3.1.2椭圆的几何性质（十大题型）.docx

3.1.2椭圆的几何性质课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想.1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线.知识点一:椭圆的简单几何性质2我们根据椭圆=+2=1（>Z>>O）来研究椭圆的简单几何性质a-b2椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±6和y=±6所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x,3A.对于椭圆标准方程=1 >椭圆的对称性或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y,方程都22不变,所以椭圆5+5=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,a2b2这个对称中心称为椭圆的中心.椭圆的顶点椭圆椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.=1（>bX）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A（-0），4（。,0），BI（OLb）,与（0方）.线段44，B也分别叫做椭圆的长轴和短轴，IAAI=2*忸闻=2b.和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=£.a因为4>cX）,所以e的取值范围是O<X1.e越接近1,则c就越接近。，从而b=Ja?-/越小,因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,从而越接近于叫这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为/+V=/.知识点诠释: + 1的图象中线段的几何特征（如下图）：（1） PF.+PFA=2af且1=旦3L=e,PM.+PM,|=；1 "121IPMPM2,-C（2） BF=BF2=a,0Fl=0F2=cfA2B=AiB=>Ja2+b2；（3） =A2F2=a-C,17=A27*J=a+c,a-cPFla+c；【即学即练1】（多选题）（2023高二课时练习）已知椭圆。:=+f=1的左，右焦点为B,F2,点P为椭169圆C上的动点（P不在X轴上），则（）A.椭圆C的焦点在X轴上B.5的周长为8+27C.IP用的取值范围为E，41D.椭圆的离心率为立.4）4【答案】ABD【解析】A：由椭圆方程知：=4>0=3,故椭圆C的焦点在戈轴上，正确；B：由c=",且aPKK的周长为IMI+1?K+KE=2+2c=8+27,正确;C：由尸为椭圆C上的动点且不在X轴上，则IP用（Q-CM+c）=（4-J7,4+7）,错误；D：椭圆的离心率为e=£=立，正确.a4故选：ABD知识点二：椭圆标准方程中的三个量。、b、C的几何意义椭圆标准方程中，4、仄C三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆木身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a>b>O,a>c>O,且2=2+c2.可借助下图帮助记忆：a、仄C恰构成一个直角三角形的三条边，其中。是斜边，b、。为两条直角边.和4、b、C有关的椭圆问题常与与焦点三角形/与玛有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SAW/=gP周伊周SinNGP/相结合的方法进行计算与解题，将有关线段IPE卜I尸周、FlF2f有关角NKPF2（NrP玛N耳明）结合起来,建立IP川+|尸周、IPKlP局之间的关系.【即学即练2】（多选题）（2023重庆沙坪坝高二重庆八中校考阶段练习）已知6（-c,0）,用90）为椭圆A. IOPI=辰=1的左、右焦点，点尸为椭圆上一点，且P%PF?=2c2,下列说法正确的是（B.离心率范围C.当点尸为短轴端点时，APGB为等腰直角三角形D.若S%玛=缶2,则tanZ-FxPF2=-Jl【答案】ABD【解析/pfcpf2=poofpo+of=po+ofpo-of=pc-0Fi：.PFlPF2=P0i-c2,又Pg花=2?,2c2=P0l-c2,OP=3c,故A正确;VOP=3c,b(OPat:.b<VJCa»Wa2-c23c2<a2».Le且，故B正确；23当点P为短轴端点时，op=辰，|彳凰="，4PM为等边二角形，故C错误;若SPg=2c2,又SPg=2SK=POF2sinPOF2：.S%F2=|。斗I。段SinNP。6二5ccsinP。鸟=-Jlc1,sinZPO不妨设NP。鸟为锐角，则NP。耳为钝角，.cosPO5=冬PF2=Pi+0s2-2OPOF2cosZPOF2=2c2,P=2c,同理可得IPKl=辰,2+6c4z,2T：SSNFlPF2=厂-言=上,tanZP=2,故D正确.2×2c×6c3故选：ABD对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(±,0),(0,±b)(0,±4),(土方,0)轴长轴长=2,短轴长=力离心率e=-(0<e<)a222N知识点诠释：椭圆三+=1,5+0=1(>匕>0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都abab-有>b>0和e=£(Ove<l),a2=b2+c2不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；a椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看/、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.【即学即练3】(2023黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知曲线C的方程为4V+N=4,则下列说法正确的是.曲线C关于坐标原点对称；的取值范围是115：曲线C是一个椭圆；曲线C围成区域的面积小于椭圆E:+y2=i围成区域的面积4【答案】【解析】对于，若点(Ky)满足曲线。的方程，则点(-,-y)也一定满足曲线C的方程，所以曲线C关于坐标原点对称，故正确；对于，y=4(l-x2)4,所以Yy4,故错误；对于，当y0时，y=-4x2+4,此时Txl,当yv时，y=4x2-4,此时T<x<l,所以曲线。由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故错误；对于，因为椭圆七:寸十丁二的面积与椭圆I1+/=1的面积相等，44作出曲线C与椭圆f+Y=,4,曲线C围成区域的面积大于椭圆%”佃成区域的面积,2所以曲线C围成区域的面积大于椭圆E:二+y2=l围成区域的面积，4故错误.故答案为：.知识点四：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点May),22若点M(Ky)在椭圆上，则有+=1(>5>0);ah-22若点May)在椭圆内，则有q+M<l(>b>O);ab2若点May)在椭圆外，则有4+*>1(0>人>0).albi直线与椭圆的位置关系将直线的方程y =履+。与椭圆的方程+反a2 b2=1 (>%>0)联立成方程组，消元转化为关于X或y的一元二次方程，其判别式为.>()o直线和椭圆相交。直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；=()o直线和椭圆相切。直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；«)。直线和椭圆相离。直线和椭圆无公共点.直线与椭圆的相交弦设直线y=去+交椭圆土+±=l(a>b>O)于点R(XpyJ，鸟(%2，%)两点，则crZr同理可得I片6I=Iy1-J2I (0)这里I3-毛1，ly-%的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】(2023全国高二课堂例题)过椭圆3+4y2=48的左焦点引直线交椭圆于A,8两点，且=7,则直线方程为.【答案】瓜+2)，+2痒0或Ir-2y+2=022【解析】椭圆3+4y2=48,即3%=,则=4,方=2Bc=2,左焦点为(-2,0),设直线ABhx=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),.3x2+4y2=48_、2由,得3(my-2)2+4=48,X=my-2整理得(3,+4)y22my-36=0,因为A=144m2+144(3m2+4)>0,乂+% 所以<y% =2rn3rn2+4-363w2+43m2 +4解得m = ±1,12ffl Y 1443m2 + 4)+ 3w2 + 4所以IAM=Jl+/.J(y+必)24乂必=Jl+/2所以直线AB为=±忑y-2,即氐+25+26=0或6.2），+2。=0.故答案为：3x+2y+23=03-2y+23=0知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法:1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作r22差,构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线/（不平行于），轴）过椭圆+方=1,2（>0>0）上两点A、B,其中A8中点为P（X0,%）,则有原丁即产-7-a”【即学即练5（2023江西宜春高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆Udf=1,过点尸卜,：的直线43k2；交椭圆C于A、3两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为【答案】3x+2y-4=0xi+x2 =2 y + )'2=ll=【解析】设点A（n，），J、8（孙必），由中点坐标公式可得2所以>.÷>>2,122= =2213 2%- 3+ +,年一 4 2歪4,两式作差得即华山43T所以,X1+X2X1-Xj24I3因此，直线AB的方程为y-=-(x-1),即3x+2y-4=0.故答案为：3x+2y-4=0.题型一：椭圆的几何性质例1.(多选题)(2023辽宁大连高二大连市第二十三中学校联考期中)设椭圆G9+=l(a>b>0)的左、右焦点分别为石、八，上、下顶点分别为A、A?,点P是C上异于A、4的一点，则下列结论正确的是()I4A.若。的离心率为则直线PA与P4的斜率之积为-彳B.若尸KIPK,则APKE的面积为从C.若。上存在四个点尸使得尸HLPE,则C的离心率的范围是(0,孝D.若PK助恒成立，则C的离心率的范围是(OT【答案】BD【解析】A.设尸(%,%),所以W+算=1,因为e=f=2,.=2c,./=:，a2b2a23所以,+*=L'32+4%2=4/所以女&=生士生匕支WLIj2_3,所以该3baXOXoAO-一群一"4选项错误；B.若WJ_尸工，则I尸>I+1%I=2a,PfJ2+PF2F=4c所以IPEl.%I=2护,则即玛的面积为；|尸£|尸6|=从,所