三角函数的应用单元教学设计.docx

5.7三角函数的应用（单元教学设计）一、r单元目标】【知识与能力目标】会用三角函数解决简单的实际同胞,体会可以利用三角函数构建刻的中物同期变化的数学模型.【过程与方法目标】知道三角函数是刻画周期性现象的她本数学模型，能根据实际何翘的条件分析数据、画散点图、观察图象，会用三角函数隹立数学模型解决实际问题，提高数学应用意识.【情,态度价值观目标】使学生感受学习三角函数的应用的必要性和正要性，埴加学生对数学学习的兴趣.二、【单元知识结树8图】三角函数的应用三角函数模型的皮用三、【学情分析】本单元的内容是关于三角函数的附用主要以实例的方式呈现，实例的情景往往与数学有一定距漓，学生可能不太了解，比如弹簧振子的运动原埋、交变电流的工作原理等，导致学习中出现困难.为此，在教学时，可以通过播放视频陆单介绍背景.让学生对相关情境有所了解，然后分析背景，了解其变化规律.将这些问也抽象为教学问施,是学习的第二个难点.第三个学习雄点是港口海水深度随时间呈周期性变化问起.在教学中，一方面可以充分利用信息技术工具让学生直观感受函数图象所反映的实际意义，用助学生理解题意.另一方面，要注杀求解策略，即先分析思路，搭建框架，整体把握问SS,再进是求解细节.四、【铁学设计思路过程】课时安排：约I课时敕学点：用三角函数模型解袂些具行冏期变化规律的实际问题.教学魔点，将某些实际问题抽象为三角函数模型.教学方法过程，课前预习筒道运动例建习姮MM1.五、【教学问题修斯分析】环节一、情景引入，工故知新情景I：前面我们学习了三角函数图象和性质，了蟀到：.角函数是刻画现实世界中周期性观望的理患模型.今天这节课开始，我们研究三角函数的应用.对于某"实际问题，三角函数是比较理想化的模型；而对于有些实际问题，三角由数却只能是在一定范用内近似地刻画它的变化规律的模里.问Mh你熊举出物理或生活中具有周期性现象的实例吗？【破解方法】学生经过思考和讨论之后，举出一些物理或生活中的实例，教师引导学生进行补充、精理，再过渡到今天要解决的两个实例.周期性现象的例子包括以下几方而：<1）匀速圆周运动，如表的指许的转动、筒车旋转、摩天轮旋转等.（2）物理学中的周期性现象，如钟隹、弹货振子运动、发电机产生的交变电流等.环节二、抽象根念，内涵辨析问2：某个弹黄振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间，CR位：$）与位移y（单位；“之间的对应数据如表所示.试根据这些数据确定这个损子的位移关于时间的函数解析式.0.000.050.100.150.200.2S0.300.350.400.450.500.550.60-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0请你查阅资料了解振子的运动原理.1.s141.<1.;振子的振动具有循环往爱的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移犯由时间好的变化规律可以用函数产而加（“代师）来刻画.根据已知数据作出散点图，如图所示.sas03035oasa55o.(wFyQi心"七U忘AS:- IO- 14：- IS:- 22*IW5.7I【破解方法】由数据表和放点图可知.口子振动时位移的最大值为20mm,因此A=20：振子振动的周期为06s.即2匹=0.6.解得O=U应：再由初始状态（1=0）振子的位移为-20.可得Sine=-1.3因此e=后所以振手位移关于时间的函数解析式为）'=20Sin（竽I-W）,t0,+«>).【归纳新知】函数.V=八sin（M+eK八>0,<y>0）中，A.m.<，的物理意义1、简谐运动的振幅就是A.2、筒谐运动的周期7=女,3、筒谐运动的频率/=1.=乌.T2114、<u+0称为相位.5.X=O时的相位称为初相.Hf1.3：如图（I所示的是某次实验测得的交变电流i（舱位：A）随时间泳（垠位：5）变化的图型.将测得的图象放大,得到图（2>(I)求电流i的时间f变化的函数解析式:<2)当，=0,上,工,工时求电流i.600150'60060请你在网资料，了解交变电流的产生原理.【破解方法】由交变电流的产生原理可知.电流随时间I的变化规律可川i-ASin+8)来刻痴.K中4表示频率,A表示振幅,伊衣示初相.2/r由图2可知.电流最大值为5A.因此A=5：电流变化的同期为1s,版率为50Hz,即"-=50.50211裤得e=I(X):再由初始状态(/=0)的电流约为4.33A.可得Sino=0.866.闪此°约为g.所以电漉iH1.时间t变化的函数解析式是：*=5sin1.(X)11z+Jj1.()(),-o).当r=-1.时，=5;=-1.,/=0；60()150当1=-时，i=-5i当/=-!-时，i=0i60060环节三，例练习，巩固现修85- .三角函数模型在物理学中的应用KMU弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出r振广在完成一次全振动的过程中的事件J与位移S之间的测求数据，那么能与这"数据拟合的振动函数的斛析式为<>t0123456789101112X-20.0-17.8-10.10.I10.31.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0A.$=20Sin,1.0.÷oo),s=20cos66C.s=-20cosD.5=20sinjy-.c+oo)【辩析】设谕谐振动的解析式为S=ASin（d+协/«0.*）,及中A>0,o>0J格川知：振幅A=20,周期7=12.过点（-20）,由比期7=i=2,I1.®>0,可得J(!)X=20sin+2A11-j=20sinI-£,÷w),gWZ.由过点(0.-20),UJ行20Sine=-20.即sin>=-1.f=2Ax-彳,J1.sZ.所以位谐振动的觥析式为S=20SinjW卜w0"）.故选：D.【对点调练I】如图.根绝对刚性且长度不变、质可忽略不计的线.一-固定,另一端悬挂一个沙洞.让沙漏在偏高平衡位置一定角度（最大偏角）后在曳力作用下在铅垂面内做闷期摆动.若线长为/沙漏摆动时离开平衡位置的位移S（单位；cm）与时间r（单位；s）的函数关系是S=3cos（8+1）.，e0,xc）取x-0m,如果沙漏从离开平衡位置到下一次I可到平衡位置恰用0.5-,则线长的为（）cm.（精确到0.IsQA.12.7B.25.3C.101.3D.50.7【答案】B【解析】因为践长为<m,沙M拼动时离开平衡位式的位移、（单位：皿）。时间一单位：S）的函数关系是s=3cos（后r+1）.rw0.*o）,H,XZjf=IOmzs2.又因为沙漏从离开平衡位次到下次回到平衡位置恰用OSs.所以M数”，）的最小正周期为T=I.即好行/=看。1*7=253.即税长约为25.35.故选：B.【对点训练2】如图,弹簧挂着的小球上下板动.它在M单位>时相对于平衡位置的高度力（单位；C用由关系式4=2sin"十三)确定，下列结论正确的是()A>0A-O<0A,小理的最高点和最低点相距2cmB,小球在，=0时的高度=ICmC.每杪神小球往复运动的次数为2n0.从，=1到f=3,用簧长度逐渐变长【答窠】D【解析】由IO弹簧挂着的小球上下振动.它相对于平衡位置的高度IIi关系式=2痴”+会确定.则小球的址高点和最低点和町平衡位,都是2cm,故小球的城高止和最低点相距4cm.A错误;小球衣，=0H：的高发人=2疝15=JJ(cm),8错误：I=2sin(r+-)¾1.心小1.:周期r=2则网率为，3211则每秒仲小毋往复运动的次数为1,C错误：2*由迎总知'"【"?1*r=2sin(r+3堂训速减=%s)时,小球在丫衡位位.6633因为(1.3)uU"ne(1.3).故，+%田所以即力=2SiM+三)通;电66J1.-2J3，=1时，小球在平衡位湿以上位已，=3时，小球在平衡位雀以下位置,即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以卜位置运动，放界簧长度逐渐变长，。正确.故选，D题型二，三角函数模型的实际应用【例2】海水受口月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下.船在涨潮时驶进航道,就近船坞：卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.时刻水深时刻水深历？时刻水深0：5.09：002.518：005.03：OO7.512：005.021：02.56：OO5.015：007.524：005.0(1选用一人：.角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，井给出在整点时的水深的近似数值:(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4,”，安全条例规定至少要有1.5r的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口？(3)若船的吃水深度为4,“，安全间隙为1.5m,该船在2：OO开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？【解析】(I)以时间为横坐标,以水深为纵坐标，在平面山角坐标系中作出对应的各点，根据图0可考虑用南致/(x)=AsinS+k近似描述这个港口的水深与时间的两数关系.则由己知数据结合图象可得A=25,=5,7=12，a>-,T6Ai(r)=2.5sinj+5由表中数据可知在0：00,6：00,9：0().12：00,15：(X).18：00.21：00.24：00等时刻的水深分别是【对点调练3】0n.7.5m,5.0n.2.5m>5.Owr.7.5n,5.0m.2.5m.5.Om：在整点时的水深近似为：I：00.5：00.13：00.17：00为6.3m：2：(X).4：(X).14：(X).16：00为7.2m：7：(X),II：00.19：(X).23：00为3.Im-.8：00,10：W.20；00,22：00为2.8m.(2)由2"n(9)+5*55,汨siqx20.2,画出y=而仁|的图象(如图),fH1.¾'W0.4.r5.612.4x17.6.故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港.(3)若2MxV24.xR刎的吃水深度为川x)=4-03x-2).(I/(x)>(x)+1.5.sin-x0.44-O.12x.6IIHi.11y=Sin大和y=0.44-0.12x的图柒（上图）,6由图内可知当x=67时,即6：42时.该船必须停止卸货，驶向较深的水域.【对点仰炼4】已知某海滨浴场海浪的高度丁（米）是时间，（024,单位:时的函数,记作：,=/，卜表是某日各时