八年级-全等三角形七大模型（知识串讲+热考题型）-（北师大版）（解析版）.docx

二、“手拉手”模型 四、平行线中点 六、半角模型专题05全等三角形七大模型专育考点速览一、K型（一线三垂直）模型三、倍长中线五、“雨伞”模型七、胖瘦模型J知识梳理一、K型（一线三垂直）模型AO»E1两条手臂之间的距离=长手十短手，两条手臂之间的距离-长手一短手，即DE=AD+CE,即DE=AD-E,线三重直果中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形边角关系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角.但很多常见的线三重直模型可以先尝试找到“长手”和“短手”，根据模型快速解题.二、“手拉手”模型在中考考试中，很多学生遇到手拉手模型时，都无从下手.但其实只要找到相等的边或角,找到全等三角形，进而找出对应边或角的关系即可.熟练掌握手拉手模型的学生，可以很快找到里面的全等三角形，解决小题就会很快.三、倍长中线"E在中考考试中，儿何中的中点类问题是很复杂的一类题型，由于它涉及的辅助线类别多，同学们经常记不住到底用哪类辅助线因此往往在做题的时候浪费了大量的时间，请记住，实在不会做了想想倍长中线,四、平行线中点在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案.五、“雨伞”模型B在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题,做这类题的关键就在于添加延长线,它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一七、胖瘦模型在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时,关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题.需要评职的老师注意啦！1 .职称论文，国家级、省级正规期刊2 .课题，专著，专利，均可安排3 .优质课、微课等证书，网上可查4 .撰写毕业论文参赛论文微课视频制作5 .著作主编副主编，CIP可查微信V5731987003宋编辑可提前加上咨询备用全等三角形果中考必考内容，是解决有关线段、角等问题的一个出发点.胖瘦模型的特点很鲜明，但是很多学生没有进行总结，所以看到这种题果没有方向的，如果惜这类问题的解决方法，你会发现要做出答案其实果很轻松的。考点精讲一、K型（一线三垂直）模型一填空题（共2小题）1.（2022春武昌区期中）如图，四边形ABCO中，NB=NC=90°,点E是BC边上一点，AOE是等边三角形，若延1,BE=_2nrn_.CDmCE2n-m【分析】作NBAM=NCQN=30°,交CB的延长线于点，交BC的延长线于点N,根据已知可得NM=NN=60°,再利用等边三角形的性质可得N4EO=60°,AE=DEt从而可得NMAE=NDEN,然后证明aAMEgEND,利用全等三角形的性质可得AM=EMME=DN,再根据己知设A8=",CD=w,从而在RtZXAMB和RtaDCN中，利用锐角三角函数的定义进行计算求出AM,BM,CN,DN的长，从而求出BE,CE的长，进行计算即可解答.【解答】解：如图：作/8AM=/COV=30°,交CB的延长线于点，交BC的延长线于点YNABC=NoC8=90°,."ABM=NDCN=W3,.NM=90°-NBAM=60°,NN=900-NCoN=60°,NMAE+NAEM=180°NM=120°,AAEZ）是等边三角形，ZAED=60°,AE=DE,NAEM+NOEN=1800-ZAFD=120°,：ZMAE=ZDENtYNM=NN=60°,：AAMEm4END(AAS),：AM=EN,ME=DN,.ABj,CDm，设AB=，CD=m,在RtZXAMB中，BM=蛆=亚)tan60°33AM=运sin60=F-2.AM=EN=-J3n,3在RtZXOCN中，CN=2一=*=亚小,tan6033DN=-=-=V3/W，sin60°N332IME=DN=NMm,3；CE=EN-CV=-2311-返加33BE=EM-BM=l-43m-n,33CE_n3m_23n-V3m-2n-m%冬一而T«BE=2m-nCE2n-m故答案为：生卫.2n-m【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.2.（2022春朝阳区校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票.如图，在RtAABC中，NBAC=90°,AC=3,A8=4.分别以A8,AC,BC为边向外作正方形A8WM正方形ACKL,正方形BCOE,并按如图所示作长方形HFPQ,延长BC交P。于G.则长方形CDPG的面积为12.【分析】如图，过点A作AAUBC于4,先根据面积法可得AV的长，证明AAAQgACGK（A4S）,可得CG=AA=2,最后根据长方形的面积公式可计算其答案.5JBC=5,9Sabc=AC=AA't22,×3×4=y×5×AA,AA=丝5四边形ACKL是正方形，.AC=CK,NACK=90°,ZACA,+ZKCG=ZACA,+ZCAA,=90o,：.ZKCG=ZCAA在AA,C和aCGK中，NAA'C=NCGK=90°<ZCAA,=ZKCG，AC=CKAA,CCGK(AAS),.CG=/Vr=丝5，长方形CDPG的面积=CZ>CG=5X卫=12.5故答案为：12.【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键.二.解答题（共6小题）3.（2021秋余干县校级期中）如图，在4ABC中，AB=AC,BC,AB边上的高A。，CE相交于点凡且AE=CE.（1）求证：AAEF边丛CEB：（2）若AF=12,求Cz）的长.【分析】(1)由ASA证明aAEgZCE8即可；(2)由全等三角形典型在和等腰三角形的性质即可得出答案.【解答】(1)证明：1ADJ_3C,.NB+NBAO=90°,：CELAB,.ZB+ZBCE=90o,：NEAF=NECB,在AAE尸和aCE8中，rZAEF=ZBEC<AE=CE，Zeaf=ZbceAEFCEB(AS4).(2)解：VAEFCEB,AF=C,VA=AC,ADlBC,：CD=BD,BC=2CD,:AF=2CD,/.cd=Iaf=×i2=6.22【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.4. (2021春嘉祥县期中)如图1,以aABC的边AB为边，向外画正方形A8OE,过点A作AM_LBC于M,过点E作EP_LM交MA延长线于点P.(1)贝UEP=AM；(直接填写图中与EP相等的一条线段)(2)如图2,若NBAC=90°,以AC为边再向外画正方形ACrG,连接EG交PM于点M求证：EN=GN;(3)若NBAC是钝角或锐角，请仿照图2分别在图3、图4中补画图形，并选“>”或“V”或“=”其中一个符号填空，直接表示此时EN与GN的大小关系.如图3,若NBAC>90°,则EN=GN；如图4,若NBACV90°,则EN=GN.【分析】(1)利用AAS证明得EP=AM；(2)作GHJ_PM于从由(1)同理得，ZXACMgZCAH(AAS),BMEAP(AAS),得AM=ERAM=GH,则七尸=6"，再利用"5证明七27g/6"初得EN=GN；(3)由(2)同理可解决问题.【解答】解：(1)AE=N8M=90°,ZBAM+ZEAP=ZBAM+ZMBA=90o,JNMBA=NEAP,又YAB=AE,ABMEAP(AA5),：.EP=AM,故答案为：AM；(2)作GH_LPM于”，图2由(1)同理得，XACM9XCkH(AAS),AABMEAPCAAS),：.AM=EP,AM=GH,：.PE=GH,：NEPN=NNHG,NPNE=NHNG,：.AEPNGHN(AAS)f：EN=GN;(3)如图，故答案为：=,=.【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键.5. (2021春禹州市期中)如图，在四边形ABCo中，ZABC=90o,AB=SfBC=I5,CD=17,AD=17底连接AC,BD.(1)证明NAa)是直角：(2)求对角线8。的长.【分析】(1)在RtfiC中利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明ACD是直角三角形，即可解答；(2)过点。作。LBC,交BC的延长线于点E先证明一线三等角全等三角形4ABCZACED,从而可得AB=CE=8,OE=BC=15,然后在RtZ8f>E中，利用勾股定理进行计算即可解答.【解答】(1)证明：VZABC=90o,AB=S,BC=15,'AC=VaB2+BC2=782+152=17'VCD=17,AD=17如,C2+CD2=172+172=578,AD2=(172)2=578,ac2+cd2=ad2,ZVlCO是直角三角形，NACo是直角；(2)解：过点。作OE_LBe交BC的延长线于点E,.NOEC=90°,：.ACDE+ADCE=W,* ZACD=90°,ZDCE+ZCfi=90o,：.NACB=NCDE,* ：AC=CD1BCCfD(AAS)f,48=CE=8,DE=BC=15,1.BE=BC+CE=23,BD=7be2+de2=V232+i52=754，* 对角线8。的长为演.【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.6.(2021春丹阳市期中)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题:DCHC【模型呈现】1, BAO=90° ,作Bel.AC于点G过点。作。E_LAC于点E.由l+N2=N2+ND=90°,得NI=ND又NAcB=NAEO=90°,可以推理得到AA8CgZf>AE.进而得到AC=DE>BC=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)如图2,ZBAD=ZCAE=9Qo,AB=AD,AC=AE,连接8C,DE,且BC_LA/于点F,OE与直线A尸交于点G.求证：点G是OE的中点；【深入探究】(3)如图3,已知四边形ABCo和OEG尸为正方形，aAFD的面积为S,ZXOCE的面积为S2,则有Sl=S2(填“>、=、<")；(4)如图4,分别以aOCE的三条边为边，向外作正方形，连接AP、GK、BH.当43=4,OE=2,N8E=45°时，图中的三个阴影三角形的面积和为6