立体几何中的轨迹问题.docx

立体几何中的轨迹问题一、知识点梳理一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力.以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线,圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略定义法:借助圆雉曲线的定义判断.坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交.等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为(0<<90°),圆雉的母线与轴的夹角为二(<V90卜如图.(1)当av。时,截口曲线为椭圆；(2)当a=时,截口曲线为抛物线；(3)当a>0时,截口曲线为双曲线.图图我们再从几何角度来证明.(I)如图,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点耳，F2.在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点QQ由球的性质可知I尸QI=I尸用疗0=|尸闾，于是IP凰+1PKI=IPQj+PQ2=Q02为定值这样截口曲线上的任一点P到两个定点的距离之和为常数、由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.Q?图(2)如图,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点片，K在截口曲线上任取一点P,过点'P作圆雉的母线,分别与两球切于点QvQ2.由球的性质可知IPQl=IP制,IPQj=IP用,于是IPEITpKI=IPQITP=IqqJ为定值，这样截口曲线上的任一点P到两个定点。,。2的距离之差的绝对值为常数，由双曲线的定义知，截曲线是双曲线.(3)如图,用平行于母线OM且垂直于轴截面OMN的平面夕去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点F.设a为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记ac/=/.在截口曲线上任取一点P,作直线与球相切于点兀连结PT,有IPFl=I.在母线QM上取点A3(3为QW与球的切点),使得IABI=I尸刀.过点P作尸Q/A8,有点Q在/上,且忻QI=IABI=IP外另一方面,因为平面OMN与a垂直.那么/±平面OMN,有！上AB,所以1上PQ.于是截口曲线是以点F为焦点,/为准线的抛物线.图二、题型精讲精练1.平行.垂直有关的的轨迹问题平行有关的轨迹问题的解题策略L线面平行转化为面面平行得轨迹；2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.垂直有关的轨迹问题的解题策略1 .可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2 .利用空间坐标运算求轨迹；3 .利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1如图，在边长为。的正方体ABC中，E、尸、G、H、N分别是CG、GQhDDi、CD、BC的中点，M在四边形MG”边上及其内部运动，若MN面AiBD,则点M轨迹的长度是（）【答案】D【分析】连接G、HN,有GHBA,HN/BD9证得面A由3面G"N,由已知得点M须在线段G"上运动，即满足条件，由此可得选项.【详解】解：连接G/AHN、GMY在边长为4的正方体44C7"4"G）中，£、尸、G、”分别是CG、CiDkDDi.CD的中点，N是BC的中点，则GH/HAitHN/BDt又G<Z面A”切，84U面AiHO,所以G"面AiHDt同理可证得N"面AJiDt又GHCHN=H,I.面4/0面GHM又点M在四边形KpG上及其内部运动，MN面AlHDt则点M须在线段G/上运动，即满足条件，GH=立a,则点M轨迹的长度是玄。.22典例2在正方体ABCD-A4GR中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q1BC1,则Q点的轨迹是（）A.点与B.线段BCC.线段与GD.平面ABCa【答案】B【分析】如图，连接A。,证明BGl5Q,又BGlBC，即得解.【详解】如图，连接AC,因为BC11A。,BC11A1B1,A1ABl=A，AQ，U平面AqQ,所以BC1I平面AiBlQ,又B&u平面A4Q,所以BG1B1Q,BC11BC.所以点Q在线段4C上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.角度有关的轨迹问题的解题策略1 .直线与面成定角，可能是圆锥侧面；2 .直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；3 .利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCQ-A8CM的棱长为1,尸为底面ABC。内一点，若产到棱8,4。距离相等的点，则点P的轨迹是（）A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线【答案】D【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系求出点P的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过尸作PEL45与E,过P作尸凡LAo于尸，过尸作尸GAAl交4"于G,连结尸G,由题意可知PE=PG以D为坐标原点建立空间直角坐标系。-DZ,设P（x,y,0）,由尸E=PG得:171=后不，平方得：（XT）?-V=即点P的轨迹是双曲线.故选：D.【典例4】正方体A88-A16CR中，M,N分别为AB,A声的中点，尸是边CQl上的一个点（包括端点），。是平面PMq上一动点，满足直线MN与直线AN夹角与直线MN与直线NQ的夹角相等，则点。所在轨迹为（）A.椭圆B.双曲线【答案】DC.抛物线D.抛物线或双曲线【分析】根据题设分析可知：Q点轨迹为以AN为母线，MN为轴，A8为底面直径的圆锥体，及其关于A4反向对称的锥体与平面PMq的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q所在轨迹的形状.【详解】由题设，。点轨迹为以AN为母线，MN为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于A片反向对称的锥体与平面PM片的交线，如下图示：当户是边GA上移动过程中，只与下方锥体有相交，。点轨迹为抛物线；当P是边GA上移动过程中，与上方锥体也有相交，。点轨迹为双曲线;3.翻折有关的的轨迹问题翻折有关的轨迹问题的解题策略1 .翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2 .翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3 .可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Omde/加利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性.在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆.这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面.如图，在地面的某个占A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得AA与小球相切.若AA=5,小球半径为2,则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）D.【答案】A【分析】设=从而可得AAI=5tAiA2=x+2,AA2=x+3,利用勾股定理可得X=I0,再由离心率的定义即可求解.【详解】在即AA4中，设A/= X,AA1=5,AiA2=x+2,AA2=x+3,.52+(x+2)2=(x+3)2,c2.,.x=10»；.长轴长AA=2。=12,a=6,c=6-2=4贝1|离心率e=一.故选：Aa3【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1. （2023全国高三专题练习）正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持庄_L4C,则动点P的轨迹的周长为（）A.yfh+>2B.yj6V2C.4D.y/S÷1【答案】A【分析】由题意，动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-M8的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解珈图,设ACBD交于。，连接SO,由正四棱锥的性质可得，SO_L平面A8CD,因为ACU平面ABC故SO_LAC.又BDLAaSOcBD=O,SO,BDU平面SBD,故ACj_平面SBZ）.由题意，PELAC则动点尸的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥S-ABC。的交线，即如图川G,则AC_L平面EEG.由线面垂直的性质可得平面S8。/平面EFG,又由面面平行的性质可得EGS8,GFHSDtEF/BDt又E是边8C的中点，故EG、GF、E户分别为-SBC,SDC,.BCD的中位线.由题意BD=20,SB=SD=J2?+2=卡,故EG+EF+GF=g/+娓+2=娓+0.即动点P的轨迹的周长为6+2.S2. （2023安徽滁州安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱ABC。-A4GA中，AB=I,AA=4,E为OR中点，尸为正四棱柱表面上一点，且GP，lE,则点尸的轨迹的长为（）A.5+2B.22+2C,25+2D.至+&【答案】A【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点G垂直于4E的正四棱柱的截面即可计算作答.【详解】在正四棱柱ABa）-A中，连接片A，AG,如图，AC.1B1D1,ER_L平面A冉GA，因为ACu平面ANCQ,贝±4G，又BR,EDu平面EBR,EDeBn=D,则ACJ平面石片口，又BEU平面EBlR,则GA±BiEt取CG中点八连接ERF,在平面BCC因内过C作CQ_LB£,交BBl于G,显然EFjlDG,而Q£_L平面BCGB”则成上平面8CC罔，有GG±EF9又吊尸,尸EU平面修产E,FECBF=F,于是GGL平面8E,而BlEU平面以FE,因此CG1BiEf因为GGCAU平面GGA，GACGG=G，从而Bgj.平面CG入，连接AG,则点尸的轨迹为平面GGA与四棱柱的交线，即因为NBClG+NGC/=NGC/+NBFa=90',即有NqGG=N4尸C,又NCIBIG=NFGB于是C1B1G-FC1B1,有得g=（=2,B1G=Iw1OC12所以点P的轨迹长为AG+ClG+AG=2.+；+2=5+2.故选：A【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.3. （2023江西赣州统考二模）在棱长为4的正方体43CD-A/CQ中，点尸满足M=4AP,E,尸分别为棱BC,的中点，点Q在正方体ABC。-4与GR的表面上运动，满足AQ/面EFQ，则点。的轨迹所构成的周长为（）A,旭B,237C.旭D.返333【答案】D【分析】作出辅助线，找到点Q的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.【详解】延长4）,48,交E厂的延长线与",G,连接PG,PH,分别交切%DDl于R,T过点A作AKPG交B片于点K,过点A作AN/P交力R于点N,因为AKa平面Ea>,PGU平面EFP,所以AK/平面仃P,同理可得AN/平面因为AKAN=A,所以平面E0/平面A