专题20概率、随机变量与分布列（解析版）.docx

专题20概率、随机变量与分布列一、知识速览二、考点速览知识点1随机事件的概率与古典概型1、事件的相关概念2、频率与概率的关系(1)频率：在次重复试验中，事件彳发生的次数人称为事件彳发生的频数，频数人与总次数的比值&,叫做事件力发生的频率.n(2)概率：在大量重复尽心同一试验时，事件Z发生的频率A总是接近于某个常数，并且在它附近摆n动，这时，就把这个常数叫做事件力的概率，记作PJ).(3)概率与频率的关系：对于给定的随机事件4,由于事件力发生的频率4随着试验次数的增加稳定n于概率P(4),因此可以用频率&来估计概率尸(彳).n3、事件的关系与运算(1)包含关系：一般地，对于事件力和事件5,如果事件力发生，则事件8一定发生，这时称事件8包含事件4(或者称事件4包含于事件8),记作834或者力工8.(2)相等关系：一般地，若8=力且/=8,称事件4与事件8相等.(3)并事件(和事件)：若某事件发生当且仅当事件/发生或事件5发生，则称此事件为事件/与事件8的并事件(或和事件)，记作4U8(或4+3).(4)交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件Z发生且事件B发生，则称此事件为事件力与事件8的交事件(或积事件)，记作力ClB(或48).(5)互斥事件：在一次试验中，事件/和事件B不能同时发生，即4118=0,则称事件N与事件8互斥；如果4，4,，4中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件4，.A2.,4彼此互斥.(6)对立事件：若事件4和事件8在任何一次实验中有且只有一个发生，即NUB=C不发生，A11B=0则称事件A和事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为，.4、概率的基本性质(1)对于任意事件N都有：0P(4l.(2)必然事件的概率为1,即P(C)=1；不可能事概率为0,即P(0)=O.(3)概率的加法公式：若事件4与事件5互斥，则尸(4118)=2(4)+尸(8).推广：一般地，若事件4，A24彼此互斥，则事件发生(即4，A2t.»4中有一个发生)的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：p(4+4+4)=p(4)+p(4)+p(4)(4)对立事件的概率：若事件力与事件8互为对立事件，则尸(4)=1-尸(8),P(B)=I-P(Z),且UB)=p)+P(B)=I.(5)概率的单调性：若A=B,则P()P(B).(6)若力，8是一次随机实验中的两个事件，则尸(4UB)=尸(+尸(8)-尸(4(18).5、古典概型(1)古典概型的定义：一般地，若试验E具有以下特征：有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.2、古典概型的概率公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间C包含个样本点，事件/包含其中的左个样本点，则定义事件4的概率Pw)=I=招.知识点2相互独立事件与条件概率、全概率1、相互独立事件(1)相互独立事件的概念对于两个事件4,B,如果P(8%)=P(8),则意味着事件4的发生不影响事件8发生的概率.设P(J)>O,根据条件概率的计算公式，P(B)=P(BM)=C幽，从而P(NB)=尸(4)尸(8).尸(力)由此可得：设力，8为两个事件，若P(AB)=P（八）P(B),则称事件力与事件5相互独立.(2)概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件4与8,若尸(4)>0,则P(AB)=P（八）P(BA).我们称上式为概率的乘法公式.(3)相互独立事件的性质：如果事件力，8互相独立，那么彳与耳，N与6,N与与也都相互独立.(4)两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,neN)个事件的相互独立性，即若事件4，4,，4相互独立，则这个事件同时发生的概率P(444)=P(4X4)P(4)2、条件概率(1)条件概率的定义：一般地，设力，8为两个事件，且尸(4)>0,称尸(Bm)=今卷为在事件4发生的条件下，事件B发生的条件概率.(2)条件概率的性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0P(84)l.必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0.如果B与C互斥，则一(BUCM)=C(BI)+P(C14)3、全概率公式(1)全概率公式：P(B)=P（八）P(BIA)+P（八）P(BA)：(2)若样本空间。中的事件4，4,，4满足：任意两个事件均互斥，即44=0，iJ=L2,，i工人4+4+4=。；P(4)>0,i=l,2,.则对Q中的任意事件8,都有B=BA,+8A2+B4,且P(B)=2P(BAj)二'P(Ai)P(BIAi)./=1/=14、贝叶斯公式P()P(84)P(A)P(B J) + Pq)P(Bl A)(1)一般地，当O<P()<1且尸(5)>0时，有P(力网=P(”常(2)定理2若样本空间C中的事件4,4,，4满足:任意两个事件均互斥，即44=0，3/=1,2,，i工人4+A1HFAn=；0<尸(4)<1，/=1,2,«.则对中的任意概率非零的事件B,都有6=§4+64+BAn,且W) = 乂施P(Aj)P Ai) P(4)P(B4) r=!知识点3随机变量的分布列、均值与方差1、随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,y,S小表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.2、离散型随机变量分布列(1)离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为,当，为，X取每一个值(i=1,2,，)的概率P(X=XJ=Pj,以表格的形式表示如下:X苦-V2XiXnPPxPlPiPn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X=Xi)=Pj,i=1,2,表示X的分布列.(2)分布列的性质：(1)p,0z=l»2,»/?;(2)pl+p2卜Pzf=13、离散型随机变量的均值与方差：(1)均值：E(X)=玉p+P2+WP,+%P.=1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值的性质E(C)=C(C为常数).若Y=X+b,其中,b为常数，则Y也是随机变量，且E(X+6)="E(X)+b.E(X+X2)=E(Ar1)+E(X2).如果,X1相互独立,则E(XlX2)=E(XJE(X2).(3)方差："X)=f(XLE(X)2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(的平均偏离C=I程度，称其算术平方根J5而为随机变量X的标准差.(4)方差的性质若y=X+力，其中,6为常数，则丫也是随机变量，且O(X+ZO=Lo(X).方差公式的变形：D(X)=E(X2)-IE(X)J2.知识点4两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称P=P(X=I)为成功概率.X01PLPP2、二项分布(1)次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.【注意】独立重复试验的条件：每次试验在同样条件下进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2)二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用X表示事件/发生的次数，设每次试验中事件力发生的概率为，不发生的概率9=Jp,那么事件/恰好发生"次的概率是P(X=A)=C：PwT(k=0,1,2,，)，于是得到X的分布列X01knP由于表中第二行恰好是二项式展开式(4+p)n=CPW+Clnpqn-+C：pkqn-k+C：pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为，P的二项分布，记作X8(，p),并称P为成功概率.(3)二项分布的期望、方差：若XB(MP),则E(X)=叩,D(X)=np(-p),率为P(X = Z) =豆争 CN3、超几何分布：在含有“件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则事件X=4发生的概A=O,2,.,m,其中?=min,且N,MN,n,M,NgN",称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.(1)正态曲线：我们把函数0Sa)=xe(- , +8)(其中是样本均值，b是样本标准差)X01mPX-1-4、正态曲线与正态分布的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间窗，两边低.(2)正态曲线的性质曲线位于X轴上方，与X轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线X=对称；曲线在X=处达到峰值(最大值)云)；曲线与X轴之间的面积为1；当。一定时，曲线的位置由“确定，曲线随着的变化而沿X轴平移；当一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，(3)正态分布：一般地，如果对于任何实数。，b(a<b),随机变量X满足尸g<X6)=1'fy(x)dx,则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数，b确定，因此正态分布常记作NW。?).如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.(4)3。原则若XN(",2),则对于任意的实数>0,尸(-。<犬:+)="/0(.1)(11为下图中阴影部分的面积，对于固定的和。而言，该面积随着b的减小而变大.这说明b越小，X落在区间(-的概率越大，即X集中在周围的概率越大特别地，有尸(一b<X"+b)=0.6826；尸("-2b<X"+2b)=0.9544；P(-3<X+3)=0.9974.由P(4-3b<X"+3b)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(-3b,+3b)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N®,/)的随机变量X只取(一3°,4+3)之间的值，并简称之为3。原则.一、随机事件的频率与概率1、频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2、随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【典例1】(2023全国高三对口高考)下列说法：设有一批产品，其次品率为，则从中任取200件，必有10件次品；做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是；随机事件力的概率是频率的稳定值；随机事件4