专题12立体几何专题（新定义）（解析版）.docx

专题12立体几何专题（新定义）一、单选题1. （2022秋.内蒙古赤峰.高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式V=砂中的常数A称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式V=WL求体积（在等边圆柱中，。表示底面圆的直径；在正方体中，。表示棱长，在球中，。表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为。），正方体（棱长为。），球（直径为。）的“立圆率”分别为勺，k2,%,则勺：内：&3=（）C.3:2万：2【答案】A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率''即可得出.【详解】因为%，桂=万XqWlfxI2因为KE方体="2。3，所以左2=1，az、3rav.74a.3因为=X=k3a,所以&二一，32）6所以K,.k2,.ky=£：1：£.46故选：A.2. （2022秋江苏南京高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为V=，力（S+4S什S）其中S,S分别是上、下底面的面积，So是中截面的面积，力为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A. 63 车B. 65 车C. 67 车D. 69 车【答案】B【分析】根据所给条件先计算上底面和中截面的长、宽，进而求出各个面的面积、体积以及重量，进一法求出所需要的车次.【详解】解：由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积S=18x8,I514中截面积SO=I9x9,下底面积£=20x10,所以该建筑材料的体积为g:xlx（144+684+200）=一立方63米，5143所以建筑材料重约宁x=257（吨），需要的卡车次为257÷4=64.25,所以至少需要运65车.故选：B3. （2022全国高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰泰勒（JohnTgIor,1781-1846）在其大金字塔一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例（U手=1.618）,泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若fi2=as,则由勾股定理，as=s2-a2,即（±-±-1=。，因此可求得士为黄金数，已知四棱锥底面a）aa是边长约为856英尺的正方形（24=856）,顶点P的投影在底面中心O,为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）约为（）.BA. 611.6B. 481.4C. 692.5D. 512.4【答案】C【解析】由24=856和PH=S=可得2【详解】解:PH =s = '+I a > 2a = 856 2故选：C【点睛】读懂实际问题，把实际问题转化为数学问题进行计算；基础题.4. （2023辽宁沈阳统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）【答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为兀，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为62-8=4r.故选：B.5. （2023全国高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为6,b为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），。为该地的纬度值，如图.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即b-23o26',23o261.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬39。5427，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）A.北纬5。5'27"B.南纬5。5'27”C.北纬5。5,33"D.南纬5。533"【答案】D【解析】首先根据题意理解太阳高度角、该地纬度、太阳直射纬度的概念，然后由太阳高度角<9=90°一（39。54'27-6）=45。可得结果.【详解】由题可知，天安门广场的太阳高度角6二90。一（39。54'27"-方）=50。5'33"+5,由华表的高和影长相等可知。=45。，所以b=45。一50。5'33"=-5。5'33".所以该天太阳直射纬度为南纬5。5,33",故选：D.6. （2023秋广东深圳高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为（）A.100B.600C.200D.300【答案】A【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20,由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛：.角形由三段半径为20,圆心角为三的圆弧构成，所以该零件底面周长为3x20=20,故其侧面积为205=100万.故选：A.7. (2023全国i三专题练习)设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在尸处的离散曲率为1-(NQEQ2+NQ2Aa+NQjQJ其中2，(，=123.,人3)为多面体”的所有与点尸相邻的顶点，且2乃平面。/。2，。述0，Qj。遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是诙b,C,d,则4,b,Cfd的大小关系是()令正四面体正八面体A. a>b>c>dC. b>a>d>c【答案】B【分析】根据题意给的定义，结合图形【详解】对于正四面体，其离散曲率为 对于正八面体'其离散曲率为+ 对于正十二面体，其离散曲率为C = I-二 对J正二十面体，其离散曲率为d = l 则L >!> L2 3 6 10所以0>b>d>c.故选：B.O辂 正十二面体正二十面体B. a>b>d>cD. c>d>b>a分别求出a、b、c、4的值即可比较大小.11 / a I一茱(丁3) = 5'L(%3) = LU 5101 /万人 1(×5) = -,2 368. (重庆市2023届高三第七次质量检测数学试题)如图，生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截卜.的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为S=2R?H,球缺的体积公式为V=g(3R-")”2,其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:2,则这两个球缺的体积之比为().【答案】C【分析】根据已知条件求得=彳，也=不，代入体积公式计算即可.【详解】设小球缺的高为九，大球缺的高为力2，则4+A2=2R,由题意可得：警*=；，即：32kZnKrl1L所以由©得：1=y,A2=竿，所以小球缺的体积M=+卜火-竿竿j=4f,大球缺的体积K=X3R一鄂（竽J=喈28兀一所以小球缺与大球缺体积之比为空=决=二.Vz2Ov7l112081故选：C.9. （2021秋江苏南通高三统考阶段练习）碳60（Co）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数一棱数+面数=2,则其六元环的个数为（）.A. 12B. 20C. 32D. 60【答案】B【分析】根据顶点数一棱数+面数=2求出棱数，设正五边形有X个，正六边形有y个，根据面数和棱数即可得关于无，的方程组，解得y的值，即可求解.【详解】根据题意，碳60(Co)由60个顶点，有32个面，由顶点数一棱数+面数=2可得：棱数为60+32-2=90,设正五边形有X个，正六边形有y个，则41nn解得：”，所以六元环的个数为20个，5x+6y=90×2y=20故选：B.10. (2018春四川成都高三成都七中校考阶段练习)设“，定义区间力、3,勿、团的长度均为在三棱锥A-Ba)中，AB=BC=CA=I,ADlBD,则8长的取值区间的长度为A.3B.2C.23D.4【答案】B【解析】由题意画出图形，得到三棱锥A-88存在时。的范围，则答案可求.【详解】如图，ABC是边长为2的等边三角形，取48中点O,连接CO,可得CO=L因为LB仅当AQ=B。时,0。最长为1,则当等腰直角三角形"。在平面A8C上时,C。的最小值为6-1，最大值为5+l,则要使三棱锥4-BCO存在，CD(3-,3+1),所以CD长的取值区间的长度为(6+1)-(G-I)=2.故选：B【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.二、多选题11. （2022全国高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的4倍，已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A,底面椭圆的离心率为立2B,侧面积为24标C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36;TD.底面积为4缶【答案】ABD【分析】不妨过斜圆柱的最高点。和最低点B作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，作出过斜圆柱底面椭圆长轴的截面，截斜圆柱得平行四边形，截圆柱得矩形，如图，由此截面可得椭圆面与圆柱底面间所成的二面角的平面角，从而求得椭圆长短轴之间的关系，得离心率，并求得椭圆的长短轴长，得椭圆面积，利用椭圆的侧面积公式可求得斜椭圆的侧面积，由斜圆柱的高比圆柱的底面直径大，可知斜圆柱内半径最大的球的直径与圆柱底面直径相等，从而得其表面积，从而可关键各选项.【详解】不妨过斜圆柱的最高点。和最低点5作平行于圆柱底面的截面圆，夹在它们之间的是圆柱，如图，矩形ABeO是圆柱的轴截面，平行四边形跳DE是斜圆柱的过底面椭圆的长轴的截面，由圆柱的性质知ZABF=45°，则B7=48,设椭圆的长轴长为2”，短轴长为2，则2=J20,a=0b，c=yja2-b2=Ja2a）2=a»所以离心率为e=£=也，A正确：a2EGA.BF,垂足为G,则EG=6,易