专题15直线与圆（解析版）.docx

专题15直线与圆一、知识速览二、考点速览知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（I）定义：当直线/与“轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角.当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线/倾斜角的取值范围是0,兀）.2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角。的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即=tan,倾斜角是W的直线没有斜率.（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点PG川，。2（孙及）（加分2）的直线的斜率公式为=*二X2Xl3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点（X0,/），斜率ky-yo=k(-o)与K轴不垂直的直线斜截式纵截距b,斜率y=k-b与X轴不垂直的直线两点式过两点3，/1）,（X2，及）yy_y2y-与X轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距。，纵截距6邛=1ab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式j+5y÷c=o(J2+B20)平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线/1，/2,若其斜率分别为心，2,则有八/QAl=不当直线八，/2不重合且斜率都不存在时，lh.（2）两条直线垂直如果两条直线/,/2的斜率存在，设为“I，42，则有/山2E2三二L当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，/11/2.2、两条直线的交点的求法直线:4x+8y+G=0,/2：42x+82y+C2=O(4,Bi,Ci,A2,&,C2为常数),则Zi与/2的交点坐标就是方程组ZIX+81y+G=O, 的解. 田+5少+。2=03、三种距离公式(1)平面上的两点Pl（X1,y）,P2（x2>歹2）间的距离公式PP2=N（x2-xi）2+（p2-y）2.特别地，原点0（0,0）与任一点?a，y）的距离QPI=MV2+与(2)点P（xo, M）到直线/： 4r+W+C=0的距离4=2+52 ,(3)两条平行线4r+取+G=O与4x+犯+Cz=O间的距离4、宜线系方程的常见类型（1）过定点Pao,泗）的直线系方程是：），一/=MX一期）/是参数，直线系中未包括直线X=X0），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线小+勿+C=O的直线系方程是：4+取+2=Oa是参数且拄。；（3）垂直于己知直线小+8y+C=O的直线系方程是：&-4rH=0（2是参数）；（4）过两条已知直线八：4x+Sy+G=0和勿4zx+53+Cz=O的交点的直线系方程是：ix+5i+Ci+（2x+C2）=0（2R,但不包括2）.知识点3圆的方程1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(-)2+(y-Z)2=r2(r>O)圆心：（a,b）半径：r一般方程x2+2+Dx+Ey+F=0(D2+f2-4F>0)圆心一3一身半径=迦歧Z竺22、点与圆的位置关系点（xo,yo）,圆的标准方程（工一a）2+（y-8）2=户理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(xoa)2+(yobp三r20点在圆上(XOa)2+b)2r20点在圆外(xo-a)2+(yo6)2r2o点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如炉+产+。.1+W+尸=0的结构都认为是圆，一定要先判断。2+后一4尸的符号，只有大于0时才表示圆.若x2+V+z)+或+/=O表示圆，则有：(1)当F=O时，圆过原点.(2)当。=0,E和时，圆心在y轴上；当0O,E=O时，圆心在X轴上.(3)当。=尸=0,E0时，圆与X轴相切于原点；E=F=O,0O时，圆与歹轴相切于原点.(4)当02=£2=4尸时，圆与两坐标轴相切.知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断(1)三种位置关系：相交、相切、相离.(2)两种判断方法：I代数法% > O=相交 /=Oo相切 IVO=相离I几何法圆心到直线的距离为d半径为F“Vro相交 相切 相离联立方程得方程组消去孑或N得一元二次方程，/=/>24C2、圆的切线与切线长(1)过圆上一点的圆的切线过圆/+y2=r2上一点Ma°,泗)的切线方程是XoX+yoy=r2.过圆(彳一>+。-6)2=户上一点Ma°,网)的切线方程是(XO-)(-)+(yo-b)(y-b)=r2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(Xo,yo)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率也从而得切线方程；若求出的左值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为X=xo(3)切线长从圆2+y2+Q+与,+歹=0(。2+£24?>0)外一点M(XO,歹0)引圆的两条切线，切线长为yjxi÷j÷Dxq÷Eyo÷F.两切点弦长：利用等面积法，切线长。与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长/)的积，即6=忍.d【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数.3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆械得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长，、弦心距小半径7构成直角三角形，所以由勾股定理得L=2r2-tf.(2)代数法：若直线y=Ax+6与圆有两交点N(X1，y),B(X2,口),则有W5=M+%2Xm=1÷jIfiy2.4、圆与圆的位置关系（两圆半径为门，2d=OiO2）相离外切相交内切内含图形承蜃量的关系d'>r-11d=r÷r2一川«1+2d=rrd<r>2【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论.一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率=tan的取值范围.（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定;（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【典例1（22-23高三上遂宁期末）直线XSina+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）L4L4/L4J【答案】B【解析】设直线的倾斜角为夕因为,-lsinal,k=-sinar所以，-k.又左=tan,则一1tan61.当e0,3时，/（e）=tan。单调递增，解-ltanel,11当可M时，/（e）=tane单调递增，解tan"l,11综上所述，Z。,孰+）.故选：B.【典例2】（2223高三全国课时练习）已知过点M（2小+3M）和NQ则实数巾的取值范围是.【答案】（一5,1）w-1m-【解析】设九线MN的倾斜角为。，则tan02m+3-（附_2）一旭+5|_4J124得oveE;41得号e兀.4-2,1）的直线MN的倾斜角为钝角,9八3k、八八兀（3A.0,）B.0,0,C.0,D.0,UQa为钝角，.',),则tanam1-4<0,解得：-5<w<l,n+5即实数机的取值范围为(-5,1).【典例3】(2223高三全国课时练习)设点力(4,-3),3(-2,-2),直线/过点(1,1)且与线段NB相交,则直线/的斜率上的取值范围是()C. -4<k4D. -yAl4A.41或左-4B.kltk-【答案】B【解析】/(4,-3),5(-2,-2),P(l,l), 直线pa的斜率=-y直线pb的斜率kp=T)=1， 直线/与线段48相交，如图所示，4 直线，的斜率上的取值范围为1或心-.故选：B二、求解直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程;(2)待定系数法：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程【典例1】(2023高三上海浦东新模拟预测)过点(3,-2)且在X轴，P轴上截距相等的直线方程为【答案】2x+3y=0和x+y-l=O【解析】当直线经过原点时,此时百线方程为2x+3y=0,且在X轴，N轴的距离均为0,符合题意,当直线在X轴，V轴均不为0时，设直线方程为2+2=(a0),aa将(3,-2)代入得2+三=1,解得a=l,故直线方程为x+y-1=0,aa故答案为：2x+3y=。和x+y-l=O【典例2】(2023高三全国专题练习)已知一条直线经过点4(2-3),且它的倾斜角等于直线彳一右歹=0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为一：【答案】3x-33=0【解析】由已知得直线LJy=0的斜率为亭，则其倾斜角为30。，故所求直线倾斜角为60。，斜率为J,故所求宜线的方程为M-5)=K(x-2),即Ll厂3J=0.故答案为：3,v-33=O【典例3】(2324高三上全国课时练习)写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式:(1)经过点(3,2),倾斜角是直线x-Jy+3=0的倾斜角的2倍；(2)经过两点/(2,3),3(3,-2);(3)经过点尸(-2,4),平行于X轴；(4)在X轴，歹轴上的截距分别为T，-3.【答案】(1y3x-y+2-3y3=0:(2)5x+j-13=0：(3)y-4=0；(4)6x515=0.【解析】(1)宜线X-Cy+3=o的斜率为日，其倾斜角为30。，因此所求直线的倾斜角为60：，斜率为石，所以所求直线的方程为y-2=i(x-3),J3x-y+2-33=0.-2-3(2)直线的斜率k=7y=-5,所以直线NB的方程为y3=-5(x-2),即5x+y-13=0.(3)经过点P(-2,4),平行于X轴的直线斜率为0,所以经过点P(-2,4),平行于X轴的直线方程为y-4=0.51+2L=1(4)在X轴，y轴上的截距分别为；一3的直线方程为5-3,J6x-5v-15=0.2i三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程Z1：Jix+By+C=0(J+B0),/2：?!2%+&歹+C2=0c143+况0)八与12垂直的充要条件小42+818