专题18归纳平面向量中的范围与最值问题（解析版）.docx

专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一.平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二.极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设/18=,/O=B,贝IJ4C=+B,DB=a-bC2=jC2=(+)2=p2+2+pfI国2=而2=(1,=时一苏力同两式相加得：(2)极化恒等式：上面两式相减，得：;(Z+B)2-R-q极化恒等式平行四边形模式：IB=：口何2TM1儿何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的L4三角形模式8a=p2-iD2（M为80的中点）三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形48C。与所在平面内任一点,证明：OJ2+OC2=OB2+OD2O【证明】(坐标法)设AB=a,AD=b,以48所在直线为轴建立平面直角坐标系My,则8(Q,0),Z)(0,C(,b),设O(XJ),则四.等和线(1)平面向量共线定理已知万=/1丽+反，若l+4=l,则48,C三点共线；反之亦然。(2)等和线平面内一组基底方,历及任一向量而，OP=A+OB(,eR),若点P在直线48上或者在平行于48的直线上，则;1+=左(定值)，反之也成立，我们把直线48以及与直线48平行的直线称为等和线。当等和线恰为直线43时，4=1；当等和线在。点和直线川5之间时，G(0,1)；当直线48在点。和等和线之间时，(l,+8);当等和线过O点时，Ar=O;若两等和线关于。点对称，则定值左互为相反数；【题型归纳目录】题型一,三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线【典型例题】题型一：三角不等式例1.(2022河南洛宁县第一高级中学高一阶段练习)己知向量£区工满足|联|=2,山=1,|二；|=1,若对任意"，(1工y+(U)2U恒成立，则7坂的取值范围是.【答案】2-【解析】【分析】由条件可得S=(c-)+/一分)=1+c-2ah,由向量性质可得卜卜,+口一0一"区/Ha+j，从而r££r£rrrr+Z>-l<cl+0+然后代入结合“b第可得出答案.【详解】zrrx2zrr2zrrror2rr解析：因为(c-4)+(c-B)-c-a-bJ=c-2b,r2zrri2rrr则S=(C-Q)+(c6)=1+c-2ab,因为1,3,由阳UIW二«+润H的，由I=IC一/+6)区卜|+卜+61即Hl-卜+0,由卜+。卜1,3,则卜»1-k+恒成立.琲4NZ(")曰叫+*1H1+"贝IJSlm=l+/+笳+l)J2iW=+7+2KZZ=7+2,5+31lb解得;力-g,又】力t4M=-2rr-所以b-2,-.故答案为：-2,-例2.(2022安徽省舒城中学三檄理)已知平面向量,历，£,同=同=1,若F.+02,R.-羽1,则山的最小值是.【答案】I#1.5【解析】【分析】令正=4+“v=el-e,即可得至J"_L。且|正+E2=4,令4=(2COSa,0),E=(0,2Sina),a=rf不=(rsin夕/cos0,根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得;【详解】解：令i7=q+02,V=e1-e2,则0=同-e2=O,故d_L/,JILi712+1v2=2(e112+1e212)=4,令日=(2cosa,0),E=(0,2Sina),a=r,a=(rsin,rcos),所以根据已知条件有屋;=2r cosasin2 =2r Sina cOSS 1所以2广2rcosasin+2rsinacos3,即r3,2当且仅当Sina=且，A=ga,=与时等号成立，322所以IGl的最小值是I3故答案为：7例3.(2022浙江湖州模拟预测)已知平面向量1区可满足历Hel=1，3a-(bc)=abcf则-a2+2h2+c2的最小值是.答案叵二12【解析】【分析】利用绝对值三角不等式|3司tG+")3>-G+"),及三角函数的有界性可进行化简分析.【详解】设vj>=,<瓦c>=4,由13。一(行+己)=IbI曰I,根据三角不等式，有3-(+c)3a-(b+C)I=Ia5卜Id=IallBlcosac=cosa<a，得|2万+c,i-52+2P+-i+c2+22+c2=2+2-c=:而+d2-3ccos2由62.3c2卜-故答案为：叵二1.例4.(2022浙江模拟预测)已知平面内两单位向量4商,日，&=$若5满足c-c=c2,cei+cy,则工2的最小值是.【答案】_L一逅26【解析】【分析】设出1=(暮£=-,y,W=(XJ)得到X=X2+济由不得关系得到卜.+Z)Lg=V*,从而得到最小值.【详解】由题意,可以设I=；,与之=(一；岑,c=(xyy)f则由八1一1W=L得X=X2+y2,由"4+1。GKniMW+4)LWnI吟，x=x2+y2>x2+l-r解得：亚L+加122626即工2的最小值是-逅.26例5.(柯桥区2022届高三下学期5月第二次适应性考试数学试题)已知平面向量入I亍满足：a与B的夹角为弓,便一。)63)=0洞+同=2,记是W-方一司的最大值，则M的最小值是.【答案】3亡12【解析】【分析】设刀=瓦55=R=,f为/份中点，令IaI=X,出=y,B=2r,OE=f,结合图形，利用向量的线性运算求出M=修V-BlInaX=I的1+1反I，转化为函数求最小值即可.【详解】如图，设Cl=d,而=B,灰=5,E为4B中点，4151=x,I=yAB=2r,OE=t，则4O5=,x+y=2，1T¼>>因为OE=I(OA+OB),AB=OB-OA,故有万丽=IOEl2-1152=>-=2-2,42"22a2cosZJOB=+v-=>-xy=;2+j2-4r2=>4r2=(+y)2-y，2xy由<D得，=1-乌，从而，2=，一!k=1-XyRe(OJ,424因为伍-，)乖-，)=0,所以CL8C,即点C在以48为直径的圆E上.-c-a-b=c-(a+b)=OE+EC-2OE=E+ECEO+EC,:.M=c-d-bmm=EO+EC=t+r=J一为+J-%，当且仅当IGl=IBl=I时，即只=1时等号成立.故答案为：3±12例6.(2022全国高三专题练习)已知非零平面向量六满足B+*",则同W的最小值是()A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为同咽的不等式即可得解.【详解】依题意，75>0，>+闸=4石U>Q+5)2=(5)2u>7+2l5+尸=0而2,Ol£/+|H=G2)2-2>5o(ZTBl)2+2ZB+1=(75-1)2,当o<7B时，上述最后等式不成立，从而有£2>1，ab-=yj(a-bf+2a-b+y2a-h+b当且仅当Iil=向时取"=",又15G巾I，当且仅当与否同方向时取“=Z则有亚而两71七$-19句.历1-1=>2臼.历1+14而卜历1-月解得1/1电4,当且仅当£=5时取5,所以向卡|的最小值是4.故选：A例7.(2022湖北华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为2,点力满足R4=4,E,产分别是C上两个动点，且忸耳=2百，则荏."的取值范围是()A.6,24B.4,22C.6,22D.4,24【答案】C【解析】【分析】借助于垂役定理处理，结合向量整理可得存万=|祝+而-3,再根据向量的加法可得3元+由卜5.【详解】取小的中点连接。W,WJC=22-(3)2=1,jjf=(j7+7f)(77+f)=(而+该M而-%)=而?-或=而：=ac+cm2-3，又%-丽Il,c+7,c+07所以3+E75,所以6荏万22,当且仅当向量祝与两共线同向时，荏.而取得最大值22；向量祀与两共线反向时，荏.不取得最小值6,故选：C.例8.(2022浙江高三专题练习)己知平面向量£,5,"满足同=R=躯=1,N1.若2=3+入则Rq+Bz的最大值是.【答案】4+7【解析】【分析】Irrlr*t将2=3+1代入所求，可得到“d+4+bc,分情况讨论4+兀展同号和异号两种情况，利用向量模的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.【详解】当C,4+族c同号时,pc+14+c=|«c+c+4=(+c+4<p+c+4,而漏+邛=>a2+b+2a1+4+2=7，则,+”上4+7.当c,4+Bc异号时，pc+4+c=c-c-4=(-jc-4-Z>c+4,而JBT=7«2+?-2a-b1+4+2=7»则,4+卜2卜4+7.因此H4+B甸的最大值为4+7故答案为：4+J7例9.(2022全国高一课时练习)己知在三角形川?C中，5C=4,AB=,2ACt则浣.史的取值范围是A.1一,32jB.-,32C.(0,32)D,32)【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出COSNC48,最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】lll.AB+/ICl>4(2AC+AC>44.1解：因为5C=4,I明=2|力。|,所以"S一即。“解得；<"<4,由余弦定理Abi-AC<4IZAC-A