控制工程基础第3章时域分析法.docx

第三章时域分析法教学时数：8学时教学目的与要求：1 .熟练掌握、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数,特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2 .了解阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。3 .正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。4 .正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。5 .熟练掌握计算稳态误差的方法。6 .掌握系统的型次和静态误差系数的概念。教学重点：时域分析介绍、一阶和二阶系统分析与计算、系统稳定性分析、稳态误差分析及计算。教学难点：稳定性判据和稳态误差计算。控制系统的数学模型，是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上。§3-1时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。二、典型初始状态，典型外作用1 .典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。(a)(b)(c)图3-1典型外作用(d)2.典型外作用单位阶跃函数l(t)其数学表达式为：/(l) = l() = <1 r>00 r<0其拉氏变换为：(r)=F（八）=k-r=-0S单位斜坡函数其数学表达式为：/(z)=z,(z)=t0t<0其拉氏变换为：l(z)=F()=rewJr=40s单位脉冲函数其数学表达式为：/(r)=J(r)=0"0t=0+OO其拉氏变换为：L(r)=F(s)=l定义：tyt=图中1代表了脉冲强度。单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。正弦函数其数学表达式为：/(/)=sin d r >00r<0-O7S- + GJTOO其拉氏变换为:/(/)=尸(三)=sintes,dt=O三、典型时间响应初状态为零的系统，在典型输入作用下输出量的动态过程，称为典型时间响应。1 .单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入r(t)=l(t)作用下的响应，常用h(t)表示。若系统的闭环传函为(s),则h(t)的拉氏变换为”(三)=(三)R(三)=(s)-(3-1-1)s故()=,H2 .单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入r(t)=tl(t)作用下的响应，常用q表示。则有C1(s)=(s)R(s)=(5)4V故()=,Cf3 .单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入r(t)=(t)作用下的响应，常用k(t)表示。K(三)=(5)R(三)=(5)1=(s)(3-1-3)故一)=LTK(s)=Z7(s)注：关于正弦响应，将在第五章里讨论4 .三种响应之间的关系由式(3-1-3)可(3TT),(3T-2)写为HG)=(ly)-=K(s)-ssC1(三)=(s)，=K二=”,SSS相应的时域表达式为h(t)=k()dcl(t)=h()d四、阶跃响应的性能指标1、峰值时间tp：指h(t)曲线中超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间。2、超调量指h(t)中对稳态值的最大超出量与稳态值之比。3、调节时间ts：指响应曲线中，h(t)进入稳态值附近±5%h(g)或±2%h(g)误差带，而不再超出的最小时间。4、稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。注意事项：0%,4及%三项指标是针对阶跃响应而言的，对于非阶跃输入，则只有稳态误差45,而没有和§3-2一、二阶系统分析与计算一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。一阶系统数学模型Ty+c(t)=r(t)微分方程：dt动态结构图：传递函数:C(S)= 1R(S) Ts+ 1一阶系统单位阶跃响应：输入：r(t)=l(r)R(三)=-s输出：C(三)=(s)*R(s)=*-C(r)=l-eTs+1s单位阶跃响应曲线：初始斜率：等IN="atT性能指标：1 .平稳性:非周期、无振荡，%=O2,快速性ts：f=3T时，c(r)=0,95对应5%误差带1=47时，c(r)=0,98对应2%误差带3.准确性e8S：ew=l-c()=0举例说明(一阶系统)一阶系统如图所示，试求：1 .当KH=Oj时，求系统单位阶跃响应的调节时间放大倍数K,稳态误差e32 .如果要求=0.1秒，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？3 .讨论KH的大小对系统性能的影响及KH与蕊的关系。图3-6一阶系统结构图看懂例3-1回答上述各题。二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统数学模型二阶系统的微分方程般式为:d2c(t),dc(t),/、，/、三1+2件“丁+可c(f)=&")(例>0)6一阻尼比例-无阻尼振荡频率二阶系统的反馈结构图0-.3A-IS(S+2眄)图3-7二阶系统的反馈结构图二阶系统的传递函数：G(三)=闿开环传递函数：s(s+2n)CG)_,一闭环传递函数：R(三)s2+2go”s+二阶系统的特征方程为：*+2,必s+成=°解方程求得特征根："2=-血S±必7?0Si,S2完全取决于？，COn两个参数。当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：c(f)=4+A2*式中为由r(l)和初始条件确定的待定的系数。特征根分析°<?<1(欠阻尼)：sl2=-ns±jj-2此时si,s2为一对共轨复根，且位于复平面的左半部。-l图3-8s平面上二阶系统的闭环极点的分布特征根分析G=I（临界阻尼）s,2=Y%±gdU-=-M11此时s,S2为一对相等的负实根。s1=s2=-n特征根分析>l（过阻尼）512=-n±lly2-此时si,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。特征根分析一6二0（零阻尼）sl2=-n±ny2-1=±此时si,s2为一对纯虚根，位于虚轴匕SI,2=±jn特征根分析一一l<,<0(负阻尼)5lt2=-ll±jj-2,此时si,s2为一对实部为正的共扼复根，位于复平面的右半部。特征根分析一<-(负阻尼)lt2=-ll±t,yr此时si,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。二阶系统单位阶跃响应1.过阻尼(G>1)二阶系统的单位阶跃响应W=/L_!1(5-51)(5-5,2)S(4+1)S+l)SSl=一眄+&27=-1/7；邑=一眄一nJ-=-1/7；取C(S)拉氏反变换得:h(t) IheT2Ti-+J"一 i过阻尼系统分析：衰减项的导指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；衰减项前的系数个大，个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。过阻尼系统单位阶跃响应与阶系统阶跃响应的比较:二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析:1 .误差C=Iimr(f)-c(f)=O«2 .响应没有振荡cr%=O对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论心，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面,但确定L的表达式是很困难的，一般根据(314)取相对量刀及工/乙经计算机计算后制成曲线或表格。2.欠阻尼(0<,<l)二阶系统的单位阶跃响应CG) =RG) s2 +2ns + cut近2 = 一眄 ± Jl-L =-± jdO=G为根的实部的模值；d=g阻尼振荡角频率。二阶欠阻尼系统的输出：C(三)=q1=1_咨S2+2lis+OsS(5+l)2+05(s+n)2+a拉氏反变换得：c(t)=1-en'cos,t+(sin,t)V1-c(t)=1r-!ewsin(,t+arccos)1-7二阶欠阻尼系统输出分析二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1,暂态分量为衰减过程，振荡频率为3d。下图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线。图314二阶系统单位阶跃响应的通用曲线下图根据上图来分析系统的结构参数C、对阶跃响应的影响。平稳性(%):暂态分量的振幅为：A=：E振荡频率为：d=llyl-2结论：越大，3.越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，？越小，3d越大，振荡越严重，平稳性越差。当7=0时，为零阻尼响应，具有频率为例的不衰减（等幅）振荡。阻尼比和超调量的关系曲线如下图所示:图3-16对应不同误差带的调节时间与阻尼比的关系曲线从图中看出，对于5%误差带，当？=0.707时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5%,平稳性也较好，故称？=0.707为最佳阻尼比。总结：例越大，调节时间L越短;当，一定时，¾越大，快速性越好。稳态精度:ht = -.-7sin(¾r + arccos )从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1,因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1 .上升时间4：令/?()=1,则e,t' sin(t¾r + arccos ) = 1所以："OS?Sd2 .峰值时间W根据极值定理有:Sinj-2t=0z?婚。项不可能为零Sin必，1一铲乙=0ny-2tp=n(=0,1,2)取n=l得:3 .超调量0%将峰值时间fp=4t代入下式A(Z) = I-1J42sin(d> + arccos )得:-<5iz(z)max = h(tp) = 1, sin(- + arccos ) -1 +2所以:% =力"2 力(8)00% =产值 × 100%/7(8)4.调节时间4写出调节时间的表达式相当困难。在分析设设计系统十，经常采用下列近似公式。当阻尼比？0.8时3 5、=轰(取5%误差带)I=募(取2%误差带)三、二