3.3对数函数y=logax的图像和性质（解析版）.docx
3.3对数函数y=logax的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如y=Iog">0且。声D的函数叫对数函数.2.对数函数y=logx（a>0且。1）的图像和性质。y=Ioga4a>la<图像L0,)性质（1）定义域：（0,F8）（2）值域：R（3）图像过定点：（1,0）（4）在（0,-8）上是增函数（1）定义域：（0,+8）（2）值域：R（3）图像过定点：（1,0）（4）在（0,+）上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在X轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0,1）过定点（0,1）0<a<l自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<l;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>l图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a>l自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>l;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<l图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；题型一：对数函数的图像1.作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性.(1)y=log,(r);(2)'=7og;(3)=los.,222【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】(1)由)'=°gd一幻知：定义域为(F,0),图象如下:2且为非奇非偶函数.由知：定义域为(。收)，图象如下:.由图知：函数在(0,+8)上单调递增，且为非奇非偶函数.(3)由y=°gJ知：定义域为(f,o)U(o,+8),图象如下:.由图知：函数在(-8,0)上单调递增，在(0,+上单调递减，且偶函数.2 .设。与人为实数，”>(),。工1.已知函数F=log,(x+加的图象如图所示，求。与人的值.【分析】由图象可知，函数图象过点(-2,0),(0,2),将点的坐标代入函数中，可得关于。力的方程组，从而可求出。，力的值【详解】由图象可知,函数y=iog<+可的图象过点(-2,0),(0,2),所以O=Iog”(-2+6),且2=log),由O=Iog(-2+3，得一2+=1,解得b=3,则2=log,3,得。=6，所以=3，b=33 .在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系.V=IogsX;片四J5(3)y=5r.【答案】(1)答案见解析答案见解析答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系.(1)如图所示：如图所示，函数y=iogs与函数R)gg”的图像关于X轴对称；如图所示，函数y=i0g5与函数y=5'的图像关于直线y=对称.【分析】判断出力是偶函数，结合可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为小,/(-X)=-=fM,e+ee+e所以/(X)是偶函数，函数图像关于丁轴对称，可排除A,B；可排除D.故选：C2.函数/(x)=eM+l的图像大致为()【答案】A【分析】当x>0时，根据函数的极值可以排除C、D,当x<0时，根据函数的单调性可以排除B,从而得到结果.【详解】当x>O时，/(x)=x÷-,在X=I处取得最小值，排除C、D,X当XVo时，/(X)=L-X为减函数，X故选:A.3(多选).在同一坐标系中，函数)，=(尸与y=logilM>0,且。01)的图象可能是()【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当>l时，丁=定义域为R,且在R上单调递减，y=bg,d定义域为(0,+),且在(0,+8)上单调递增，D符合；当0<vl时，y=G'定义域为R,且在R上单调递增,)二10g.X定义域为(0,+8)，且在(0,+)上单调递减，B符合.故选：BD.题型三：根据对数函数图像判断参数范围1.已知函数/(x)=log.(x-A)(a>0且l,。，人为常数)的图象如图，则下列结论正C. OVaV1, b<1B. 。>0, -1 <Z?<0D.0<a<l,一IVhVO【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数/(x)=lQga(Ab)为减函数,所以OVaVl又因为函数图象与X轴的交点在正半轴，所以x=l+b>O,即b>-l又因为函数图象与丁轴有交点，所以b<0,所以T<6v0,故选：DB. c>b>aC. c>a>bC的大小关系是()D.a>c>b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小.【详解】y=OgaV的图象在(0,+o°)上是上升的，所以底数>l,函数y=logZ?x,y=Iogcx的图象在(0,+«>)上都是下降的，因此Zbc(0,1),又易知c>，故>c>Z?.故选：D.3 .已知函数Ar)=Ina+)的图象不经过第四象限，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(0,+)C.(0,1D.1,+8)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得.【详解】/U)的图象是由Y=Inx的图象向左平移。个单位所得.y=lnx的图象过(LO)点，函数为增函数，因此l.故选：D.二、多选题4 .已知函数g(x)=log"(x+A)(>0且QHl)的图象如下所示.函数，(力=(Z-I)一一片的图象上有两个不同的点A(y),(x2,y2),则()B. f(x)在R上是奇函数C. /(X)在R上是单调递增函数D.当x0时，2(x)(2x)【答案】BCD【分析】对于A结合对数型函数图像相关知识求解;对于B运用定义法判断是否在R上是奇函数；对于C运用定义法判断函数单调性；对于D通过作差法并对式子变形即可判断.【详解】对于A,由图像可知，函数g(x)=log,G+A)(>0且4")在(-2,+00)上单调递增，所以a>l,因为g(x)经过(TO),所以g(T)=log"(T+*)=0,所以°=7+0k=2,故A错误.对于B,f(x)=ax-axf定义域R关于原点对称，f(-力=。一'-/=-(x),所以f(力在R上是奇函数，故B正确.对于C,对于fa)="。，由题意不妨令>小cRgcR，贝U6小)十一巾TMm+等,因为x1>x2,x1,x2/?,a>t所以再+町+1>0,优曰2>0,外-优2>0,即/(%)>/(电)，所以力在R上是单调递增函数，故C正确.对于D,2/(刈_/(2力=2(/_才>(储力=2(/_)_(/_武)”+)=(优_/)(2_优_)J=丫2a'-aJ=YaJ)ST2=卡+DST)3,因为>,壮0,所以I")ax)crxa2tx+l>O,(-l)3O,>O,所以Y"+W'T)o,当且仅当X=O时等号成立，即当a2xx0时，2(x)(2x)成立，故D正确.故选：BCD题型四：对数函数图像过定点问题1 .函数/(X)=logrtXAa>。且"1)的图象所过定点的坐标为.【答案】(LO)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得/=0,"X)的图象过定点(1，。)，故答案为：(1,0)2 .函数y=k>g,+l)+l(>l)必过定点.【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令X=O即可确定定点.【详解】由对数的性质知：当=0时y=logj+i=i,所以函数必过定点(0,1).故答案为：(0,1)3 .己知>()且l,若函数/(另=45+"与江力=108,(4-1)+4的图象经过同一个定点,jlJn+n=.【答案】1【分析】由Iog“1=0可得出函数g(x)所过定点，再由°=l可得出血的值，得出答案.【详解】函数江"=1吗,(工-1)+4的图象经过定点(2,4)所以/(力="+”'+的图象也过定点(2,4),即"2)=诡"+=4则用=-2,=3,所以6+=1故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1 .己知函数/(力=1陶,(工+3的图象如图，则彷=.【答案】8【分析】由图像可得：/(x)过点(TO)和(0,2),代入解得纵b.【详解】由图像可得：/(x)=(x+b)过点(TO)和(0,2),则有：Py,I),解得f二：ogwZ>=2a=2cb=S.故答案为：8.2 .lg>logiw(0<m<l,0<n<l),则？(填或”>).32【答案】<【分析】结合y=log乂=,og”的图象确定正确结论.32【详解】画出y=log/丁=log”的图象如下图所示：32通过观察这两个函数在区间(0,1)上的图象可知，要使iogy>iog；，则需，<.故答案为：<3.函数/Q)=log2*+l)+2的图像是把函数y=k>g2X的图像先向平移个单位，再向上移动2个单位.【答案】左1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案；【详解】Vog2xlog2(x+l),图象向左平移1个单位，log2(+l)log2(+l)+2,图象向上平移2个单位,故答案为：左，1题型六：对数函数单调性1 .下列函数中，在区间(0,y)上单调递减的是()A.y=Iog2XB.y=2rC.y=y+1D.y=x3【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项：函数y=iog2”的定义域为(0,+g),且在(o,y)上单调递增，A选项错误;B选项：函数y=2=g)的定义域为R,且在R上单调递减，B选项正确；C选项：函数y=77T的定义域为T,go),且在卜1,转)上单调递增，C选项错误;D选项：函数y=的定义域为R,且在R上单调递增，D选项错误；故选：B.2 .已知1%(/+1)<叫.(2)，则实数0的取值范围是.【答案】(0,1)【分析】对。进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得。的取值范围.【详解】当O<<时，y=10g°在(0,+8)上递减，a2+>2,6-2+1=(-i)2>0恒成立当>I时，y=IogaX在(0,+8)上递增,a2+<2a,a2-2a+=a-)2VO无解.综上所述，的取值范围是(0).故答案为：(OJ)3 .已知oga2>log",则底数。的取值范围为.【答案】(l,*o)【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断的范围.【详解】若OVaV1,则log,2<log,J,不符题意；若则Iog“2>10乳1,符合题意；综上，a>l.故答案为：(l,÷0°).题型七：对数型复合函数
