专题03一网打尽指对幂等函数值比较大小问题（9大核心考点）（讲义）（解析版）.docx
考点一：直接利用单调性.考点二：引入媒介值.专题03指对幕等函数值比较大小问题【目录】,错误！未定义书签。错误！未定义书签。,错误！未定义书签。，错误！未定义书签。,错误！未定义书签。68考点三：含变量问题9考点四：构造函数11考点五：数形结合16考点六：特殊值法、ftW法17考点七：放缩法、同构法19考点八：不定方程23考点九：泰勒展开25指、对、幕形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主.每年高考题都会出现，难度逐年上升.考点要求考题统计考情分析指对累比较大小2022年新高考I卷第7题，5分2022年天津卷第5题，5分【命题预测】预测2024年高考，多以小题2022年甲卷第12题，5分2021年II卷第7题，5分2021年天津卷第5题，5分形式出现，应该会以压轴小题形式考查.具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力.（2）热点是灵活构造函数比较大小.（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定m6,C的大小.（2）指、对、幕大小比较的常用方法：底数相同，指数不同时，如心和a'?,利用指数函数y=优的单调性；指数相同，底数不同，如X：和石利用辕函数P=Xa单调性比较大小；底数相同，真数不同，如log。芭和og.Z利用指数函数bg。X单调性比较大小；底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法（7）常见函数的麦克劳林展开式：ex=+x+-+2!！-r5丫2”+1sinx=x-+-+(-If+o(x2n+2)3!5!(2+l)! o(x2n) (2/7)!X2V4V6COSX=I-+-+-+(-I)"2!4!6!£r3/+>ln(l+)=x+-+(-l)r+o(+,：23n+1=l+x+x2+o(xfl)1-x(6)(l+x)+0(，)1. (2022新高考I)设4=0.MLb=,C=-加0.9,则(A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】C【解析】构造函数/(X)=加x+Lx>0,X则/(X)=I_Jr,x>0,XX当ra)=o时，x=,O<x<l时，(x)<0,/单调递减；x>l时，,(x)>O,f(x)单调递增,./(x)在X=I处取最小值/(1)=1,./zx>1-,(x>0J3.X1)»Xb.9>1=,0.99.-0.9<,.c<b9,109110A1一/“0.9=In>1=9.>叫,9101090.Ie01<,.a<b;9设g(x)=XeX+MT-X)(O<v<l),则g')=(+-!-=(J)：+1，令h(x)=ex(-l)+l,h,(x)=ex(x2+2x-l),当O<x<J-l时，hx)<0,函数MAr)单调递减，当&-l<x<l时，Y(X)>0,函数r(x)单调递增，/A(O)=O,.当O<x<-1时，(x)<O,当时，g,(x)>0,g(x)=xe'+/(I-X)单调递增，/.g(0.1)>g(0)=0».0.1e°l>-w.9».a>c,j.c<a<b.故选：C.2. (2022天津)已知=2°"8=(；产，c=log2,贝J()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b【答案】C【解析】因为y=2'是定义域R上的单调增函数，所以2°7>2°=1,即=2°'>l:因为歹=(；)X是定义域R上的单调减函数,所以(；严<(；)。=1,且6=(；产，所以O<Z><1;因为y=1082是定义域(0,+<»)上的单调增函数，所以l0g2g<log21=。，即C=Iog2；<0;所以0>b>c.3. (2022甲卷)已知9"'=10,=10w-ll,6=8'"-9,则()A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a【答案】A【解析】v9w=10,Aw=Iog9IO,13:.<m<,2a=10m-ll=10w-10-l,h=8w,-9=8w-8-l,构造函数f(x)=xm-x-(x>)t.f,(x)=mxm-x-X,.1</n<>X>1».,(x)=mxml1>O*=XmX1在(,+00)单调递增,.(10)>(8),又因为/(9)=9'WK*-9-1=0,故a>O>b,故选：A.4. (2021全国)已知>b>l,则以下四个数中最大的是()A.IogftaB.log2/,laC.log3/13aD.IOg»4。【答案】A【解析】令=4,6=2,则logfta=Iog24=2,Iog2 2a = Iog4 8 =g8 二 3g2 二 3Zg4222Iog363”Iog612=1+Iog62<1+Iog66=1+=14logs40=Iogs16=1+Iog82=+-=-t故最大的是log”，故选：A.5. (2021新高考11)已知=log52,Z)=log83,e=g,则下列判断正确的是()【答案】C【解析】Vog52<og552og143>ogx82,:.a<c<b.故选：C.6. (2021天津)设。=Iog?0.3,b=Iog10.4,c=O.4o则三者大小关系为()C. b<c<aD. a<c <bA.a<b<cB.c<a<b【答案】D【解析】.og2O.3<log2l=O,."."O,.Iogx0.4>Iogl0.5=1».,.Z>>1».0<O.403<0.4°=1,/.0<c<1,:.a<c<b»故选：7. (2020新课标HD设4=log32,b=Iog53,c=,则()2A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b'：a=Iog32=logiyS<logi>9=b=Iog53=log5f21>log5y25=-:.a<c<b.故选：A.8. (2020新课标I)若2"+log2=4'+21og4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2【答案】B【解析】2+Iog2a4b+2og4b=2tb+Iog2b；因为2?6+Iog2b<22b+Iog22b=22h+log2)+l,所以2"+k>g24<22z+k)g22b,/(x)=2v÷log2x,由指对数函数的单调性可得/(x)在(O,+00)内单调递增；且/(a)<f(2b)=>a<2bi故选：B.9. (2020新课标In)已知炉<84,134<85.=Iog53,b=log5,C=Iog158,则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【答案】A解析】解法：由/限5=/OgS8,23VIog5S4>log53,而/嘀84<ogg5Iog53<Iogs5，即<6；,.55<84,.,.5<4Iog58，.Iog58>1.25,:.b=Iog85<0.8；,.134<85»/.4<5Iog138,.,.c=Iog138>0.8>.c>b,综上，ob>a.解法二：.a=Iog53»h=Iog85»c=log38,（"3+"8）2_ln5（些）2_/25<<=O，ln5lnSw5w8aVb，.55<84»/.5Iogs5<4,:.b=Iogs5<y>.134<85,.,.4<51og138,c=logl38>y,:.a<b<c.故选：A.b> C的大小关系为（）D. c <a <b10. （2020天津）设=30,j=（）-°8,c=Iog070.8,则*A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<a【答案】D【解析】=3°',h=（l）-8=3°8,Rll>>1»Iog07°8<Iogo.707=1，j.c<a<b，故选：D.考点一：直接利用单调性利用指对塞函数的单调性判断例1.（2023河北唐山高一唐山一中校考阶段练习）设4=仔），b=lnl.5,C=（I）I则。，4C的大小顺序是（）A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a【答案】D又因为尸,在（0,+8）上单调递增，所以国J>心J=f,即93-因为T=2.25<e,所以±<e2,42又因为y=lnx在（0,+8）上单调递增，所以Invln/,即6=lnl.5<,综上：b<c<a.故选：D.JT例2.（2023北京顺义高三校考阶段练习）已知=k>g52,Z>=log43,c=sin-,比较,Z>,c的大小为6（）A.a>b>cB.a>c>hC.h>c>aD.b>a>c【答案】C【解析】因为函数y=log5X在（0,+8）上单调递增，所以Q=IOgS2<logs掂"=g,又C=Sin'所以avc：62又因为函数歹=log4x在（O,+"）上单调递增，所以Iog43>Iog42=1,所以6>c.综上，b>c>a.故选：C例3.（2023湖南长沙湖南师大附中校考模拟预测）设=0.3°4,Z>=0.4°3,c=loggO3,则小4c的大小顺序为（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【答案】A【解析】指数函数y=03"y=0.4'为R减函数,a=O.304<0.3°3<O.3o=1,b=O.403<O.4o=1 帚函数y=/3为0,+）增函数，0.3°3<0.4。3，.a<b<, 对数函数y=log。.4“为（0,+8）减函数，：,c=Iog040.3>Iog040.4=1,即c>1, a<b<c,故选：A.考点二：引入媒介值寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.例4.（2023天津河东一模）已知=lge,>=In0.8,c=e%则%b,C的大小顺序为（）A.a<b<cB.h<c<aC.b<a<cD.c<b<a【答案】C【解析】因为c=e°8>e°=l,>=lnO.8<lnl=O,O=Igl<a=Ige<IglO=1,所以b<<c.故选：C.例S.（2023湖南郴州统考一模）有三个数：tz=205,Z>=sinl,c=log,3,大小顺序正确的是（）A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c【答案】A【解析】=2°'=2；=后'J<<T33C=log23>Iog2
