+i(2xy).因此Ref(三)=X-y?,Imf(三)=2xy.若
7、ZOeC且Z。的一个开领域记为N.(Zo)N(Z)=zwC,|zz(J0满足N,(三)uU.区域CUC是闭的当且仅当它的补集c是开集.等价的说,C是闭集当且仅当全部的收敛序列z.uC都有Z“fzeC.区域U必有界的当Uuz4raw/?.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知,一个实值函数在一个紧凑区域D上是有界的,且能够取到最大值和最小值.一个开区域U是连通的当U中随意的两点能够被有限序列的连结,且这些线段在包含在U内.现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义更函数的极限.定义1.1.1可/=卬。,对V0,第0,当OZ-z加,都有(三)-HU.其中1/(三)-WQ
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