专题02函数与导数（新定义）（解析版）.docx
专题02函数与导数(新定义)一、单选题1. (2023河南洛阳市第三中学校联考一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数''为：设xwR,用凶表示不超过X的最大整数，则尸国称为“高斯函数”，例如：-2.5=-3,2.7=2.已知函数/(刈=£|,则函数力的值域是()A.-1,1B.-l,OC.(-1,1)D.(1,0)【答案】B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解：【详解】方法一：函数X)=W=I-三，e+11+e因为e、>0,所以l+e'>l,12所以0<；?<1.所以一2<-；-<0.1+e1+e2所以即TVf(X)<1.当Tv"x)<0时，/(切=7；当Of()<l时，/(x)=0.故/")的值域为,o.故选：B.方法二由/(X)=芸，得一线.f(x)+/因为e'>0,所以黄启>0,解得T<f(x)<L当T<"x)<0时，/(x)=T;当0"x)vl时，/(x)=0.所以上(力的值域为T0故选：B.2. (2019秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习)在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质:对任意,beR,a*b=b*a；对任意wR，a*0=a对任意,bR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.则函数/(x)=卜2,2)的值域是C *)D. -5,59'A.(-,5)B.-,5O_【答案】B【分析】注意新定义的运算方式即可.【详解】在中，令c=0, Wa*b = ab+a+b,所以X)= 吗 =、+掾=；卜+目7Q函数/(x)在x=-3时取最小值，最小值为-2；在X=2时取最大值，最大值为5,所以函数2oY9一/(力=1吟卜«-2,2)的值域是-,5.2L.故选：B.aAb<CAd3. (2023上海统考模拟预测)设XVy=x+y+k-MXAy=+y-k-)j,若正实数Acd满足：aVc<b7d,bkc<Wd则下列选项一定正确的是()A.d>hB.b>CD. JVCC.bc>a【答案】D【分析】对新定义进行化简，分别在条件ab c>dab c<da<b c<da<bcd下化简结合所得结果，进步确定满足条件的关系，由此判断各选项.【详解】因为XVy = +y+-V =2x,xy2yix<yfx>, = x+y-x-y =2y,xy2x,x<yaXb<CMaVc<bVd1Mc<aSda+b-a-b<c+d-c-d所以<a+c+a-c<b+d+b-dtb+c-b-c<a+d+a-d(1)若ab,cd则，不等式a+/?-。一,vc+d-c-d可化为<2/,则0<d,所以cd>R若acd>b,则+c+d<h+d+性一J可化为<d,矛盾,若c>d>匕，则+c+4c<方+d+-M可化为c<d,矛盾，若cd>0b,则+c+4cV力+卜一4可化为Cy4,矛盾，Q)若ab,c<d则，不等式+6-W<c+d-IC-M可化为b<c,所以d>c>b,若d>c>M则4+c+qc<力+|一”|可化为<d,矛盾，若d>c>%,则+c+q-d<力+|-4可化为vd,满足,Hc-A-d<+d+4可化为b<d,满足，若d>c>8,则+c+4c<h+d+一M可化为c<d,满足，h+c-b-(<a+d+a-d11Htyjb<d,满足，(3)若c<bc<cl则，不等式a+力一,一W<c+d-|c6/|可化为a<J所以d>c>a若Nd>c>q,则+c+a-d<6+"+物一4可化为cvb,满足,匕十°弧一d<a+d+a-"可化为CVd，满足，若d>8c>4,则+c+a-d<6+区一4可化为c<d,满足，b+c-b-c<a+d+a-daJtc<J,满足,若d>c>6>,则a+c+,一CIVb+d+R-d可化为c<d,满足，b+c-b-(<a+d+a-dpHtjb<d,满足，(4)若a<b,cd则，不等式。+一,一4vc+d-c-d可化为q<d,所以cd>,若bcd>,则+c+d<h+d+-M可化为c<b,满足，h+c-b-(<a+d+a-dHtjhjc<d,矛盾，若cbd>1,则+c+4d<h+d+性一J可化为c<Z?,矛盾，若cdb>1,则+c+4c<方+d+-M可化为c<d,矛盾，综上，bd>c>a或d>bc>a或d>c>b>a或d>ac>b或d>c>ah,由bd>c>。知，A错误；由d>c>b>知，B错误：当d>c>b时，bc=b+c-b-c=b+c-c+b=2bf取d=7,=6,c=2,b=l可得，满足条件但必c=2v,C错误；当力d>c>时，(Nc=d+c+d-(=2d>a,当d>力c>时，d7c=d+c+d-c=2d>a当d>c>%>时，c7c=d+c+d-(=2d>a,当d>c>人时，dVc=d+c+d-c=2d>a,当d>c>力时，d7c=d+c+d-c=2d>a,故选：D.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4. (2022秋江苏常州高一华罗庚中学校考阶段练习)对于函数y=f(x),若存在,使/(%)=-/(-/)，则称点(天,/«)与点(FJ(F)是函数/(x)的一对隐对称点若函数Fa)=；二2；>o的图象存在“隐对称点”，则实数加的取值范围是()A.2-2&,0)B.(-,2-22C.(o,-2-22D.(,2+22【答案】C【分析】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程a+2=-2-2x(x>0)的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数机的取值范围.【详解】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，设g(x)的图象与函数/(力二丁一2MXVO)的图象关于原点对称，令x>0,则一jv<O,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,所以g(x)=-f(-x)=-x2-2x(x>0),因为/S)='X(0)=2-()>nx+2,x02所以原题义等价于g(x)与/*)在(0,+8)上有交点，即方程的+2=r2_2x(x>0)有零点，WJrr=-x-2,又因为r-N.2-2jZ-2=-2-24,当且仅当T=2，即X=及时，等号成立，XV-X-X所以m-2-2,即7(-oo,-2-2&.故选：C.【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为g()与/(X)在(0,+8)上有交点的问题，从而得解.25. (2023高二单元测试)能够把椭圆±+V=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可4分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为()A./(x)=4x3+xB./(x)=ln-C./(x)=sinxD./(x)=ev÷e-【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.【详解】对选项A：/(x)=4+x,f(-x)=-4xi-x=-f(x),函数为奇函数，满足；对选项B：/(x)=ln*,函数定义域满足泮>0,解得一5<xv5,口/(r)=In券=-/(x),函数为5+x5+-5-x奇函数，满足；对选项C/(%)=sinx为奇函数，满足；对选项D：/(x)=et+e-/(-x)=e-+er=(x),函数为偶函数，且/(0)=2H0,不满足.故选：D6. (2023秋江苏无锡高一统考期末)设xwR,计算机程序中用INT(X)表示不超过X的最大整数，则y=INT(x)称为取整函数.例如；INT(-2.1)=TINT(L2)=1.已知函数/(x)=:(log2+d，其中0<x<16,则函数y=INT(X)的值域为()A.-l,0,lB.-l,0,L2C.吊)D.0,1,2【答案】B【分析】化简/(x),令E=log2%,/()=2-3+4j14由二次函数的性质求出函数f(x)的值域，根据定义求函数y=INT(AX)的值域.【详解】因为F(x)=g(log2x)2+log2g+4=g(log2%)2+og2x"+4令I=IOg2%,因为<X<16,所以所以/(/)=¥-3/+4,7表4),因为的对称轴为f=3,所以/(，)在(表3)上单调递减，在(3,4)上单调递增,当U3时，/(0min=(3)=-p当匕时，&L=出卜看121、所以/()的值域为-彳当一J(x)<O时，=INT(x)=-l,当0(x)<l时，=INT(x)=0,当lf(x)<2时，y=lNT()=l,71当2(x)v时，y=INT(M)=2,O所以函数y=INT()的值域为T,0,1,2,故选：B.7. (2023山东莉泽统考一模)定义在实数集R上的函数y=(x),如果%0eR,使得/(毛)=%，则称与为函数/(X)的不动点.给定函数f(x)=8Sx,(x)=sinx,已知函数/(x),/(g(x),g(f(力)在(0,1)上均存在唯一不动点，分别记为内，为，X3,则()A.x3>xl>x2B.x2>x3>x1C.x2>xl>x3D.xi>x2>X1【答案】C【分析】由已知可得COS再=X,则CoSXI-K=0,Sin(Cos)-SinXI=O.然后证明X>sin%在(0,1)上恒成立.令尸(X)=Sin(COSX)-sinx,根据复合函数的单调性可知尸(X)在(0,1)匕单调递减，即可得出Q<礼令G(x)=cosx-x,根据导函数可得G(X)在(0,1)上单调递减，即可推得x2>%.【详解】由已知可得，COSX1=x1,则CoSXl-M=0,H.sin(cos)=sinx1,所以Sin(COSXJSinX=0.又COS(SinZ)=毛，Sin(COSW)=玉.令(x)=X-SinX,x(O,l),则'(x)=I-COSx>0f亘成立，所以，MX)在(0,1)上单调递增,所以MX)>Zi(O)=O,所以x>sinx.所以，sin(cosA)=A>sinxj,即Sin(COSW)-SinW>0.
