专题1-5抛物线15类常考题型汇总.docx
专题1-5抛物线15类常考题型汇总题型解读知识点梳理模块一抛物线的概念与基本性质【题型1抛物线的焦半径相关计算【题型2】抛物线的焦点弦【题型3】抛物线的轨迹问题【题型4】抛物线的光学性质【题型5】抛物线的实际应用问题【题型6】利用几何性质计算求值模块二抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题【题型8】直线到抛物线距离最小问题【题型9】抛物线中的线段和差最值问题【题型10其它最值问题模块三抛物线与直线联立韦达化运算【题型II】焦点弦中点相关运算与证明【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算【题型13不过焦点的弦长相关计算【题型14垂直关系的处理【题型15向量数量积的处理知识点梳理一、抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程IOy2=2px(p>0)MX=_22卜y2=-2px(p>0)B°)X=E2x2=2py(p>0)(。局y=2x2=-2py(p>Q)(iy=-2二、圆锥曲线第二定义结论：动点M到定点尸的距离与到定直线/的距离之比为一个常数，即幽1=e.MA(1)当OVeVl时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e=l时，动点的轨迹是抛物线；(3)当e>l时，动点的轨迹是双曲线.此时定点尸为圆锥曲线的一个焦点，定直线/叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x=Q,常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统c一定义(也称为第二定义).对称轴X轴J轴顶点0(0,0)离心率e=l开口方向向右向左向上向下四、抛物线的焦点弦1 .已知/1B是过抛物线.v2=2pxS>0)的焦点的弦，产为抛物线的焦点，A(xfJi),Bx19y2),贝Iipl(1加丁2=一p2，XIX2=Z7；4(2)|/8|=.口+2+=辞/为直线/B的倾斜角)；(3)5,4o=上(a为鱼鼓AB的倾斜角)；2sn心1I1一2(4)-1-FBFP(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.2 .当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段若为抛物线的通径，显然通径长等于2p*w核心题画7模块一抛物线的概念与基本性质【题型1抛物线的焦半径相关计算1. (2023雅礼中学高二期中)抛物线=2px(p>0)焦点为F,O为坐标原点，M为抛物线上一点，且M/二4O尸">的面积为4L则抛物线方程为A.y1=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2x【答案】B【详解】设(X,必)，则由IMFI=4|。尸I得F+=4x,即玉=/,则乂2=?*则IyJ=Gp,臬ASAOMF=；Xg义辨P=AyB，解得P=4,即抛物线的方程为必=8.2.若抛物线F=4x上一点P到轴的距离为2J,则点P到抛物线的焦点尸的距离为()A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】根据抛物线=4x上一点尸到4轴的距离为2J,得到点尸(3,±23),然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线F=4x的准线方程为x=l,:抛物线y2=4x上一点。到X轴的距离为2J,则P(3,±23),:点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,:点P到抛物线的焦点F的距离为4.3.(多选)已知抛物线C:户=2px(p>0)的焦点为Ff直线的斜率为3且经过点F9直线/与抛物线C交于4,8两点(点力在第一象限)，与抛物线的准线交于点。，若MFl=4,则以下结论正确的是()A. p=2C. BD2BFB."为力。中点D. BF2【答案】A、B、C【详解】如图，解0I直线/的斜率为s,JL4广2公则直线方程为y=512jf联立'r（r3得12-20px+3p2=0.解得X/=1,Xb=/由MQ=/+g=2p=4,得p=2.抛物线方程为炉=4x.4=%=；，=j=7=？BD=2BFt6333cos601324«|80+田户|=：+；=4,则户为月。中点，,运算结论正确的是A、B、C.【题型2】抛物线的焦点弦4 .过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（xfy）,8（x2»）两点,若R+&=6,则AB=.【答案】8【解析】MBI=XI+m+p=6+2=8.5 .已知是抛物线2=j，的焦点弦，若NSl=4,则的中点的纵坐标为.【答案】*8【解析】设的中点为Pa0,次），分别过4P,6三点作准线的垂线，垂是分别为4,。，8'.由题意得MHl+|8"=08=4,IPoI=M'lh""=2.又P0=yo+L所以/+,=2,则则=卷.2888【题型3】抛物线的轨迹问题6 .若动点P到点（3,0）的距离和它到直线x=-3的距离相等，则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线【答案】B【详解】动点P到点（3,0）的距离和它到直线=-3的距离相等，而点（3,0）不在直线X=-3,所以动点尸的轨迹是以点（3,0）到直线=-3的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.7 .设圆0:/+歹2=4与7轴交于48两点（力在8的上方），过8作圆O的切线/,若动点P到A的距离等于尸到,的距离，则动点P的轨迹方程为（）A.X2=SyB.X2=6yC.y2=SxD.y2=16【答案】A【详解】因为圆0:/+=4与y轴交于a,B两点、(A在8的上方)，所以4(0,2),5(0,-2),又因为过8作圆O的切线/,所以切线/的方程为歹=-2,因为动点尸到A的距离等于P到/的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2),准线为y=-2,所以P的轨迹方程为/=8y.8.(多选)已知抛物线。：V=2PX(P>0)的焦点为凡定点M(0,4)和动点45都在抛物线C上,且AMOF(其中O为坐标原点)的面积为4,则下列说法正确的是()A.a=4B.抛物线的标准方程为/=8XC.设点A是线段彳尸的中点，则点A的轨迹方程为?=叙-2D.若18=10,则弦力5的中点N的横坐标的最小值为3【答案】BD【详解】对于A,B,点M(,4)在抛物线。上，.16=2p,即8=pa,的面积为4,.LXKX4=4,解得p=4,22.a=2,抛物线的标准方程为V=8x,故A错误，B正确；对于C,设点R(Xj),4(XQJ,尸(2,0),则x=i,y=,.x=2x-2,y=2y,又A是抛物线。上任意一点，.(2y)2=8(2x-2),Ppy2=4x-4,故C错误；对于D,设4(和必),8仁,歹2),弦/5的中点N(XJ),则IZ尸I=x1+2,BFI=x2+2,.AF+1BF=xl+X2+4,X="=g(/尸+")-2g-2=3,当且仅当小Bt/三点共线时取等号,弦48的中点N的横坐标的最小值为3,故D正确.9 .若动点历(x,y)到点P(4,0)的距离比它到直线X+3=O的距离大1,则M的轨迹方程凫.【答案】y2=6x【详解】将x+3=0化为工=一3,动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线X=-3的距离大1,则动点M(x,y)到点尸(4,0)的距离与它到直线X=-4的距离相等，由抛物线定义可知动点M(Xj)的轨迹为抛物线，该抛物线以尸(4,0)为焦点，以=-4为准线，开口向右，设B=2p,(p>0),所以5=4,解得p=8,所以抛物线方程为=i610 .若动圆M经过双曲线d-1=l的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的坐标满足的方程强.【答案】y2=Sx2【详解】双曲线2一9=1的左焦点为F(2,0),动圆M经过户且与直线x=2相切，则圆心到点尸的距离和到直线x=2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为产，准线为x=2的抛物线，其方程为y2二一8元.【题型4抛物线的光学性质11 .探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm,灯深40cm,则抛物线的标准方程可能是(),225245A.J2=XB.y2=X44C. X2=一争D.2=-y【答案】C解析：如果设抛物线的方程为y=2px0>0),则抛物线过点(40,30),从而有302=2pX40,即2p=宁，所以所求抛物线方程为炉=米.虽然选项中没有V=枷，但C中的2p=葭符合题意12 .抛物线的光学性质,经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴(即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射)，过抛物线/=9)，上一点作其切线交准线/于点M,PNLl9垂足为N,抛物线的焦点为产，射线/叶交/于点。，若IMPl=I加。|则NMPN=,IMM=.【答案】30o33【解析】由抛物线的光学性质知PM平分ZQPN,又/MPF=NMQF,所以MQF+NPF=3AMPN=90°,所以NPN=30°,由IPFl=IPNl=4PMN三PF,NMFP=ZMNP=,P=MQ得|。FI=PF,FEQF1ll9设准线交X轴于点£,则aFQEsQN,JL-=-=-,且IEFl=5,所以IPM=9,所以IMNI=IPNltan30°=9芋=3忑13 .抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴1反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线=4x的焦点为尸，一条平行于X轴的光线从点«5,4）射出，经过抛物线上的点8反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则忸CI=.25【答案】r4【解析】如图，由题意可知ZBX轴，力（5,4）,将y=4代入=4x中得x=4,即3（4,4）,可得4-17x+4=0,解得X=:，或x=4（此时。与8关于X轴对称，不合题意），4则C（；,一1）,故忸CI=J（4-；）2+（4+1）2=日，25故答案为：.414 .根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴,已知抛物线F=2x,若从点Q(3,2)发射平行于1轴的光射向抛物线的力点，经力点反射后交抛物线于B点，则MBl=.25【答案】WO【解析】由条件可知力。与X轴平行，令Mf=2,可得吃=2,故力点坐标为(2,2),因为金经过抛物线焦点尸弓,o),所以加方程为J"。=：TK整理得4x_3y_2=0,联立IJ'=2X,y2-ly-=0f=f-"l-4×1×(-1)=>0,所4x-3y-2=022)4f3以外+为=彳，A. 2.25m B. 2.5mC. 3.25m【题型5】抛物线的实际应用问题15 .如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,已知行车道总宽度48=6m,那么车辆通过隧道的限制高度为()D.
