3.1.2椭圆的几何性质（十大题型）.docx

《3.1.2椭圆的几何性质（十大题型）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.1.2椭圆的几何性质（十大题型）.docx（60页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、3.1.2椭圆的几何性质课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想.1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线.知识点一:椭圆的简单几何性质2我们根据椭圆=+2=1（ZO）来研究椭圆的简单几何性质a-b2椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=6和y=6所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x,3A.对于椭圆标准方程=1 椭圆的对称性或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y,方程都22不变,所以椭圆5+5=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心

2、的中心对称图形,a2b2这个对称中心称为椭圆的中心.椭圆的顶点椭圆椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.=1（bX）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A（-0），4（。,0），BI（OLb）,与（0方）.线段44，B也分别叫做椭圆的长轴和短轴，IAAI=2*忸闻=2b.和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=.a因为4cX）,所以e的取值范围是OJa2+b2；（3） =A2F2=a-C,17=A27*J=a+c,a-cPFla+c；【即学即练1】（多选题）（2023高二课时练习）已知椭圆。:=+f=1的左，右

3、焦点为B,F2,点P为椭169圆C上的动点（P不在X轴上），则（）A.椭圆C的焦点在X轴上B.5的周长为8+27C.IP用的取值范围为E，41D.椭圆的离心率为立.4）4【答案】ABD【解析】A：由椭圆方程知：=40=3,故椭圆C的焦点在戈轴上，正确；B：由c=,且aPKK的周长为IMI+1?K+KE=2+2c=8+27,正确;C：由尸为椭圆C上的动点且不在X轴上，则IP用（Q-CM+c）=（4-J7,4+7）,错误；D：椭圆的离心率为e=立，正确.a4故选：ABD知识点二：椭圆标准方程中的三个量。、b、C的几何意义椭圆标准方程中，4、仄C三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆木身的形状大小所确定

4、的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：abO,acO,且2=2+c2.可借助下图帮助记忆：a、仄C恰构成一个直角三角形的三条边，其中。是斜边，b、。为两条直角边.和4、b、C有关的椭圆问题常与与焦点三角形/与玛有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SAW/=gP周伊周SinNGP/相结合的方法进行计算与解题，将有关线段IPE卜I尸周、FlF2f有关角NKPF2（NrP玛N耳明）结合起来,建立IP川+|尸周、IPKlP局之间的关系.【即学即练2】（多选题）（2023重庆沙坪坝高二重庆八中校考阶段练习）已知6（-c,0）

5、,用90）为椭圆A. IOPI=辰=1的左、右焦点，点尸为椭圆上一点，且P%PF?=2c2,下列说法正确的是（B.离心率范围C.当点尸为短轴端点时，APGB为等腰直角三角形D.若S%玛=缶2,则tanZ-FxPF2=-Jl【答案】ABD【解析/pfcpf2=poofpo+of=po+ofpo-of=pc-0Fi：.PFlPF2=P0i-c2,又Pg花=2?,2c2=P0l-c2,OP=3c,故A正确;VOP=3c,b(OPat:.bVJCaWa2-c23c2a2.Le且，故B正确；23当点P为短轴端点时，op=辰，|彳凰=，4PM为等边二角形，故C错误;若SPg=2c2,又SPg=2SK=PO

6、F2sinPOF2：.S%F2=|。斗I。段SinNP。6二5ccsinP。鸟=-Jlc1,sinZPO不妨设NP。鸟为锐角，则NP。耳为钝角，.cosPO5=冬PF2=Pi+0s2-2OPOF2cosZPOF2=2c2,P=2c,同理可得IPKl=辰,2+6c4z,2T：SSNFlPF2=厂-言=上,tanZP=2,故D正确.22c6c3故选：ABD对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(,0),(0,b)(0,4),(土方,0)轴长轴长=2,短轴长=力离心率e=-(0e匕0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都abab-有b0和e=(Ovel),a2=b2+c2不同点为两种椭圆的位置不同

7、，它们的焦点坐标也不相同；a椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看/、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.【即学即练3】(2023黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知曲线C的方程为4V+N=4,则下列说法正确的是.曲线C关于坐标原点对称；的取值范围是115：曲线C是一个椭圆；曲线C围成区域的面积小于椭圆E:+y2=i围成区域的面积4【答案】【解析】对于，若点(Ky)满足曲线。的方程，则点(-,-y)也一定满足曲线C的方程，所以曲线C关于坐标原点对称，故正确；对于，y=4(l-x2)4,所以Yy4,故错误；对于，当y0时，y=-4x2+4,此时T

8、xl,当yv时，y=4x2-4,此时Tx50);ah-22若点May)在椭圆内，则有q+MbO);ab2若点May)在椭圆外，则有4+*1(0人0).albi直线与椭圆的位置关系将直线的方程y =履+。与椭圆的方程+反a2 b2=1 (%0)联立成方程组，消元转化为关于X或y的一元二次方程，其判别式为.()o直线和椭圆相交。直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；=()o直线和椭圆相切。直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；)。直线和椭圆相离。直线和椭圆无公共点.直线与椭圆的相交弦设直线y=去+交椭圆土+=l(abO)于点R(XpyJ，鸟(%2，%)两点，则crZr同理可得I片6I=Iy1-J2

9、I (0)这里I3-毛1，ly-%的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】(2023全国高二课堂例题)过椭圆3+4y2=48的左焦点引直线交椭圆于A,8两点，且=7,则直线方程为.【答案】瓜+2)，+2痒0或Ir-2y+2=022【解析】椭圆3+4y2=48,即3%=,则=4,方=2Bc=2,左焦点为(-2,0),设直线ABhx=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),.3x2+4y2=48_、2由,得3(my-2)2+4=48,X=my-2整理得(3,+4)y22my-36=0,因为A=144m2+144(3m2+4)0,乂+% 所以00）上两点A、B,其中A8中点为P（X

10、0,%）,则有原丁即产-7-a”【即学即练5（2023江西宜春高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆Udf=1,过点尸卜,：的直线43k2；交椭圆C于A、3两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为【答案】3x+2y-4=0xi+x2 =2 y + )2=ll=【解析】设点A（n，），J、8（孙必），由中点坐标公式可得2所以.2,122= =2213 2%- 3+ +,年一 4 2歪4,两式作差得即华山43T所以,X1+X2X1-Xj24I3因此，直线AB的方程为y-=-(x-1),即3x+2y-4=0.故答案为：3x+2y-4=0.题型一：椭圆的几何性质例1.(多选题)(2023辽宁大连高二大连

11、市第二十三中学校联考期中)设椭圆G9+=l(ab0)的左、右焦点分别为石、八，上、下顶点分别为A、A?,点P是C上异于A、4的一点，则下列结论正确的是()I4A.若。的离心率为则直线PA与P4的斜率之积为-彳B.若尸KIPK,则APKE的面积为从C.若。上存在四个点尸使得尸HLPE,则C的离心率的范围是(0,孝D.若PK助恒成立，则C的离心率的范围是(OT【答案】BD【解析】A.设尸(%,%),所以W+算=1,因为e=f=2,.=2c,./=:，a2b2a23所以,+*=L32+4%2=4/所以女&=生士生匕支WLIj2_3,所以该3baXOXoAO-一群一4选项错误；B.若WJ_尸工，则I尸I+1%I=2a,PfJ2+PF2F=4c所以IPEl.%I=2护,则即玛的面积为；|尸|尸6|=从,所