专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总.docx
专题1-4椭圆与双曲线22类常考题型汇总后跖题型解读知识点梳理模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭ID与双曲线的定义与概念【题型2】双曲线的渐近线相关计算【题型3】求焦点三角形面积【题型4）定义法求轨迹【题型5】设点运算求轨迹方程题型6光学性质【题型7】椭Bl与双曲线共焦点问题模块二：最值问题【题型8】坐标轴上的点与椭圆距离最短【题型91直线与椭圆距离最短【题型10线段和差最值问题【题型11焦点弦的最小值【题型12焦半径的最小值问题【题型13利用基本不等式求最值模块三：求离心率与其它值【题型14结合余弦定理求焦半径【题型15余弦定理用2次【题型16构造齐次化方程【题型17双焦点三角形模型：导边【题型18利用几何性质求离心率【题型20与向量结合【题型21其它计算求值问题【题型22求离心率范围知识点梳理一、椭圆的基本量1 .如图(1),过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦48=,称为通径.图(1)图(2)2 .如图(2),尸为椭圆上的点，尸1,B为椭圆的两个焦点，且NFlPF2=8,则/IPB的面积为.3 .椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.4 .设尸，A,8是椭圆上不同的三点，其中4,8关于原点对称，则直线以与尸8的斜率之积为定值I2加夕b21. 2.Dltan-3.a-rc。-c4.ra2a1二、直线与椭圆1 .直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或刃的一元方程：0r2+Z>x+c=0(或炉+8+c=0).(1)若0,可考虑一元二次方程的判别式,有：4>0直线与圆锥曲线;Z=O”直线与圆锥曲线;4<04直线与圆锥曲线.2 .圆锥曲线的弦长设斜率为k(O)的直线/与圆锥也线C相交于4(x,y)i8(x2,")两点，则力8=.答案：1.(1)相交相切相离3 .1÷2X2-=Jl+Iyz-j三、双曲线的基本量运算1 .过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2 .如图，P为双曲线上的点，H,产2为双曲线的两个焦点，且NFlPF2=0,则户IP尸2的面积为3 .焦点到渐近线的距离为4 .设尸，A,B是双曲线上的三个不同的点，其中8关于原点对称，则直线Rl与08的斜率之积为.答案：1.-2.3.64.当atan。2为线段AB中点，则有4a%ca/=2-1An(Ja证明(点差法)：设4(X,y),5(x2,y2),则m(幺产,之三kj+/J.J-为卜kJj2KOM-1，kAB，KAB'kOM-2FX1+X2X1-X2演一工2VA,B在椭圆上，代入A,B坐标得冬必-1+=la2b2两式相减得:+2ii=0,整理得必：%：=_彳a2b2x1-x22a1那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然.其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点4（一。,0）,4（凡0）的斜率乘积等于常数e2-l的点的故迹叫做椭圆或双曲线（不含两个顶点）.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于一1小于。时h2为椭圆，此时/一1二一彳；当常数大于O时为双曲线，此时/一1=一.aa，【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点Z（M,），6（一加,-）的斜率乘积等于常数2/一1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.当常数大于一1小于O时为辅圆，此时e2-l=-;当a1.2常数大于O时为双曲线，此时/-I=.a【证明】48是椭圆=+=l（>Z,>0）上的一组对称点，尸为椭圆上任意点，则有证明(点差法)：设P(x,),A(x2,y2)fB(-x2,-y2),kp4山X1-x2M+乃玉+X2VP,A在椭圆上，代入坐标得÷4=a2b2+=lab-两式相减得：.2个+'J,%2=0,整理得必：一%：=_a2h2x12-X22a2中点弦和第三定义本质上是一样的法二：通过椭圆的垂径定理转换k.kk.kPANPBrvOMNPBb221*¾y核心题画7模块一：椭圆与双曲线的基本性质【题型1】椭圆与双曲线的定义与概念1 .已知方程4+为2+加+小+或+尸=0,其中力6CO2EF.现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.其中，真命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程4+砂2+c,+w+/=o其中z5coeF,所以当4=8=1C=0=E=O/=一1时，方程为/+/-I=。，即Y+/=1是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当Z=18=C=0=OE=-1尸=一2时，方程为2->-2=0,即N=X?-2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；2£2-1当=28=lC=O=E=0=T时，方程为2+y2-i=o,即V+1二1是桶圆的标准方程，2故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有力B<0,C=O=E=O,尸<0,这与45COE尸矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以其命题有3个.2. （2023上广东深圳高二统考期末）已知椭圆。：三+二=1的焦点在V轴上，则实数攵的取值范围为（）A.（-3,1）B.（1,5）C.（-3,5）D.（1,3）【答案】A3 + >05-k>0,解得一3<“<1.5-k>3+k【分析】根据椭圆C的焦点位置可得出关于左的不等式组，即可解得实数左的取值范围.x2v2【详解】因为椭圆c：+上-=1的焦点在y轴上，则3+k5-k3. （2023佛山高二期末）（多选）己知曲线C的方程为-L+£=i,则C可能是（）25-k9+A.半径为J万的圆B.焦点在X上的椭圆，且长轴长为后二TC.等轴双曲线D.焦点在V上的双曲线，且焦距为22"16【答案】AD25k=9+k【详解】对于A选项，若曲线C为圆，则,解得左=8,25-k>0此时，曲线C的方程为V+/=7,该圆的半径为J万，A对；（25-k>9+k对于B选项，若曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，则、,八,解得-9<%<8,9+Zr>0此时，椭圆C的长轴长为2反7,B错；对于C选项，若曲线C为等轴双曲线，则25-%+9+%=0,无解，C错：f9+>0对于D选项，若曲线C表示焦点在歹轴上的双曲线，则f八，解得>25,25-A:<0此时，双曲线C的焦距为2j9+>+%-25=22,-16,D对.4. （2023上广东惠州高二统考期末）（多选）已知曲线C:工-廿=1,则下列判断正确的是（）abA.a=-Z>>O,则C是圆，其半径为B.若ab>0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±RC.若-a<b<0,则C是椭圆，其焦点在X轴上D.若a=b=l,则C是两条直线【答案】BC【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可22【详解】若=-b>0时，C：工一匕=1转化为/+/=*半径为夜，故A错误；ab,整理可得y均是。的渐近线，故B正确;若0b>0,当”>0,b>0,C是焦点在X轴上的双曲线，当vv,C是焦点在丁轴上的双曲线,无论焦点在哪个轴上，令二一己二0ab若一<6<0,C:匕=1转化为C:二+口=1,由于>-b>O可知，C是焦点在X轴上的椭圆,aba-b故C正确：22若=6=l,C：三一匕=1转化为/-V=,是双曲线不是两条直线，故D错误.5.（多选）已知方程上+上=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）6-？in-2A.当j>6或m<2时，曲线C是双曲线B.当2<?<6时，曲线C是椭圆C.若曲线。是焦点在轴上的椭圆，则m>6D.若曲线。是焦点在X轴上的椭圆，则2<m<4【答案】AD【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的机的范,困即可.【详解】对于A,若曲线C为双曲线，则（6一帆）（加-2）<0,解得：加>6或zw<2,A正确；6-/M>O对于B,若曲线C为椭圆，则（机一2>0,解得：2<mv4或4vmv6,B错误；6-mm-2对于C,若曲线。是焦点在V轴上的椭圆，则由一2>6-?>0,解得：4<m<6,C错误：对于D,若曲线。是焦点在X轴上的椭圆，8'）6-n>w-2>0,解得：2v"iv4,D正确6.（2023上江苏徐州高二统考期末）（多选）己知曲线C:+工=1,则下列说法正确的是（）m+mA.若C是椭圆，则其长轴长为2而B.若m<0,则C是双曲线C.。不可能表示一个圆D.若加=1,则C上的点到焦点的最短距离为立2【答案】BC【分析】根据/+>zn可知若为楠圆，则焦点在X轴上，进而可判断A,进而可判断BC,根据椭圆的几何性质可判断D.【详解】由于/+1=（小一+>O,所以112+l>m,对于A,当加>0时，故。：/一+上=1表示焦点在X轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为2j/+i,故m+mA错误，对于B,当?<O时，C是双曲线，故B正确，对于C,由于苏+>7w,故C不可能表示一个圆，故C正确，对于D,m=l时，C:+-=1,表示焦点在X轴上的桶圆，且此时/=2,从=1,。2=1,21故桶圆上的点到焦点的最小距离为a_c=&_l,故D错误7.（多选）已知曲线UmX?+材=1,（）A.若用>>0,则C的离心率是B.若机> O ,则C的离心率是C.若机<0,则。是双曲线D.若用>O,则C是椭圆【答案】AC【详解】对A、B：若则mn兰+仁=1由于机f+初2=,即Il,表示焦点在J轴的椭圆,故A正确，B错误；对C:若?<0,即加,异号，则!一异号，rnn当>0,一<0wnX2y2故用小+砂2=1,即ifI表示焦点在X轴上的双曲线；mn当L0>0mn故TWX-+即2=1,即1I表示焦点在）；轴上的双曲线,综上所述：若“<0,则C是双曲线，C正确:对D:若小>0,曲线。不一定是椭圆，例如加=>0,曲线C是圆，D错误8. （2023广东汕头统考二模）（多选）已知曲线C=x2+V8s=l,«0,则下列结论正确的是（）A.曲线C可能是圆，也可能是直线B.曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C.当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆D.当曲线。表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为J5【答案】ABD【分析】设6=COSae-1，由用的符号和取值结合对应方程
