第02讲5.2导数的运算（解析版）.docx

课程标准学习目标能根据定义求函数的导数。能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。1 .掌握基本初等函数的求导；2 .熟练掌握导数的运算公式；3 .能准确应用公式计算函数的导数；4 .会求简单的复合函数的导数；5 .能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.知识点01:基本初等函数的导数公式原函数导函数/a)=C(C为常数)O=OfM=nr=nn-l/(x)=sinx,(x)=COSXf(x)=COSXf,(x)=_SinXf(x)=axf,(x)=axnaf(x)=exf,(x)=ex/W=1。0/'(X)=；xlna/(x)=lnxff()=-Xf()=6=-X八X)T知识点02：导数的四则运算法则1、两个函数/(X)和g(x)的和(或差)的导数法则：f()±g(),=f,±g,().2、对于两个函数/O)和g(x)的乘积(或商)的导数，有如下法则:/(x)g(x)'=fx)g(x)+/(x)g'(x);g(x)/"(x)g(x)-(x)g'(x)g(x)2(g(x)工 0)3、由函数的乘积的导数法则可以得出k)r=c7(x)+f()=H),也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，Cf(x)t=Cff(X)【即学即练1】(2023下四川雅安高二校考阶段练习)求下列函数的导数./(x)="%3+6;(2)/(K)=(5x-4)CoSX.【答案】/'(x)=-2/(2),()=5cosX-5xsinx+4sinx【详解】(1)(x)=x3-x4+6=x2-2(2),(x)=(5x-4)cosx=(5x-4)COSX+(5x一伙cosa=5cosx-5xsinx+4sin.知识点03：复合函数的导数复合函数y=(g()的导数和函数y=/()，"=g()的导数间的关系为其=YX,即V对4的导数等于，对的导数与对X的导数的乘积.【即学即练2】(2023上山东滨州高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=In(34-2),则/'=.【答案】3【详解】由题意知，fx)=-l-×(3x-2)f=X3=-4-»3x-23x-23x-2故答案为：3.知识点04：切线问题1、在型求切线方程已知：函数.)的解析式.计算：函数/()在X=X。或者(d,/(%)处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标/'(七)(方法：把X=X。代入原函数/(X)中)，切点(公,/'(/).第二步：计算切线斜率左=/'(X).(XoJaO),切线斜率)=r0)Q根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(.)=f0)(-0).【即学即练3】(2023上贵州黔西高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习)曲线y=L-nx在X=I处的X切线方程为.【答案】2x+y-30【详解】=-4-(>o),XX则当x=l时，y,=-2,y=l,所以曲线y=L_hu在X=I处的切线方程为y-l=-2(x-l),即2x+y-3=0.X故答案为：2x+y-3=0.2、过型求切线方程已知：函数/(X)的解析式.计算：过点4(,M)(无论该点是否在N=()上)的切线方程.步骤：第一步：设切点4(%，%)第二步：计算切线斜率左='(x0);计算切线斜率A="12宜；XI-Xo第三步：令：A=T(Xo)=I1,解出/，代入上二/'(/)求斜率%一x()第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-yo=Vo)(-).【即学即练4(2023下山东蒲泽高二山东省邺城县第一中学校考阶段练习)已知/(x)=d,则函数/(x)的图像过点(U)的切线方程为.【答案】3x-y-2=03x-4y+l=0【详解】设切点为。(XoJ0),由/(x)=d可得，f,(x)=3x2,由导数的儿何意义可得，切线的斜率2=3片，因为及,所以切线方程为一父=3工：(%-%),将点(LI)代入，得I-K=3宕(I-X0),即(XOTX2x：-XO-I)=。,得(XO-Iy(2x0+1)=0,解得%=1或XO=-3，当/=1时，切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0:当/=-；时，切点坐标为;,一£|，相应的切线方程为V+1=：卜+；)，BP3x-4+1=0,所以切线方程为3x,2=0或3Iy+l=0.故答案为：3x-尸2=0或3x-4y+l=0题型01导数公式与运算法则的简单应用【典例1】(2023上河北邯郸高三校联考阶段练习)下列求导运算中正确的是()A-©=2B,(3)'=x3iU(mJ=焉D-(打=5/【答案】D【详解】对于A,(4)'=0,故对于B,(3')'=3'ln3,故B错误；对于C,(InX)'=L故C错误；X对于D,(y=5故D正确.故选：D【典例2】(2023下新疆阿克苏高二校考阶段练习)求下列函数的导数.(1)=(2x2-1)x(2)y=lnx+LX【答案】y'=62-i(2)/=-7Xxi【详解】(1)整理可得y=23-x,=(2x3-x),=6x2-1.八6+/3)+(344【变式1(2023上陕西汉中高三校联考阶段练习)下列求导正确的是()B. (2r+x2), = 2x+2d. (iog2XA.2x-1)2J=2(2x-)(1.Csinx-cos=cosx+-sinI3j33【答案】D【详解】(2x-l)=2(2x-l)2=4(2x-l),故A错误:(2v+x2),=2rln2+2x，故B错误;cosx,故C错误;sinx-cos3,(lg2%)'1 _ Iog2 eX In 2 X故D正确.故选:D.题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数【典例1】(2023全国高二随堂练习)写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：y=(x+1)'0；(2)y=e3x+l；(3)y=sin(-2x+5)；y=In(3x-1)；(5)y=2x-l；y=tan(-X+1).【答案】(l)"=x+l,y,x=10(x+l)9(2)w=3x+l,W=3e"*(3)u=-2x+5,y,x=-2cos(-2x+5)(4)u=3x-1,yx=-3x-l2z2,1u=2x-l,X=-(2x-l)(6)w=-x+l,H=-COY(I)JVMoI人1II【详解】(1)令=工十1,因为W=EM,所以W=(w，°)(X+1)'=io(v+1)9(2)令=3x+l,因为工=乂”，犬=(e")(3x+l)'=3e"=3d叫(3)令=一2x+5,因为乂=乂“，yfx=(sinw(-2x+5)*=-2cosw=-2cos(-2x+5)-(4)令=3x-l,因为乂=乂包，=(lnwy(3x-l),=-=-.it3x1(5)令"=2x-l,因为*=»：,：，(1V,2-2_2E=H(2x-l)=-u3=y(2x-l)3.(6)令=一x+l,因为y：=y：“，1cos2(-x+1)-【典例2】(2023全国高二课堂例题)求下列函数的导数：(I)J=(2x-3)3;(2)j=ln(5x+l).【答案Ml)E=6(2x-3)2【详解，(1)y=(2x-3p可由J=/及"=2x-3复合而成,所以E=M×2=()f×2=3m2×2=6m2=6(2x-3)2(2)y=ln(5x+l)可由y=In及"=5x+l复合而成,所以E=y'u×5=(lnw),×5=-×5=5.w5x+1【变式1】(2023全国高二随堂练习)写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：y=(2xy；(2)=sin(-x+l)；y=e"2x+l；y=cos(x+3).4【答案】中间变量为t=2x-l,-(2.1)，中间变量为"r+l，-Cos(X-I)中间变量为f=-2x+l,-2e-2x+,中间变量为f=x+3,-sin(x+3)【详解】(1)对于，=C2，中间变量为f=2x-1,则y=!=尸，(21) r所以"(尸j(2x-iy=-2尸2=T=一7y±f7(2)对于y=sin(+l),中间变量为，=-x+l,则y=sinf,所以y'=(sin/)(-x+l)f=-cos/=-cos(-x+1)=-cos(x-1)(3)对于y=ei川，中间变量为Z=-2x+l,则y=e',所以了=(ej(-2xr+1/=-2cz=-2e-X+l(4)对于y=cos(x+3),中间变量为f=x+3,则Iy=COSE,y=(cos)(x+3=-sin=-sin(x+3)题型03解析式中含/'(%)的导数问题【典例1】(2022下吉林长春高二统考期中)若/(x)=2疗'(I)+/,则/，(0)等于()A.2B.0C.2D.4【答案】D【详解】因为/(x)=2矿+/,所以解()=2(l)+2x所以r(l)=2'(l)+2,得F(I)=-2所以/'(x)=-4+2x,所以f(0)=-4故选：D【典例2】(2022下山东高二校联考阶段练习)己知函数/(x)=d+qD+-i,/'(X)是/(力的导函数，则/+/'(2)=.【答案】24【详解】因为/0)=/+当/+工一1,所以/，卜)=3/+41乙+1,所以r(1)=4+与，即/'=8,/(1)=1+IH+1-1=3,(2)=12+×2+l=21,故/+/'(2)=3+21=24.故答案为：24【变式1】(2022四川攀枝花统考一模)已知函数/(X)=f-f+2,则/(2)=()10A.-2B.C.6D.14【答案】C【详解】fx)=3-2f,()x,WJ,(1)=3-2r(l)=>/(I)=1,贝J/()=H2,/(2)=23-22+2=6故选：C【变式2(2022下河北沧州高二沧县中学校考阶段练习)已知函数/(x)='(-l)3+f-x,则/'(T)的值为.【答案】J2【详解】.f(x)=f,(-)x3+x2-x9z(x)=3,(-l)+2x-l,.(-1)=3,(-1)-3(-l)=.故答案为：.2题型04求切线斜率【典例1】(2023下北京海淀高二首都师范大学附属中学校考期中)若直线/过原点，且与函数歹=皿的X图像相切，则该直线的斜率为()1 11A.1B.C.-D.F2eee2【答案】B【详解】因为y=乎，所以V=与黑，设切点为卜丝)，所以儿上等，所以切线方程为y-g=1一?"。一/),又切线过坐标原点，所以一1-1l(