数理统计期末重点知识.docx
数理统计期末点知识期末考试重点目录5.3 统计量及其分布15.4 三大抽样分布2内容概要26.1 点估计的几种方式66.2 6.2点估计的评价标准11内容概要11§7.1 假设检验的基本思想19内容概要19§正态总体参数假设检验265.3统计量及其分布样本方差与样本标准差样本方差有两个，样本方差”2与样本无偏方差S21=-(£(X-X)2OEL实际中常用的是无偏样本方差52,这是因为：当。2为总体方差时，总有n k 1E( a)=O -E(S2)=。52的计算有如下三个公式可供选用：1 £1£b(乙X)2l1v_S2=乙(XX)2=乙X2/-=乙X-nx.n-1in-1inn-i在分组样本场合,样本方差的近似计算公式为y白£小=小NJXFnX1t=l尸11 .从指数总体exp(l0)中抽取了40个样品，试求X的渐进分布N6黑)一512 .设X,a是从均匀分布U(0,5)抽取的样本,试求样本均值X的渐进分布N-,一1251212/=1 - 0.841316= 0.9370,3 .设xy,X20是从二点分布b(l,p)抽取得样本,试求样本均值X的渐近线分布(>5)P(X>5)6二L-8(I.,*0,3308.5.4三大抽样分布内容概要1.三大抽样分布：产分步，F分布，t分布设Xl,X2,Xn和SNZ场是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布人员下表所示统计量的构造；抽样分布密度函数【期望1方差111V.Jl-J-J-V././.7<r.9d。一(2÷jr2+*+/2)/m；_/、/7、-"*>inz2/22(mn-2)F二-*i2m:p(y)三(m)>t2l(1÷m)A""I-|(>2)1:C½+%+/)/：kee")"”v>oh77-2;m(n-2)(-4)1. 2n222=/；p(y)=-(1+i>)b÷/0(7>l)_(/7>2)咚后定卷起林蓼破的置信昌荷与假设检验大多数将基于这三大抽样分布2. 一个重要的定理设X】,X2,Xn是来正态总体N(内。2)的的样本，其样本均值与样本方差分别为X=1寸X和52=4-Z(XCnn-XNr=l,c.、(n1)s2-*、则有(1)X与群相互独立；XM旦，§2/)；(3)-X2(W-I).523. 一些重要推论设X,X是来自正态总体N(也52)的样本，则有/=/%"(-1),其中X为样本均值，为样本标准差.(2)设X,X是来自N0,52)的样本必J是来自M图52)的样本，且此SllIn22s>5两样本相互独立，则有/二一一T尸(%-1,-Ds5,其中S2,S2分别是两个样本方差.若52=52,则Xy12F=S2.S2F(m-1,/7-1).X：y1.在总体M7.6,4)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在6,9.6)内的概率不小于0.95,则至少为多少？4一一解：样本均值门"(7.6,-),、从而按题意可谨立而下不等式P(5.6<X<9.6)=<76<堂二)>0.95,-V1n'4"y4n即2(底)-1>0.95,所以中GM>0.975,查表,(1.96);0.975,故<n>1.96或n>3.84,即样本量至少为4.2.设5,田是来自N(R,25)的样本，问麓多大时才能使得P(kRl<l)>0.95成立？25、解：样本均值行N(R,-),因而nP(XRK1)=PllI=l<=l=2Qw5)-l>0.95,25，25；力所以(xn5)>0.975,tn:5>1.96,这给出n>96,04,即n至少为97时，上述概率不等式才成立.设X用,是来自MR,82)的样本,经计算X=9,$2=5.32,试求P(IX-RI<0.6).Ix-Rl.-ynn(x-R)8vn解：因为=.="t(n-1)用“X)表示服从M15)的随机变si(n-I)Iy215仇D量的分布函数，注意到r分布是对称的，故P(1X-R1<0.6)=P(#光R<406)=27(1.0405)-1,统计软件可计算上式.譬如，使用MATLAB软件在命令行输入tcdf(1.0405,15)则给出0.8427,直接输入2*tcdf(1.0405z15)-l则给出0.6854.这里的tcdf(x,k)就是表示自由度为可k的t分布在X处的分布函数，于是有P(Lr-Rl<0.6)=2X0.8427-1=0.6854.3.设XF是来自N(R,1)的样本，试确定最小的常数c,使得对任意的R>0,有P(lx1<c)<a,1、LL解：由于XN(R)白所以R(Ixkc)的值依赖于日，它是目的函数，记为g(l=l),十是ng(R)=P(1X<c)-P(-c<x<C户(QZ(一。一勿)一(历(一c-),其导函数为g'(R)=-而叭工(C-R)-叭K(-e-R),其中(才)表示N©D的密度函数，由于c>0,R>0,故IC一R2c一R,从而叭.(-c-R)叭V;(C-R),这说明g'(R)<0,g(R)为减函数，并在R=O处取得最大值却max(n(c-R)-(/n(-c-R)二£C)一(nc)=2(ZiC)一1.虔O于是，只要2(4/C)a,即(OV)CV(用2/后就可保证对任意的R>0,有PaXAC>a.最大的常数为C="(7'尻G+X>4 .设元是来自MO#?)的样本，试求Y=T鼻的分布.,2IxrJ解:由条件小+“2Mo,20汽广2M22G*,故-X-X又C°V(Xl+*2,XIr)=VMXl)-VM*2)=°,且为+也与*L*2服从二元正态分布,一(x+XY(x+X)/-,12a)2故x+x与X-X独立，于是y=t2=-12'Al,1).5 .设总体为N(U),即,X2为样本，试求常数k,使得_+G>kJ=0.05.(X-X)2+(X+X)2I1212j一5十酮四甲工、上a2VX-XJ7(l,l),z,(-)2+(x+X)2121212由于Z的取值与(0,1),故由题目所给要求有0<k<l,从而YkP(Z>Id=(>A)=P(Y>)=0.05.6.设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为S2周,试求P(耳>2).12Ss145219.92解不妨设正太总体的方差为。2,则有一u%2(14),X2(19),于是0202尸=4尸(1419).Sl利用统计软件计算可算出P(SS2>2)=P(F>2)=0.0798.譬如,可使用MATLAB软件计算上式：在命令行输入l-fcdf(2,14,19)则给出0.0798,这里的fcdf(*2)就表示(0,七)自由度为的F分布在X处的分布函数。7.设(5切是来自正态分布N")的一个样本/与片分别是样本均值与样本方差。求k,使得p(X>R+ks)=0.95z,.Jzj(X-R)i解：在正态总体下，总有t(nT),所以0P(X>R+ks)=P而一kR>k4n=0.95,即ZVH*ftkn)=0.05,故如是自由度是n；的t分布t(nl)的0.05分倍数,S-1.7459即L=ho5m,如今OR,查表知to/(6)=1.7459,从而ft=-i=0.42M.§6.1点估计的几种方式1.设总体密度函数如下A'*是样本，试求未知参数的矩估计.2,(l)p(x;9)=(9-x),0<X<9,9>O;92(2)P(x;9)=(9+1)X9,0<x<1,9>O;(3)p(x;9)=>9x9-,O<x<1,9>O;i1'P,口Pm；，四)二CP9解知号体均值EMN以(9-M力=痣g一於dx=39,即即9=3E(X),人故参数9的矩估计为9=3x.总体均值E(X)=jl(9+l)x9d=9+11-2E(X)八.<r9T2,所以9吊两h,从而参数9的矩估计/.<9A2(3)由E(X)=,xyoxrdx=q0可得9二,由此，参数9的矩估计,9÷1先计算总体均值与方差E(x)=J+sx9evpIX上J+spe-9力=9+p9公=J+s9e-9力+90E(X2) r x2l-9+ “ 1 1dx = J (t + p)e9dtj+s /21 e-t)dt 0 9+J+s2Pre-9dt+J+sp2e-9dt=29+2p9+p2.Var(X)=E(X2)-(E(X)2=92由此可以推出9二、戊)，目=Ea)-*Varft),从而参数9,从的矩估计为2.设总体概率函数如下M,户是样本，试求未知参数得最大似然估计.E(1) <X<1,0>0;(2) ,(x;o)=OcOx-(0+i),X>ctc>O已知为1解似然函数为力(o)=QS3(x,)i,其对数似然函数为mInL(0)=InO+(V行一1)(InxHblnx)21“将InLe)关于。求导并令其为0即得到似然方程61nL(0)n+(InXHbInx)-=029i2押八1E解之得。二(一工In%)na=由干牛(0)r.二啊a212024HWJ-4磔OIc所以或是。的最大似然估计.似然函数为L(O)=eco(%A(OH),其对数似然函数为IftInL(O)=nln+n01nc-(0+1)(liix+lux)1n解之可得o=<-fLnx-Inc)n'i=id2InLg-n_由于一壮pv。，这双明。是。的最大似然估计.023.设总体概率函数如下MX是样本，试求未知参数的最大似然估计.1 n(1) .(x;0)=cc-(c-i),X>0,0>0,c>0已知；1I(2p(x-fi,i)=ee,x>LI,9>0;U(3)p(%；e)二(左e)(CO)-i,0<%<L+i)o,o>o解：(1)样本Xl,x的似然函数为1.(9)=Cn9IW(XX)(e+l)/<9要使9)达到最大，首先示性函数应为1,其次是9“尽可能大曲于>0,故9“是9的单调增函数,所以9的取值应尽可能大,但示性函数的存在决定了9的取值不能大于U),由此给出的9最大似然估计为Xa)此处的似然函数为£(9)=(j)nexp,-9才(X-mj,>日E£(XJO)其对数似然函数为InL(R)=-win9-a'由于所以，ln£(9,从)是日的单调增函数,要使其最大，目的取值应该尽可能的大，由于限制-x(D,这给出N的最大似然估计为d=xd)将In£(9,四)关于9求导并令其为0得到关于9的似然方程£(X一四)ainL(9,0),ik+-*
