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专题1-6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型导语：每当谈到数学的学习，我们总是避不开这样一个话题，教材上没有、但考试要考，而且是有效的解题利器，那就是二级结论其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级结论的推导需要极其巧妙的手法，在高度紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练呢？不过话说回来，并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，千万不要忽视.mw题型解读知识点梳理酗=点差法与第三定义（常规篇）题酯点差法（提高篇）三S椭圆与双曲线第三定义（提高篇）磔国抛物线焦半径与焦点弦结论3焦点弦被焦点分成定比酬施双曲线焦点三角形内切圆模型壁缶阿基米德三角形整处椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式酬况椭圆双曲线大题面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）三平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题知识点梳理一、点差法（弦中点）_ ?2点，且弦/5不平行X轴，M为线段AB中点，则有A：,y%.Ad UMb2 2 1LI证明（点差法）：设4（X,yJ, B（x2,y2）,则MX芋k（）MJ+乃VA,B在椭圆上，代入A,B坐标得两式相减得：.2,q2+及：=0,整理得WJ港=一4CTb2x-X2a*kAB'k0M"'H-1二、椭圆双曲线第三定义那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然.其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点4（一/0）,4（。，°）的斜率乘积等于常数2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线（不含两个顶点）.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于一1小于。时7）27）2为椭圆，此时e2-l=一7;当常数大于0时为双曲线，此时e2-i=-.a1矿【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点题相，），8（一加,-）的斜率乘积等于常数/-1的点的就迹叫做椭圆或双曲线.当常数大于一1小于0时为椭圆，此时e2-l=-与；当a常数大于O时为双曲线，此时/_=与.22【证明】4,8是椭圆j+*=l（>b>0）上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有证明(点差法)：设P(x,),A(x2,y2),B(-x2,-y2),X1 -X2X1 + X222一必一必VP,A在椭圆上，代入坐标得+y-1两式相减得:,z2-y-整理得与二二-勺x1-X2ax-X2a中点弦和第三定义本质上走一样的法二：通过椭圆的垂径定理转换三、抛物线的焦点弦常见结论：设/8是过抛物线/=2px(p>0)焦点尸的弦，若4(xJ,B(x2,2),则(2)焦半径I47=x+旦=-,IBF=x2+-=-(X为弦AB的与X轴夹角)2I-CoSa21+cosa(3)弦长I/Bl=X+AT?+P=4(为弦4B的倾斜角).Silra(4)以弦48为直径的圆与准线相切.(5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于22，通径是过焦点最短的弦.112由小网=7(定值).(7)以力尸或8尸为直径的圆与y轴相切.四、焦点弦被焦点分成定比若AB是过焦点的弦，且4/=N8%l>l）,则ecos<9=U（其中。不是倾斜角,而是AB与焦点所在轴的夹角，抛物线离心率为1）+l五、阿基米德三角形（1）阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1:MF±AB性质2:MA±MB性质3:MNx轴性质4:SABM最小值为P?对于点A,B:抛物线焦点弦与抛物线的交点由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点例过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上或或或的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”（2）阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）性质I阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴.【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点C(%,M),则点P的轨迹为直线Noy=Pa+/)记力(XI,必)，B(x2,y2),C(XO,九)，M为弦为B的中点，点。为抛物线内部的定点半代人得出切线¼,PB的方程,再得出则XP=乎/?=M,则v=p+%),下略Ip2【性质3】若P点轨迹为直线亦+勿+c=0,且该直线与抛物线没有公共点，则定点CIg,一组.Iaa)设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为ft.即【性质5】NPF4=NPFB,PF2=AFxBF-（短），Ipol=a+ccQs1Ma1-c1cos2a22已知双曲线=_乌=1>b>0)，求出2种情况下的焦半径AFl,BF以及焦点弦ABCrb羽=C-cosa-aBF=及ccosa+a，AB=2方a2-C2cos2a情况2:AB两点不在同一支上，直线AB与X轴夹角为AQ-CcoSa如=R+ccosaAB=2a-b2-222a-ccosaB核心.题7题园0点差法与第三定义（常规篇）1. （2023上广东佛山高二统考期末）过点”（2,1）作斜率为1的直线，交双曲线Zl-=l（a>0,Z>>0）8两点，点”为的中点，则该双曲线的离心率为（）abA.B.3C.D.222【答案】B【详解】设点力（士,乂），8（，必），2MF2/F - -Jl 有则两式做差后整理得上二匹匕B X, -X2 x + X2由已知"二匕=1,占+工2=4,乂+%=2,.2=勺，又¢2=/+/,.J=-L,£=3占一看4b22c2-a2a2.已知双曲线C:工-或=1的左、右顶点分别为4B,P是C上任意一点，当点尸与4B两点84不重合时，直线以，08的斜率之积为【答案】L2/2【详解】得4-2,）,5（22,）,设尸（XM,«'1/=4y-1（x±22）,4仕一1所以直线为，P8的斜率之积为yyVI8JX+2>2X2X2-8X2823 .已知椭圆方程为W+g=l（>6>0）,其右焦点为尸（4,0）,过点尸的直线交椭圆与人，8两点.若ab的中点坐标为（LT）,则椭圆的方程为（）A.工+上=1B.+=1C.片+片=1D.兰+亡=15236204248259【答案】C【分析】计算即w=:设力&,必），B（x2,2）.代入椭圆方程相减得到彳一笔L=O,解得答案.3ab【详解】46的中点坐标为M（I,-1）,则即M=M=:，4 13设NaM,a2,%）,则事）=,4+=,cibia“bi相减得到：SIgI+Sigi=。，即，簪=o,片”以ab2a2b222又c=4,a2=b2+c2t解得/=24,=8,椭圆的方程为工+匕=12484 .（2022上广东深圳高二校考期末）已知椭圆。:9/+_/=加2（m>0）,直线/不过原点0且不平行于坐标轴，/与C有两个交点a,Bt线段48的中点为M,证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.【详解】解：（1）设直线Ly=Ax+b（%H0,b0）,TaM,仅，%）,“（%，为）.y = kx + b；由c ,）, 9x2 +y =m2“kb2 + 9Xw=+z,=9bF+9得（F+9）x2+2kbx+b2-m2=0t= =,K3 2223+ +i122至12两式相减得哈+吟底。，即导xl +x24（必+%）因为线段AB的中点坐标为8 25,5，=-=1演一 4（乂+%），直线OM的斜率MM=ML=即河*=-9.XMK即直线OAY的斜率与/的斜率的乘积为定值-9.5 .已知P是椭圆反?3=1,若4B是E上两点,且线段48的中点坐标为m）,求的值.【答案】生反5【分析】点差法求出直线AB,再联立直线和楠圆方程，利用弦长公式即可求解.【详解】设/（,凹）,B（29y2）f若A,B是E上两点，则,所以KJ=1,则直线AB的方程为y=+2.y=x+2联立方程组,V2整理得52+16x+4=0,其中A>0,1123则X1÷x2=-y,X1X2=y,|4M=yl+l2y（xl+1丫-47-6 .已知椭圆u+=K">b>0）的焦距为6,椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/与C交于A,B两点,且线段48的中点坐标为(5I),求直线/的方程.【答案】(1)1+勺=1:2516(2)4x+5j-2=O.【分析】(1)根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可：(2)运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解即可.【详解】(I)设C的焦距为2c(c>0),2c=6nc=3,因为椭圆上的点到两焦点距离之和为2«,而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.所以2+2c=16na=5,所以4=5,。=3,所以从=a?°?=16,所以。的方程为三+匕=I:2516(2)设8(s,必)，代入椭圆方程得- -2i- 6 22 6H 1 + ÷ 2l252225两式相减可得(QS)(Mf)=_(/+%)(必一对2516即(必+必)(必一%)=_16(xi+x2)(xi-x2)251由点(W)为线段AB的中点，P12+X2=-,yx+y2=-fa > y - y->16 X, + xj则/的斜率 % =X-!x-×25 %16255X44-5,所以/的方程为y_g = _S(X-即 4x + 5y 2 = 0 .s点差法(提高篇)7 .设48为双曲线父-g=1上两点，下列四个点中，可为线段48中点的是()A.(U)B.C.(1,3)D.(-1,-4)【答案】D【分析】根据点差法分析可得心sZ=9,对于A、B、D:通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于c：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设力(冷必18包,必)，则45的中点M二乂+% x1 +x2必+必可得左48AJ-2因为43在双曲线上，则,- -,K9 2229- -M 2不两式相减得(MTj-廿二生二O ,所以阳8 . % =x；对于选项A:可得攵=LK8=9,则=-8,联