专题06圆的方程（解析版）.docx

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1、专题06圆的方程考点预测1 .圆的标准方程(x-a)2+(y-h)2r2f其中(0,)为圆心，一为半径.2 .点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-份2=/，圆心为eg,3，半径为，则有(1)若点M(,%)在圆上TCMI=FO(Xoa)?+(y0-b)2=r2(2)若点如为)在圆外OlCMIr=(%-a)?+(%-)r2(3)若点(x0,%)在圆内OICM|o(x0-a1+(y0-Z?)22+石2-4厂0时，方程/+丁+6+尸=0叫做圆的一般方程一,一一为圆心,I22)1.Z)2+e2-4尸为半径2诠释：-22,、LLD?(EYD2+E2-4F由方程f+y2+瓜+&+尸=0得X

2、+y+=2JI2)4DFDE(1)当。2+严-4/=0时，方程只有实数解1=-5,y=-,.它表示一个点(一不,).(2)当。2+炉-4厂0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当。2十七2-4厂0时，可以看出方程表示以(一2,_1为圆心，Lg+EF为半径的圆.122J24 .用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于。、b、或。、E、尸的方程组.(3)解方程组，求出、。、r或。、E、尸的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.5 .轨迹方程求符合某

3、种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量匹之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.(3)求轨迹方程的步骤：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；列出关于x,y的方程；把方程化为最简形式；除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；作答.例I.(2021广东佛山市南海区南

4、海执信中学高二阶段练习)已知两个定点A(-2,0),3(1,0),如果动点尸满足=2P耳(1)求点尸的轨迹方程并说明该轨迹是什么图形；(2)若直线Ly=匕+1分别与点/的轨迹和圆*+2)2+(y-4)2=4都有公共点，求实数人的取值范围.【解析】(I)设P(XM,由IPd=2PB,则J(+2)2+y2=2j(7)2+y2,化简得：(-2)2+y2=4:.P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆.,1-2-31(2)直线/与圆(x+2)2+(y-4)2=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于半径：4=!一广，七2,解2+l得卷，直线/与圆(x-2)2+V=4相切或相交，即圆心到直线的距离不大于

5、半径：d=gHL2,解得A,综上，直线/：)，=履+1分别与P的轨迹和圆Q+2)2+(y-4)2=4都有公共点时，实数丘18,一总.例2.(2021山东平邑高二期中)已知圆M：X2+y2-2nx-6y+2m+9=0.(1)求?的取值范围；(2)已知点A(2,l)在圆M上，若圆N过点P(l,-),且与圆M相切于点A,求圆N的标准方程.【解析】(1)将X?+P?-2，?IX-6y+2m+9=0变形为(JV-+(y-3)2=m2-2m,由根2一2机0,得z2,所以m的取值范围是(7,0)_(2,+).(2)将点A(2,l)t入圆M:丁+/一2侬一6y+2m+9=0,可得帆=4,所以圆M的方程为/+y

6、2-8-6y+17=0,化为标准方程可得(x4)?+(y=8,故圆M的圆心为(4,3),半径为2五，设圆N的标准方程为(X4+(y,圆心为N(a,b),因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M.N三点共线，故直线AM的方程为柒=三I,即y=x-,3-14-2把N(a,b)代入得力=。1，又由IANl=IPNI=/可得，r2=(-2)2+(-l)2=(fl-l)2+(+2)2，联立，解得=l,Zj=O所以r=a(1-2)2+(0-1)2=2,故圆N的标准方程为(X-1):+/=2.例3.(2021重庆巴蜀中学高二阶段练习)在直角坐标系宜8中，直线/：x-3y-4=0,以。为圆心的圆与直线/相切.(1

7、)求圆。的方程;(2)设点N(M,%)为直线y=-x+3上一动点，若在圆。上存在点尸，使得NaVF=45。，求与的取值范围.【解析】(I)原点到直线/的距离为0-0-4+3所以圆。的方程为/+y2=4.OP2(2)如图直线材与圆。相切，设“版则Sina=Er加根据图象可知，N越靠近。点，ON越小，Sina越大，由sin45=OV=22,ON2设N(x,3r),由距离公式/+(3一力2=8,解得X=三立，3-币3722例4.(2021江苏丹阳高二期中)已知圆C过坐标原点O和点A,2J),且圆心。在X轴上.(1)求圆C的方程：(2)设点M(-10,0).过点M的直线/与圆C相交于P,。两点，求当a

8、PCQ的面积最大时直线/的方程；a若点丁是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N,使得7MI=可川h若存在，求出点N的坐标,若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为圆C过坐标原点。(0,0)和点A,2JJ),且圆心C在轴上，设圆心C(G0),则J(-6)2+(2G)2=7,解得。=4所以圆心C(4,0),半径r=4故圆。的方程为(x-4)2+y2=i6(2)设圆心到直线的距离为“，则PQ=2-Q2=2ji6-d?.，SvWQ=gIPQd=J16-/.16-，；+小=&,当且仅当16-/=/，即d=2j时等号成立，设直线/的方程为=my-o,则圆心到直线的距离d=7彳=2企，解得加=典yjm

9、+12所以直线/的方程为x=)，一10,即x+半,y+10=0或X芈y+10=0假设存在N(皿)，T(x,y)t由网I77，知|所=?叫代入得(X+10)2+y2=-(x-zn)2+(y-)J化简整理得5/+5丁_(18”?+80)X-ISny+9w29-400=0又点T在圆上，.x2-8x+y2=0,则(186+40)工+18町一962-92+400=018n+40=0所以8=0解得=0,但机无解，-9w2-9+400=0所以不存在点M使得7M=3过关测试一、单选题1. (2021广东深圳实验学校高中部高二阶段练习)若圆G：*-1)2+y2=9和圆G：*+3)2+(y+2)2=9关于直线/对

10、称，则直线/的方程是()A.y=-2x-3B.y=-2x+3【答案】A【分析】由题意可知直线/即为线段GG的中垂线，求出线段GC2的中点坐标和GG所在直线的斜率，从而可求的直线/的斜率，即可得出答案.【详解】解：因为圆G：(x-l)2+y2=9和圆C2：(x+3)2+(y+2)2=9关于直线/对称,所以直线/即为线段GG的中垂线，C1(1,0),C2(-3,-2),则线段C1C2的中点坐标为(-1,-1),M=zz7=:,所以直线/的斜率A=-2,所以直线/的方程是y+l=-2(x+l),即y=-2x-3.故选：A.2. (2021广东广州奥林匹克中学高二阶段练习)己知在平面直角坐标系中，A,

11、B两点的坐标分别为(U),(0,4),若经过A,B两点的圆与X轴正半轴相切，则该圆的方程为(A. -8x-5y + 4 = 0B. x2 + -8x-5y + 16 = 0C.x2+y2+4x-5y+4=0D.x2+y2-4x-5y+4=0【答案】D【分析】先求出A8的中垂线，进而设出圆心CG,|),然后根据圆与X轴正半轴相切确定出半径，并且O,最后根据圆心到A的距离为半径求得答案.【详解】由题意，AB的中垂线为y=,则设圆心为c(4,又因为圆C与X轴正半轴相切，所以半径r=MO.于是，r=CA=J/+(g1)=弓=2.所以圆的方程为：(X一2+(y_g)=-x2+j2-4x-5y+4=0.故

12、选：D.3. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)圆(x-lf+(y+2)2=2关于直线y+l=0对称的圆的方程为()A.(x+1)?+(y-3)2=2B.(-l)2+(y+3)2=2C.(+3)2+(j-2)2=2D.(x-3)2+(j+2)2=2【答案】C【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程.【详解】圆(x-l/+(y+2)2=2的圆心(1,-2)半径为应，由/：4-丁+1=。得M=I设对称点的坐标为(肛)，利用+2/ + /7 + 1=0/n - w + 5 = 077两圆心的连线弓宜线垂直,两圆心的中点在直线上列方程

13、求解，C,化简得m+n-2,八+1=022tn=-3解得T所以对称圆的方程为(N)X-F.故选:C.4. (2021.福建省福州第一中学高二期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点AB的距离之比为定值2(ll)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系Xoy中,Pj1A(-2,0),(4,0),点夕满足,设点尸的轨迹为C,则下列说法错误的是()dZA.轨迹C的方程为(x+4)4y2=16PD1B.在X轴上存在异于AB的两点RE,使得H=ZC.在C上存在点M,使得IMa=2|八例D.当4伐。三点不共线时，射线P。是NAP4的角平分线【答案】C【分析】根据题意，设点

14、坐标，结合两点之间的距离公式以及角平分线的性质，一一判断即可.【详解】/、PAlJ(x+2)2+y21.对于选项A,设P(x,y),由筋=5，得1j2=5,化简得(x+4)+y-=16,因此A正确;PD1/、/、对于选项B,你设在X轴上存在异于AI的两点，E,使得前=5，设。(机O),E(n,0),则苗)?+)=L化简得3x2+3V-(8m23+4一2=0y(x-m)2+y22E(x+4)2+y2=16,所以3/+3丁+24x=0,ZM =-6H = -12(舍),Srn-In=-244m2一2=0PD1即在X轴上存在异于的两点D,E,三=p故B正确,对于选项C,若在C上存在点M，使得IMOl=2M4|,设M(x,y),则77=2J(X+2)：/,KW-2+y2+yX+y=O,与(x+4)2+y2=16联立，方程组无解，故在C卜不存在点使得MO=2MA,因此C错;对于选项D,当A,B,尸三点不共线时，周=；=犒，可知射线Po是NAm的角平分线，故D正确.故选：C.5.