专题10解析几何专题（新定义）（解析版）.docx

专题10解析几何专题（新定义）一、单选题1.（2023春浙江高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系XOy中（O为坐标原点），把到定点月（-c,0）和5（GO）距离之积等于c2（c>0）的点的轨迹称为双纽线，记为八已知几）为双纽线-上任意一点，有下列命题：双纽线的方程为（V+）,2）2=2c212一y2）；面积最大值为g02；./先日；PO的最大值为c.其中所有正确命题的序号是（）A.B.C.®®D.【答案】D【分析】由已知PKPK=c代入坐标整理即可得出方程，判断；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断；根据面积公式，结合的结论，即可判断；根据余弦定理，以及向量可推得IPOI2=c2+c2cosZFxPF22c2,即可判断.【详解】对于，由定义IPKI尸用二M,即JaO+c）2+y：Xyl（XLC¥+尤=¢2,即（片+乂+T+2cr0）（x2+y+c2-2cxq）=C4,整理可得（片+y：）2=2c2（£-y；）,所以双纽线的方程为(Y+y2)2=2c2(2-y2),故正确；对于，S22=gP制IP用sin/£PK=gc2sEMPgc2,故正确；对于，因为S冗桃=T忻周XIyOI=ClyO归权2,所以一%(故正确；对于，ZKPK中，由余弦定理可得旧用2=上曰2+仍用2-2俨/讣|丹讣85/6夕用,/ ULB 2 UL ULlr 2 IUUinl2 ULIL2 (2Po) =M+ 啕=PF +同所以I尸4+1Pgr=4/+2c?cosZFxPF2.又因为2PO =尸4+尸鸟，所以UlnOimr+2PFcPF2HU2lUU2uuUUL=PK+尸6+2PFA-pF2cosZFiPF2.所以,(2POl)J忸图2=卜川2+,引+2卜叶附际/6”+阀+朋|2_2阀卜归周.85尸鸟二2(附卜附),即4PO2+4c2=2×(4c2÷2c2cosNKPE),整理可得IPoI2=+c2cos/耳夕B2c2,所以IPOIJIc,故正确.故选：D.2. (2023春研川达州高二四川省宣汉中学校考开学考试)定义:椭圆4= (a>b>)中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”.则椭唬+£中所有“好弦”的长度之和为()A. 162B. 166C. 312D. 364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦”的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得=5,b=3,所以C=病方=4，即椭圆+1=l的右焦点坐标为(4,0),对于过右焦点的弦A8,则有:当弦AB与X轴重合时，则弦长HM=2=IO,当弦A3不与X轴重合时，设AB:%=啊+4,A(%M,8(w,%),x-my+4八 n72m81联立方程Vy2,消去X得：(9/+25)y2+72"y-81=0,1259则A=(72n)2-4(9m2+25)×(-81)=81(w2+故IABI =河正819/ + 259(m2 + l)(-Sio 1- 9 + 25 I16W+ 25"2o,则9>+2525,0<cJc<±,可得-F<0,即gl-16v匕94+2525259m2÷2525W+25AB,IOj,'1Q综上所述：IAMWy,10,故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10,由椭圆的对称性可得：“好弦”的长度和为4×（4+5+6+7+8÷9）+10=166.故选：B.3. （2023秋湖南郴州高二校考期末）城巾的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点A6,y）,8（x2,%）,定义两点间"距离”为d（A3）=归-引+y-%,则平面内与/轴上两个不同的定点6,居的“距离”之和等于定值（大于“（耳,月）的点的轨迹可以是（）【分析】分横坐标在K、尸2之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可.【详解】解：根据题意，横坐标在尸|、尸2之外的区域，不能出现与X轴垂直的线段,否则该线段上的点与、F2的“距离”之和不会是定值;横坐标在、鸟之内的区域，则必须与X轴平行，否则该线段上的点与耳、F?的，距离”之和不会是定值.故选：A.4. （2022江苏高二专题练习）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：J+（=l（>b>0）的蒙日圆方程为V+y2=2+/,耳，尸2分别为椭圆C的左、右焦点.离心率为亭，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P,。两点，若.MFQ面积的最大值为36,则椭圆C的长轴长为（）A.2小B.45C,23D.46【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得=病，分析可知PQ为圆/+'2=3从的一条直径，利用勾股定理得出p2+fC2=IPa2=36/,再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆。的离心率e=£=或，所以=有ca5因为"=从+C2,所以6=2c,所以椭圆C的蒙日圆的半径为JT寿=3c因为MPJ_MQ,所以PQ为蒙日圆的直径，所以IPa=6c,所以IMH2+M22=p2=36c2因为IMPl.M2<幽二¥望=1&*2,当IMH=IMQI=3缶时，等号成立，所以上MPQ面积的最大值为：MP-MQ=9c2.由二Mf。面积的最大值为36,得9/=36,得。=2,进而有人=2r=4,a=2小,故椭圆C的长轴长为44.故选：B5. （2023全国高三专题练习）加斯帕尔蒙日（图1）是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）.则椭圆C:金+f=1的蒙日圆的半径为（）54A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】由蒙H圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙口圆的定义，可知椭圆C工+±=1的两条切线工=正,/=2的交点54在圆上，所以R="Z=3,故选：A6. （2021秋.四川成都.高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90。，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（）22. X y .A. + = 1b f4=ic +f=122nk x y 1D. + = 169【分析】【详解】对于A,c2=8-4 = 4 = b2,A是“对偶椭圆”；对于B,c2 = 5-3 = 2b2fB不是“对偶椭圆”;对于C,c2=6-2 = 4h2 ，即力c,C不是“对偶椭圆”;对于D,c2=9-6 = 3b2,即力c,D不是“对偶椭圆”.【答案】根据给定定义可得椭圆的短半轴长与半焦距相等，再对各选项逐计算判断作答.由“对偶椭圆''定义得：短半轴长b与半焦距C相等的椭圆是“对偶椭圆”,故选：A7. （2021春.上海闵行.高二闵行中学校考期末）若曲线/（x,y）=0上存在两个不同点处的切线重合，则称这A. x2 + y-l = 0条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）B.-4-+1=0C. x2 + y2-x-l = OD. 3x2 ->, +1 = 0【答案】C【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A：因为Y+yT=O,即)，=1-丁是抛物线，没有自公切线，故A错误；B：因为IN"y+=o,表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B错误；C：因为炉+丁一XTAl-I=O,表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C正确；D：因为3/一孙+1=0,即y=3x+,是双勾函数，没有自公切线，故D错误；X故选：C.8. (2021辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)在平面直角坐标系中，定义W+H称为点P(x,y)的“b和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：(1)“6和”为1的点P(X,y)的轨迹围成的图形面积为2；(2)设。是直线2x-y-4=0上任意一点，则点尸(Ky)的“b和”的最小值为2；(3)设尸是直线-丁+人=。上任意一点，则使得“b和”最小的点有无数个”的充要条件是。=1；(4)设尸是椭圆Y+f=1上任意一点，则“b和”的最2大值为有.其中正确的结论序号为()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)【答案】B【解析】根据新定义"b和''，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当k+y=l时，点P（,y）的轨迹如图，其面积为2,正确；7（2）P是直线2x-y-4=0上的一点，.y=2x-4,4-3x,x0,.+>'=x+2x-4=-4-x,0<x<2,pJl,0,Ocx<2时递减,x20寸递增,故|乂+|引的最小值在=23x-4,X2,时取得，（H+而min=2,正确:（3）同（2）,W+N=）+麻叫,可知当=±l时，都满足,“6和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为，厂应SEe"xHMTc°sq+IJSin电易知其最大值为6,正确.故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义3和"，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9. （2022秋四川成都高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点不玛的距离之比为2:1,且存在APGK,则称此椭圆或双曲线存在“。点”，下列曲线中存在“C点''的是（）A.+-=1B.工+E=1C.-=1D.x2-=363216155415【答案】C【分析】求出满足条件胞=£时的IWI和IPE|,再求出用，验证IPKl,山人I能否是三角形的pf21三边长，即可得.【详解】隐=；，则IP周=2P周，若是椭圆，则IMl+1尸园=3|尸闾=勿，|?周=甲，|尸制=¥，2133若是双曲线,则IPKHP闾=IPKI=2",PK=4,A中椭圆，=6,c=2,%=4,归耳|=8,恒周=4,不存在AP/M；B中椭圆，=4,c=l,IPKI=IWI=与，由闾=2,不存在APK用C中双曲线，a=&=3,双曲线上点到到右焦点距离的最小值是。-。=3-6<等，P=25,P=45,国国=6,构成玛,存在“C点”,D中双曲线，a=lfc=4,陶=2,