代数基本定理.docx

学校代码：10200学号：1212408014本科毕业论文代数基本定理学生姓名：龚三指导老师：陈良云教授所在学院：数学及统计学院所学专业：数学及应用数学中国长春2019年5月摘要本论文主要讲解代数基本定理的复分析证明方法和群论证明方法，主要分为两大部分.部分一主要介绍复分析和复函数的一些基础理论学问，为后面代数基本定理的复分析证明方法奠定基础.部分一分为三节：第一节是复函数和复分析；其次节是柯西-黎曼方程：第三节是保角映射和解析性.部分：主要介绍了运用伽罗瓦理论的学问来证明代数基本定理，使得代数基本定理更简洁而且简洁理解.部分二主要分为三节：第一节是伽罗瓦理论概述；其次节是有限群理论的一些结论；第三节是伽罗瓦扩张.关健词：柯西-黎曼方程，保角映射，代数基本定理，置换群，伽罗瓦扩张AbstractThisthesisexp1.ainsthemethodofthefundamenta1.ofa1.gebra,comp1.exana1.ysistoprovethatthemethodsandgrouptheory,dividedintotwomajorcontents.Thecontentoneintroducescomp1.exana1.ysisandcomp1.exfunctionofthebasictheoretica1.know1.edge,to1.aythefoundationbehindthecomp1.exana1.ysisofthefundamenta1.theoremofa1.gebratoprove.Thecontentoneisdividedinthree:Sectiononeisthecomp1.exfunctionsandana1.ysis;SectiontwoistheCauchy-Riemannequations;Sectionthreeistheconforma1.mappingandana1.yticnature.Thecontentsoftwomainuseoftheknow1.edgeoftheGa1.oistheorytoprovethefundamenta1.theoremofa1.gebra,fundamenta1.theoremofa1.gebraissimp1.eandeasytounderstand.Thecontenttwoismain1.ydividedintothree:SectiononeisanoverviewoftheGa1.oistheory;Sectiontwoissomeoftheconc1.usionoftheGa1.oisexpansion.Keywords：Cauchy-Riemannequations,Conforma1.mapping,Fundamenta1.TheoryofAIgebIaPermutationgroup,Ga1.oisexpansion书目摘要1Abstract1书目21复分析和复函数31.1 受函数和分析性31.2 柯西-黎曼方程61.3 保角映射和解析性102伽罗瓦定理122.1伽罗瓦理论概述122.2有限群理论的一些结论142.3伽罗瓦扩张18参考文献20致谢211复分析和复函数1.1复函数和分析性本章的最终部分给出代数基本定理的证明仅运用了两个变量的实值函数微枳分.然而，证明表明白一个更为普遍的结论，叫做刘维尔定理.从这个结论动身，代数基本定理将是一个很简洁的结论.为说明这种方法，我们必需先介绍复分析，复变函数的基本概念.复函数w=f（三）,函数f:CTC.w,ZeC.那么为复变函数的复平面的几何说明，一个复函数是从一个复平面的映射(或变换)到复平面上.若Z=K+iy=(x,y),w三u+iv,U=U(x,y),v=v(x,y)是二元实值函数.所以任何复函数是由两个实质函数构成.W=f（三）=u（三）+v（三）函数U（三）称为f（三）的实部，记为Ref（三）;V（三）称为f（三）的虚部，记为Imf（三）.f（三）的分析问题许多状况都回来到分析u(x,y)及v(x,y).例1.1.1考虑复函数/（三）=J,确定于它的实部和虚部.假设z=÷iy，那么z=(x+iy)'=(-yi)+i(2xy).因此Ref（三）=X'-y?,Imf（三）=2xy.若ZOeC且Z。的一个开领域记为N.(Zo)N(Z«)=zwC,|zz(J<£.一个区域是随意复数集合.区域UUC是开的当且仅当对随意的ZHUj£>0满足N,（三）uU.区域CUC是闭的当且仅当它的补集c'是开集.等价的说，C是闭集当且仅当全部的收敛序列z.uC都有Z“fzeC.区域U必有界的当Uuz4raw/?.复数域上一个闭集且有界的区域称为紧凑区域.从高深的微积分中可知，一个实值函数在一个紧凑区域D上是有界的，且能够取到最大值和最小值.一个开区域U是连通的当U中随意的两点能够被有限序列的连结，且这些线段在包含在U内.现在我们在本质上以单变量实值函数同样的方式定义更函数的极限.定义1.1.1可/=卬。,对V£>0,第>0,当O<Z-z<加，都有（三）-HU<£.其中1/（三）-WQ1.与IZ-Zo1.表示复平面上的距离全部的对初等微积分，求和，常数适用的极限定理都适用于复函数.事实上，计算极限通常转化为求函数的实部和虚部.引理1.1.1.若f(x)=u（三）+iv（三）则Iim/（三）=IimW（三）+iIimV（三）.iZ.i*Z.J-,Z»例1.1.2/（三）=(+y)+/(2.n,)，求Iim/（三）.由引理1.1.1a<,=2+i运用极限，我们可以探讨连续和可微.定义1.1.2w=f（三）在Z=Z“是连续的当Iim/（三）=(z,)f（三）在区域U上IZ1>是连续的，当f（三）在U上的全部点是连续的.全部关于单变量的实值函数连续性的结论都适用于复函数.更进一步的说，连续性的问题归结于函数的实部和虚部的连续性.引理1.1.2f（三）=u（三）+iv（三）在z0=(,.)是连续的当且仅当实函数u(x,y),v(x,y)在点(Xn是连续的.复多项式是通过代数运算建立的，可以看做是f：CC.且且多项式在C上是到处连续.因为Iz"IT8当Zoo;If（三）8当IZ1.TOO.对随意的特别数多项式f（三）WCU,f（三）I是连续的实函数且在随意紧凑的区域上有界.现在起先，我们将复多项式看成一个在复数域C上的多项式函数.引理1.1.3f（三）eQzb则有:f（三）在C上是连续的.(2)Iim1./（三）=8当f（三）是特别值函数.f（三）I在C中全部紧凑型区域上是有界的.现在我们以定义实函数导数的方式来定义宜函数的导数.定义1.1.3若f（三）是复函数，那么在Z,fC的导数/(Z。)是AZJ=J丝嗯二3,当极限存在.若f(Z.)存在，则f（三）在z,是可微的.若f（三）在区域上的每一个点都可微，则f（三）在区域上是可微的.引理1.1.4若/（三）=c,o+&z+a,z"，则在每一个ZOGC存在，1/(z,)=+25z<+圆z：'若f（三）qz且degf（三）,则/WcM且dcg（三）=dcgf（三）-1.若f（三）=")是常值函数，则J（三）=0.若y=f(>是单变量实函数，则尤,)是表示在尤点的切线的斜率.复导数也能够有几何说明，我们将在1.3进行说明.首先，我们介绍大致思路.定义1.1.4w=f（三）在Za点是解析的当f（三）在区域N(Z0)上是可微的.f（三）在区域U上是解析的当f（三）在U中每一个点都是解析的.若f（三）在C上是解析的，则称F（三）是整函数.从引理1.1.4可知，每一个复多项式都是整函数.我们以一个函数为例，此函数在Z“点复导数存在，但在z。处不解析为了理解这个例子，我们须要先介绍下面的结论.若八Z)="+MZ),则定义务专+g,W=兴彦xBxxyyy引理1.1.5若w=f（三）是实值函数，则当/(z,1)存在，有/(Zo)=f(Zo)=f(Zo)证明：从定义知f(Z0)=Fq四嗯二四，因为f（三）是实值函数，必需有相同的实部，所以f（三）=u（三）所以/(Zt)=M产喂啜因为/(Z。)存在，所以极限是独立的.沿着一条平行线接近实轴z=X-,V=0,综上所述可知：f(z=Iim"("ADiW=包=更类似的，jaoa-SXex沿着一条平行线接近虚轴，可得到f(z强.例1.1.3若f（三）=zf,/(O)存在.但是f（三）是在Z=O处不解析.若z0=o,f（三）=|z，"z°+RKzJ=也整=0.因此,/存在，且/()=0.但是f（三）在z=0处不解析.若z=x+iy,z=x，+y'.若(ZJ存在，则由引理41.5可知"(z0)=/zJ=2x>=9(zJ=2y。这导数存在仅仅在kX这条线上，所以不存在N(O)满意£包)在2,(。)上可微,所以f（三）=z在Z=O处不解析.在下一部分,我们将给出f（三）=z仅在Z=O处是连续的.1.2柯西W曼方程若f（三）=u（三）+iv（三）在Zo处可微，则)二im"(Z/A2)+“'(Z°+AZ)一("(Z,)+Mzj)JZGXOAz由于极限存在，让至以平行于实轴方向靠近0,这种状况下，让z以平行于虚轴方向去竟近0,在这种状况下，因为导数存在，这两个表达式必需相等，因此在乙,点我们有：这些关系我们称为柯西-黎曼方程.定义1.2.1u(x,y)v(x,y)满意柯西-黎曼方程假如定理1.2.1若f（三）=u（三）+iv（三）在Z“可微，则要，等,3,在ZOxyxy处存在且满意柯西-黎曼方程,即/(Z1.JY(Z0)+琮(ZJ啜zJ-嘿(Z(I)更一般地，若f（三）在区域U上是解析的，则它的实部和虚部在U上必需满意柯西黎曼方程.若f（三）=u（三）+iv（三）,且u（三）,V（三）在U上连续且满意柯西-黎曼方程，则f（三）在U上是解析的.下面符给出证明.Zi,eU,我们必需证明了(Zj存在考虑：因为u(x,y)>V(x>y)在(心,y)偏导连续，有=*x+/Ay+£4+£处和导)，+£4+£内.所以，运用柯西-黎曼方程有翻券=I+现在2=a+的则上式成为im(+噌+&*3g)其中有5.fy,0当70.1.tz,yz.J*1|占1.因此/(Zj=S(Z尸合)，故f（三）在M=义,？=-竽处可微.oxyexy定理1.2.2若f（三）=u（三）+iv（三）,若/(z=)在z°=(>yp处存在，则(x,y)v(x,y)在(X必需满意柯西-黎曼方程.(2)若f（三）=u（三）+iv（三）,若u(x,y)v(x,y)在ZO=(Xo.y)连续，且满意柯西-黎曼方程，则/(z“)存在，即f（三）在z«处可微.推论1.2.1假如f（三）=u（三）+iv（三）,u(x,y)v(x,y)在UUC上连续，则f（三）在U上是解析的当且仅当u,V满意柯西-黎曼方程.例1.2.1/(2)=e1cosy+Zsiny,则f（三）在C处是解析的且有/（三）=（三）.u(x,y)=eAcosyv(x,y)=/Sin)是连续可微的双变量实函数.因此，为了表明f（三）是解析的，我们必需验证它们满意柯西-黎型方程.故W=T对全部C中的点均满意此等式.所以f（