第二章坐标变换与参数方程.docx

第二章坐标变换与参数方程我们按照工件的加工要求，编号程序输入数控机床进行加工的时候，有时会出现工件报废、击床撞车以及刀具损坏等事故。通过对事物的分析，发现坐标系的设置错误是原因之一，坐标系的变换与参数方程，在机械加工与数控编程中有着重要的应用。本章主要介绍了坐标轴的平移与旋转和参数方程等内容。2.1 坐标轴的平移与旋转2.1.1 坐标轴的平移实例研究曲线时，常常需要建立坐标系，而不同坐标系的选取直接影响着问题解决的难易程度。因此，研究过程中，我们经常需要改换坐标系。例如，二次函数），=-2>+l的图像是一条顶点在«（2,1）抛物线，如图2-1所示。如果我们不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点01处，得到一个新的坐标系Fay,在新坐标系下，该抛物线的解析式就变成M=玉2.新知识我们把只改变原点的位置,而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换叫做坐标轴的平移.下面我们研究同一个点在不同坐标系下的坐标之间的关系.观察实例中两个坐标系Xoy和Xay,我们可以得到原坐标系中的X等于新坐标系中的（X+2）,原坐标系中的y等于新坐标系中的（,+1）,即X = Xl + 2 y = %+(2-1)(2-2)一般地，如果将原点。移到。|（人幻，则有坐标轴平移的坐标变换公式:Xxi+hJ=X+&x1x-hy=y-k想一想你能否用向量方法说明这里的坐标轴平移的坐标变换公式？知识巩固例1平移坐标轴，将坐标原点移至(-3,1)求下列各点在新坐标系下的坐标：一(0,0),:(1,1),-(-3,1),)x1=X-h.r解根据坐标轴平移的坐标变换公式I,设6(0,0)在新坐标系下的坐标为y=y-(APyJ,则"=°一(一"，即6在新坐标系下的坐标为(3,T)；同理，将巴、£和2的IyI=O-I坐标分别代入坐标变换公式，就得到它们的在新坐标系下的坐标分别为：(4,0)、(o,o)和(5T)例2平移坐标轴，将坐标原点移至(5,-1),已知点。和。2在新坐标系下的坐标分别是和(3,4),求点2和Q2在原坐标系下的坐标。Xxl+h解根据坐标轴平移的坐标变换公式',设在原坐标系下的坐标为y=y+(x,y),则/=5"，即0在原坐标系下的坐标为件,一2)；同理，O2在原坐标系下的坐标为(8,5).例3平移坐标轴后，方程为f+V+2%一4y+l=0的圆，在某新坐标系下的方程是+=4,求新坐标系原点在原坐标系下的坐标。解将方程炉+V+2一4y+1=0配方变形得到(x+1)?+(y-2)2=4又因为该圆某新坐标系下的方程是x12+=4所以x+1=,y-2=y,根据坐标变换公式11，得到力=一1,左=2。J=y+%设新坐标系原点在原坐标系下的坐标为(x,y)根据坐标变换公式，'得到L即新坐标系原点在原坐标系下的坐y=y+Ay=2标为(一L2).坐标平移变换公式得两个主要应用：(1)己知原坐标系内一点求它在新坐标系内的坐标；已知一点在新坐标系内的坐标求它在原坐标系内的坐标.(2)利用坐标平移变换公式化简曲线的方程.练习2.L11 .平移坐标轴，将坐标原点移至(-2,-1)求6(0,1),鸟(2,1),巴(一2,-1),舄(5,-3)各点在新坐标系下的坐标。2 .在坐标平移下，点4一2,3)的新坐标是(一5,1),求原点。的新坐标应.3 .在Xoy坐标系中，直线/的方程是21一3一6=0,新坐标系中，/的方程是2x1-3yl=0,求原点O与新坐标(X,y)满足的关系.2.1.2坐标轴的旋转实例研究曲线的过程中，我们经常需要改换坐标系，有时候平移坐标系也不能很好的解决问题，这时候就需要尝试新的坐标系的变换方式。新知识本节我们来研究另一种常见坐标系的变换方式一一旋转。我们把只改变坐标轴的方向，而不改变原点的位置和单位长度的变换叫做坐标轴的旋转.下面我们研究同一个点在不同坐标系下的坐标之间的关系，如图2-2所示。在坐标系xy中设点P的坐标为(x,y),设OP所在直线的倾斜角为(06Z)o将坐标轴绕原点，按逆时针旋转角。(00')形成新坐标系苍。弘，设点P在新坐标系中的坐标为(,y),则X=IoHCoSa,y=OPsinax1=Fcosa-yx=QHSin(-6)根据两角差的正弦公式与余弦公式可得：x1=Pcos(a-)=0Pcosacos+IOHSinasin=XCoSe+ysin。y=OPsin(-。)=IOHSinacos-OPcosasin=ycos。TSin这样我们就得到了坐标轴的旋转变换公式：%=xcosO+ysin。(23)y=ycos。一XSine显然，坐标系XOy可以由坐标系玉Oy的坐标轴绕原点旋转-。得到的。由上式得x=xicos(-6)+yisin(-6)y=yiCoS(一夕)-x1sin(一夕)X=X1cos-y1sin即11(2-4)y=ylcos+xlsin一般地，可以证明对于任意的。和6,公式(2-3)和(2-4)仍然成立。知识巩固例4逆时针旋转坐标轴工，求4(-3,1),£(0,0),A(l,1),6(2,-3)各点在新坐标系下6的坐标。M=XCOSe+ysin6解根据坐标轴旋转的坐标变换公式4I,设4(-3,1)在新坐标系M=ycos。一XSine下的坐标为(,),则y . -XCos F y sin 66 . =ycos-xsn-即在新坐标系下的坐标为速二！士芭.同理，将鸟、巴和鸟的坐标分别代入坐标变换公式，就得到它们Z的在新坐标系下的坐标分别为：(0,0)、与L与和例5逆时针旋转坐标轴?，已知点。和。2在新坐标系下的坐标分别是(2,-1)和(3,-4),求点Ql和。2在原坐标系下的坐标。xx.cos-y.sin解根据坐标轴旋转的坐标变换公式41八”八，设。在原坐标系下的y=ycose+x1sin932 也、,2 P.x=x,cosy1sin144坐标为(x,y),则44,即Ql在原坐标系下的坐标为.y-ylcos-+x1sin同理，Q2在原坐标系下的坐标为<72 _叵2'2*例6在Xoy坐标系中，直线/的方程是(3石-2)x+(3+26)y+12=0,将坐标轴顺时针旋转(，求直线/在新坐标系Moy中的方程.解P(X,y)是直线/上的任意一点，设它在新坐标系Xoy下的坐标为(X,y).根据坐一！且，x=x.cos-y.sin-72%标轴旋转的坐标变换公式41，八，得到4Ly=ycos+x1siny=y-y因为尸（x,y）满足方程（3/一2）x+（3+26）y+12=0,即，（3/-2）（；%+乎y）+（3+2石）（；）,一日%）+12=0化简整理得2%一3M一6二0练习2.1.21 .逆时针旋转坐标轴求/?(3,1),4(1,2),(2,-1)各点在新坐标系下的坐标。2 .顺时针旋转坐标轴(，已知点Q1和Q2在新坐标系下的坐标分别是(2,-2)和(1,-2),求点Qi和Q2在原坐标系下的坐标。3 .在x0y坐标系中，直线/的方程是36X+2石y+6=0,将坐标轴逆时针旋转?，求直线/在新坐标系玉OX中的方程。课后练习习题A1 .平移坐标轴，将坐标原点移至(-2,3),求6(0,-1),£(一2),£(2,-1)，2(4,-3)各点在新坐标系下的坐标。2 .方程为f+y24+2y+l=0的圆，在某新坐标系下的方程是呼+墟=4,求新坐标系原点在原坐标系下的坐标。3 .逆时针旋转坐标轴用，求柩£1)，6(1,我,(一1,3)各点在新坐标系下的坐标。4 .逆时针旋转坐标轴亮，已知点2和。2在新坐标系下的坐标分别是(2,-血)和(1,-2),求点0和。2在原坐标系下的坐标。习题B1 .利用坐标轴平移，化简下列各方程：(1) x2+y2-8x+4y+l=0(2)÷v+2=l1692 .平移坐标轴，将坐标原点移至(-2,-1),求/+产+8戈一2y-19=0在新坐标系中的方程并画出新坐标轴和图形.3 .平移坐标轴，把坐标原点移至(2,1),然后再将坐标轴顺时针旋转工，求原坐标系4中的点在新坐标系中的坐标.2.2参数方程2.2.1 曲线的参数方程实例一艘轮船，从A地沿北偏东30°的方向向前航行，为了简单起见，我们做如下假设：(1)轮船在海面上沿直线航行。图2-3（2）轮船以速度VO匀速向前航行。我们把时间记为3轮船开始航行时，记t=0.现在来刻画轮船在t时刻所处的位置。我们以A地为坐标原点，正东方向为X轴正方向，正北方向为），轴正方向，建立平面直角坐标系如图23所示。分析：设时刻t时，轮船所在位置为点M（X,y）,显然M的坐标随着t的变化而改变。下面分别讨论x、y与t的关系。利用平面向量的知识，在X轴、y轴方向上分解轮船的速度向量VO可得：%=匕+3其中，唯、匕,分别表示速度向量Vo在X轴、y轴方向上的分向量，记忆、巳、匕为VoVx、Vy的大小，则VX=VoSin30°,Vy=VOCOS30°日n13即=5%'v>=vo由物理学知识可知，轮船在正北和正东方向分别作匀速直线运动，因此可得(atb)(1)上式是描述轮船航行路线的一种方程。想一想实例中船航行路线的普通方程是什么？新知识在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数"'黑（atb）（2）y=g（f）并且对于t的每一个允许值，由（2）所确定的点M（x、y）都在这条曲线上，则（2）就叫做这条曲线的参数方程，t称作参变数，简称参数,相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标X、间关系的方程“（x，y）二°叫做曲线的普通方程C知识巩固'2例1请判断点（2,0）、（|制与是否在由参数方程.仁/（t为参数）确定的曲线上。解令x=2,得t=0,而此时y=0,于是点（2,0）在该曲线上；用类似的方法可以判断点在该曲线上，而点不在该曲线上。例2已知直线的参数方程为一Q为参数），则直线的斜率为:y=2-3r解由x=l+2,得I二乙2Y13将Z=代入y=2-3r,得到=1）3从而得到直线的斜率为-2.2新知识一般地，设。的圆心为原点，半径为1,如图，设OPO所在直线为X轴，以OPO为始边绕着点。按逆时针方向以匀角速度切作圆周运动，现在我们来建立质点P的坐标与时刻f的关系。（其中。为常数，E为变数），如图2.4所示.图2-4结合图形，由任意角三角函数的定义可知:X=COSdX一，t0,+）f为参数（3）y=sinw点户的角速度为口，运动所用的时间为f,则角位移8=函，那么方程组（3）可以改写为X=COSe0,+）。为参数（4）y=sin夕想一想方程（3）、（4）是否都是圆心在原点，半径为1的圆的方程？为什么？提示读者可以自行验证，圆心在点（