实数完备性定理及应用研究.docx

3全面认识实数完备性3.1 确界定义定义1设S为R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切xS,都有xM(xL),则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界).若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集.定义2设S是R中的一个数集.若数满足：(i)对一切XeS,有x",即是S的上界；(ii)对任何存在XOGS,使得与>即又是S的最小上界则称数为数集S的上确界，记作7=supS定义3设S是R中的一个数集.若数g满足：(i)对一切xS,有x4,即q是S的下界(ii)对任何分>4，存在aeS,使得&V/?,即J又是S的最大下界，则称数4为数集S的下确界，记作=infS上确界与下确界统称为确界.3.2 极限以及数列定义定义4若函数/的定义域为全体正整数集合N+,则称=N+A或/(n),nN+为数列定义5设%为数列，。为定数.若对任给的正数C(不论它多么小)，总存在正整数N,使得当>N时有|4-4<£，则称数列%收敛于。，定数称为数列。的极限，并记作Iiman=a或ana(n).定义6若数列%的各项满足关系式。角(。用)，则称/为递增(递减)数列.递增数列和递减数列通称为单调数列.3.3 区间套定义定义7设闭区间列%,2具有如下性质：(i) an,an+l,bl,+i,n=1,2,.；(ii) lim(-azr)=0,W>00则称外,2)为闭区间套，或简称区间套3.4 聚点定义口定义8设S为数轴上的非空点集，J为直线上的一个定点(当然可以属于s,也可以不属s).若对于任意正数£,在uC；£)中含有S的无限个点，则称S为的S一个聚点.定义8，设S为实数集R上的非空点集，gR.若对于任意正数£,Uo()(S,则称J为的S一个聚点.定义8若存在各项互异的收敛数列xJuS,则其极限Iimz=J称为Sn的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义8定义8，由定义直接得到定义8,定义8对任给的e>0,由(TC；£)nSw°,那么取e=,切u。仔;)ns；3x2to(2)5;3xneUon)S;这样就得到一列%uS.由%的取法，卜“两两互异，并且o<k,T<2'n由此IimX“=J定义8定义8由极限的定义可知这是显然的.3.5 开覆盖定义定义9设S为数轴上的点集，”为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如（,0的开区间）.若S中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称”覆盖S.若H中开区间的个数无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.4实数完备性定理的证明他4.1 确界原理及其证明确界原理设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.证我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明.为叙述的方便起见，不妨设S含有非负数.由于S有上界，故可找到非负整数力，使得1）对于任何xS有x<+2）存在旬S<g”.对半开区间,+1）作10等分,分点为几1,九2一,".9,则存在0,12,9中的一个数外,使得1）对于任何xS有<几+；2）存在qS,使qn.n1.再对半开区间几,几+，）作10等分，则存在0,1,2,9中的一个数2使得1）对于任彳可XS有X<n,nn2+话"2）存在/wS,ya2n.nn2.继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在0,1,2,9中的一个数使得1)对于任彳可xS有x<n.nln2.nk+r2)存在45,使akn.nin2.nk.将上述步骤无限地进行下去，得到实数=几%以下证明=SUPS.为此只需证明：(i) 对一切xS有x;(ii) 对任何av，存在kS使<”.倘若结论(i)不成立，即存在xS使x>7,则可找到X的左位不足近似与，使1XA>rlk=几2-久+而7，从而得1X>人+0人，但这与不等式相矛盾.于是(i)得证.现设a<，则存在Z使的女位不足近似为>或，即n,nln2.%>ak,根据数的构造，存在dS使"外,从而有a,k>aka,即得到av，.这说明(ii)成立.4. 2单调有界定理及其证明单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.证不妨设%为有上界的递增数列.由确界原理，数列”有上确界，记为a=supaj.下面证明就是%的极限.,事实上，任给£>0,按上确界的定义，存在数列%中的某一项心使得-£<N又由%的递增性，当"N时有a-<aNan.另一方面，由于是数列%的一个上界，故对一切%都有a”a<a+.所以当N时a-<an<a+,这就证得Iiman=a.l同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.4. 3柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则数列%收敛的充要条件是：对任给的£>0,存在正整数N使得当,m>N时有anan<.,2'证（必要性）设Iimtzzj=A,由数列极限的定义，对任给的£>0,存在正整woo数N，使得当心相>N时有Ia“-A<,am-<因而有an-am<an-+am-<.（充分性）由题设，对任给的£>0,存在正整数N,当N时，z,-aN<e,即当"N时，有CInG（PN-8,（1'+4IIII1X纵aft%+&令£=,，存在正整数N,当N时，allaN-,ajv+-，,I取。1，夕J=aNyaNy+2-令£=7，存在正整数MN1,当N,时，an7,i+，2"L22_取a2,2=a1,1aN2-,aN2+.显然有,4=>22，2a2-t并且当M时，ana2,.令£=.,存在NkNNlI7,当Njt时,anaNk-*M%+*取&/=4一1,尸jn°MMN*+齐.这样就得到一列闭区间4",满足4.1 4,bqn%+也+1,k=1,2,；4.2 )b,ck>0,k>8；(iii)对VZN+,当时，an三ak,k.由区间套定理，存在惟一的三ak,k.由区间套定理的推论，对任给的£>0,存在N>0,当>N时OWL，久uUG；£）,所以除一目<£.这就证明了Iilna=J.故数列%收敛.o4.4 区间套定理及其证明区间套定理若。“也是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点使得4W。，仇，=12.,即4g=1,2.121证由定义7的条件（i）可知，数列%为递增有界数列，依单调有界定理，%有极限久且有atl9n=l.同理，递减有界数列"也有极限，并按区间套的条件（ii）有Iimb=Iimaf,bn,n=1,2,.nn综上，可得an<bn,n=1,2,.下面证明满足anbn,n=.的J是唯一的.设数一也满足z,a,"=l,2,.,则由anbft,n=1,2,.有-j（b,l-atln=1,2,一由区间套的条件（三）得忸lim（"-4）=0,故有=.IIce注区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结论不一定成立.例如对于开区间列（0，；），显然S是不存在的.推论若&atl,a=1,2,.）是一个区间套az,也所确定的点，则对任给的e>0,存在N>0,使得当>N时有L，uU（g；£）.证由区间套定理的证明可得：Iima=Iimg1=,wn由极限的保号性，对于任意正数£,存在正整数N,当N时，有-<all,bn<-,即-<an<bn<+f这就是说an也uU(;).4.5 魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明聚点定理实数轴上的任意有界无限点集必有聚点.证因为S为有界点集，所以存在正数使Su-M,M,且记现将al,bl等分为两个子区间.因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有5中无穷多个点，记此子区间为。2,仇，则,=)且b2-a2=0l-1)=M.再将同为等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S中无穷多个点，取出这样一个子区间,记为%也，则L也卜%也，且%=g(022)=将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列(4也J，它满足=>k+也川，=12，bn-an=0(),即也是区间套，且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点由区间套定理，存在唯一的一点n,h,n=1,2,.由区间套定理的推论，对任给的£>0,存在N>0,当>N时OWL也uUG*)从而Ue£)内含有S中无穷多个点,按定义8J为S的一个聚点.推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.证设匕为有界数列.若居中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若数列卜“不含有无限多个相等的项，则卜“在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集卜至少有一个聚点，记为g.于是按定义8，存在上“的一个收敛子列(以。为其极限).4.6 海涅博雷尔有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理设“为闭区间Lu的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖证(论反证)假设定理的结不成立，则不能用”中有限个开区间来覆盖ayb.现将M等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记此子区间为除也，则且向一q=gS-).再将L,仇等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用”中有限个开区间来覆盖.取出这样一个子区间，记为L也，则/也uq,4,且b?-a?=?(b-a).将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列%,2,它满足"也L+14,=1,2,.,bn-an=-(b-a)0(),即%也是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖由区间套定理，存在唯一的一点an1bn,n=1,2,.由于是的一个开覆盖，故存在开区间(,0H,使Jc(,/?).于是，由区间套定理的推论，当充分大时有%,au(a,0.这表明上也只须用”中的一个开区间Q0就能覆盖，与挑选明也时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖LU注定理的的结论只对闭区间4”成立，而对开区间则不一定成立.5实数完备性的应用研究5.1 实数完备性定理的循环证明5.1.1 用有限覆盖定理证明聚点定理证设S为直线上的有界无限点集.于是存在4力使Su鼠”.假定L，”在任何点都不是S的聚点，则对每一点X