第03讲：不等式性质与基本不等式期末高频考点题型讲与练解析版.docx

第03讲：不等式性质与基本不等式期末高频考点题型讲与练【考点梳理】考点一等式的基本性质(1)如果a=b,那么b=a.(2)如果a=b,b=c,那么a=c.(3)如果。=6,那么0±c=>±c.(4)如果那么c=6c.(5)如果。=6,CW0,那么q=2cc考点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b>b<a台2传递性a>b,h>c=>a>c不可逆3可加性4>6O4+c*+c可逆4可乘性>6z=ac>bct>0C的符号>Z.,=ac<bcCyoJ5同向可加性>6一.,.Qa+c>6+dc>d1同向6同向同正可乘性a>>>()z=>ac>bdc>tZ>0j同向7可乘方性a>b>0=>an>b,(nN,心2)同正考点三.基本不等式4%w"+'21 .基本不等式成立的条件：0>0,bX).(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.(l)2÷Z>22(, Z>R).(2)+-2(, b 同号).(3)Mw(ri(, bR).(4)a b2 .几个重要的不等式四以2上不等式等号成立的条件均为a=b.3 .算术平均数与几何平均数设>0,b>0,则,b的算术平均数为也，几何平均数为抽，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小2于它们的儿何平均数.考点四.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则如果积中是定值p,那么当且仅当三L时，x+y有最小值2赤(简记：积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当正匕时，xy有最大值号.(简记：和定积最大)4【题型归纳】题型一：不等式的性质应用1. (2023上江苏常州高一常州市北郊高级中学校考期末)下列说法不正碰的是()A.若M>6>0»则a÷mB.若OC*>tci，则0>AC.若m>6>0»贝J+l>b+1baD.若M>A>0»则/+2b'>【答案】A【分析】对于A,举例判断，对于B,利用不等式的性质判断，对于CD,作差判断【详解】对于A,若=26=L"=l,则e=L=,此时妇巴，所以A错误，a2+m3a+n对于B,由0c2>t可得c0,则d>0,所以由不等式的性质可得0>b,所以B正确，对于C,因为m>b>0，所以-b>O,而>0,1If1I.11,.(2bt.I_1I所以.厂b.-J-b.,(-b)+-(-b)l1÷-I>0,所以+1>b1,所以C正确，ba对于D,因为1>b>0，所以b>0,*2b>0,所以，÷T)-3abi三,-fel÷3bi(-)三(-b)Q'÷b÷bj)-3bi(fl-6)=,J-b)(ai+b-2b')=(fl-b)'(÷2b)>0,所以£*29>%仅，所以D正确，故选：A2. (2022上黑龙江哈尔滨高一哈九中校考阶段练习)如果AadeR，则正确的是()A.若0>5，贝jl<JB.若=>b,则(X2)历，abC.若>b,0bQ,则若a>bc>d»则>rf【答案】C【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的.【详解】取=l,b=-l,则1>1，故A错误；ab取C=0,则c2=M，故B错误；由于。出所以春第S*故C正确；取a=2t6=-1C=0of=2»则c=0>bd=2,ac<7，故D错误.故选：C.3. (2023上宁夏银川高一银川唐徐回民中学校考期末)下列命题为真命题的是()A.若a>b,则c?>权?/B-若则abC.若<b<O,则t>>b'D.若<bv,则而>J【答案】C【分析】通过举反例判断AB；利用不等式的性质判断CD.【详解】对于A：当C=O时，ci=i,故A错误;对于B：当=2力=1时，a>b,但】<!，故B错误；ab对于C：.<b,b<0，ab>bif故C正确；对于D：.<b,<0,at>abt故D错误：故选：C.题组二：由基本不等式证明或比较不等式的大小4. （2021上云南昭通高一云南云天化中学教育管理校考期末）下列结论表述正确的是（）A.若a、buR,则j.b'>2"）恒成立B.若&beR,则士+勺之2恒成立baC.若>0,b>0,则a+b«肾成立D.函数y+一II的最小值为3X-I【答案】C【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误.【详解】对于A,若&beR,则J.b'2206恒成立，错；对于B,若批>0,则2+2N2恒成立，若处<0,则3+2g-2,错；baba对于D,函数y=x+-！=x-1+-+1,x23，x-tx-1令7-,贝心2且Iy=I+*,因为尸=r+；I在2,*21上为增函数，故；,对于C,因为（竽）：学=_八2：+/=_（字”,而>0,故（“JZjE成立.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等''来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求.5. （2019下广东广州高一广州市培正中学校考期末）已知0<C,b>b则下列不等式中成立的是（）a.r2abA.+。<-B（sb<-bbC2a22bi<ljabd+b<202+2j【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到+b'=+2My>4处，所以排除选项A；再根据基本不r-2等式化简得到Slb所以排除选项B;接着根据基本不等式得到向丁布>反匈2S,所以排除选项C；最后根据基本不等式得到选项D正确.【详解】解：对于选项A：因为Ovq<1，5>1，所以cbJa,+206b'>4ab,故选项A错误；r*22cb对于选项B：+b,故选项B错误；一一ab对于选项C：,233>«7-2右，故选项C错误；对于选项D：23+2,>a3+2z+,=÷h?,所以+b<病3T不，故选项D正确.故选：D.【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.6. （2019下内蒙古包头高一统考期末）若a>b>0,则下列不等式成立的是（）A.Jdb<<b<aB.b<7<<a22C.Job<b<<aD.b<-<JSd<22【答案】B【分析】由条件优先判断Va，用作差法可判断出可将b还原成"，结合作差法可判断扬两22数的大小.【详解】因为3>b>0,故由均值不等式可知：S<-；2mP+bb-a岳+b因为a=<0>故<；222因为三y/bIJ,Jb）>0»故bVJ心；综上所述：b<<0.2故选：B.题型三：基本不等式求积的最大值7. （2023下陕西宝鸡高一统考期末）已知4J+b?6,则砧的最大值为（）335A.-B.-C.-D.3422【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.【详解】由题意得，6-4aa÷t>s-'2j+i>a22,即bs,当且仅当2o=t>>即g=6或=-,b=-5时等号成立，所以油的最大值为2故选：B8. （2023上陕西渭南高一统考期末）已知正数X,了满足x2=2,则的最大值为（）A.2B.1C.gD.-24【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为正数X,了满足x2y=2,所以g=%.(2Jr)MT(岑当且仅当X=2y且工=2，即X=1,y=；时取等号，所以守的最大值为故选：C.9. （2023上重庆沙坪坝高一重庆市第七中学校校考期末）己知9=!,0<x<7<l,M=og1"J,则（）425A.MNlB.>1C.MlD.M<l【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解【详解】因为0<XQ<1,所以I。aX>OJogp>0，33log1x÷log1y?I”用T所以M=IOflX/OgjMJ«三1>5322/Z当且仅当°g'bgJ即X-V-1时，取等号，232所以M<l故选：D题型四：基本不等式求和的最小值10. （2023上辽宁葫芦岛高一校考期末）设>0>0,且%+b=2,则1+:（）abA.有最小值为应B.有最小值为27+3C有最小值为无最小值【答案】C【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】由LHX（20b（泊卜K?号用手32"）"当且仅当段上，即=2-,6=26-2时等号成立，ba故当=2-6=2J-2时取得最小值为ab2故选：C.11. （2022上云南曲靖高一校考期末）下列函数中最小值为6的是（）99A.7.÷-B,z=2÷-99C.=sx÷-D.=x+-cosxx【答案】B【分析】根据题意，结合特例和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数y+（,当x<0,可得7<0,所以A不符合题意；对于B中，函数y=2'.总22=6,当且仅当2'（时，即x=k¾3时，等号成立，所以函数的最小值为6,符合题意；9I9对于C中，函数y=c8x2Jcos*-=6,CosxI'（IcosXI9当且仅当ICgrI=I一时，即ISSXl=3时，显然不成立，所以C不符合题意；I8SXl9对于D中，函数fy=gyyQ,当了w（0.1）时，IgX：0,可得yVO,所以D不符合题意.故选：B.12. （2022上云南曲靖高一校考期末）下列各式最小值为4的是（）24a吟bE网C.2lo+2l,D.4sin2x÷|【答案】C【分析】A选项，举出反例；B选项，由基本不等式求解，但,。国一1二无解，B错误；C选项，利用基本不等cos-1式求出最小值；D选项，由三角函数的有界性求出最值.【详解】A选项，当XNT时，2X+-4,故A错误；XB选项，由基本不等式得/。Sl当且仅当os二I'j时，等号成立，IwtxI4但卜。同=2无解，m>x卜向无解，故B错误;C选项，因为2'”>0.2“'>0，由基本不等式得，2“，2'22J2"'2卜=4，当且仅当2"'-2j，即“0时，等号成立，C正确；D选项，45诃2叉+；|的最大值为4,最小值为4,D错误.故选：C题型五：二次或者二次商式的最值问题13. (2021下.江西吉安高一永丰县永丰中学校考期末)函数为士!与1(x>l)的最小值为()x-1A.2万B.3+26C.2+2石D.5【答案】B【分析】将函数化简变形为)Wl草1史也士华以a-D+三3,然后利用基本不等式求解即可X-IX-IX-I【详解】解：因为x>l,所以X-I>0,所以/WiX!S-1