三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型（解析版）.docx

三角形中的重要模型弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾:弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1,在正方形ABC。中，AE_L3尸于点£BhLCG于点凡CG工DH于点、G,DHYAE于点“，则有结论：AABE/ABCFQACDGQRDAH、S正方形abco=4Sa日s+S正方形EFG(2)外弦图模型：如图2,在正方形ABCO中，E,F,G,H分别是正方形ABC。各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：AHECFGADGH；S正方形AeCD=45乙eab+S正方形efgh.(3)内外组合型弦图模型：如图3,2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1.(2023秋湖北九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的勾股弦图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面积是16,直角三角形的直角边长分别为小b,且/+/=而+o,那么图中小正方形的面积是()【答案】C【分析】根据大正方形的面积即可求得ez,利用勾股定理可以得到a?+/=。?，然后根据(a+/?)?=a2+2ab+b2=c?+勿求得即可求得的值，结合(力一。)？=a2-2ab+b1-C-Iab即可求解.【详解】解：团大正方形的面积是16,0c2=16,0a2+2=c2=16,团M+=H>+10,0aZ?=6»回小正方形的边长为：b-a,（b-a=a2-2ab+b2=c2-2ab=6-2×6=4.故选C【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解题关键.例2.（2022安徽安庆八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCQ由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若NADE=NAED,AD=45,则AADE的面积为（）A. 24B. 6C. 25D. 2)【答案】A【分析】由已知得出4。=A石=AB,进而利用图形面积的割补关系解得即可.【详解】解：如图:回MoE=SAEO,AD=AE=AB,(三AEF=0ABF,0F0BE,EF=BF=BEt团GE=AH,画GEM=SJHAM,团MGE=(W/M,GEMHAM(AS4),SHAM=SGEM,SADE=SADH+SDGE,0AD=45,DH=ZAH,AD2=DH2+H2,0AH=4,DH=8,BDG=GE=4,/.5DE=-×4×8+-×4×4=24.故选：A.22【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.例3.（2023山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,8C=5,将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）SlA. 24B.D. 76【答案】D【分析】由题意0ACB为直角，AD=6,利用勾股定理求得BD的长，进步求得风车的外围周长.【详解】解：依题意由ACB为直角，AD=6, 0CD=6+6=12,由勾股定理得，BD2=BC2+CD2, 0BD2=122+52=169,所以 BD=13,所以"数学风车"的周长是：（13+6）x4=76.故选：D.【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b,斜边为C,那么a2+b22.例4.（2022杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了-幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形488,正方形EFGH,正方形MNKT"的面积分别为5,S2,S3.若5+S2+S3=12,则下列关于51、S2、5?的说法正确的是（）A.S=2B.$2=3C.Ss6D.S+53=8RF【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCDtEFGH,MNKT是正方形,得出CG=NG,CF=DG=NF,再根据三个正方形面积公式列式相加：Si+S2+S.=l2f求出G尸的值，从而可以计算结论即可.【解析】解：八个直角三角形全等，四边形A8CD,EFGH,MNKr是正方形，.CG=NG,CF=DG=NFSi=(CG+DG)2=cg?+DG?+2CGDG=GF?+2CGDG，S2=GF2,S3=(NG-NFy=NG2÷NF2-2NGNF,+S2+S3=GF2+2CGDG+GF?+NG2÷NF2-2NGNF=3GF2=12,.,GF2=4,52=4,.S1+S2+S3=12,S1+S3=8,故选：D.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出3GU=12是解决问题的关键.例5.(2023广东九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经题时给出了“赵爽弦图”.将两个"赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形WNPQ,记空隙处正方形ABCQ,正方形瓦6”的面积分别为R,S2(Sl>S2),则下列四个判断：S+S?=；S四边形MNPQR=2AF；若NEMH=30。,则S=3S2;若点A是线段G”的中点，则351=4S2,其中正确的序号是【答案】【分析】设“赵爽弦图中，直角三角形的较短直角边为叫较长直角边为6,斜边为J则小正方形的边长为b-a,正方形ABCQ的边长为人，正方形“GH的边长为正方形MNPQ的边长为2r,由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可.【详解】设"赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为b,斜边为J则小正方形的边长为b-a,正方形ABe。的边长为6,正方形瓦G/7的边长为。，正方形MNPQ的边长为2c,团S=/,S2=a11S四边形MM>=（2c）2=牝2.si+s2=a2+b2=C2.0S1+S2=-S四边形MNPQ故正确；0AF=b-a,0AG=FG-AF=a-（b-a）=2a-b.团DG=AD-AG=一（加一）=2（6。）.DG=2AF.故正确；0ZEAW=30o,NMHE=90°,MH=小HE.即人=JJa.>2=32.EISI=3S?.故正确；团点4是线段G尸的中点，AG=AF.2a-b=b-a,02Zj=3.4b2=92.04S1=9S2.故不正确；故答案是.【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为方，斜边为*用/,c表示出相关线段的长度，从而解决问题.模型2.勾股树模型作等腰直作正方形（华达作等边三角形作半画 角三角形哥拉斯树的起始图形）例L（2022福建八年级期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、。、。的边长分别为3,4,1,2,则最大的正方形上的面积是一.【分析】根据勾股定理可得：正方形产的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积，从而得到正方形E的面积=正方形厂的面积+正方形G的面积，即可求解.由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+42=25,同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积=2?+产=5,.正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=30.故答案为：30【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键.例2.（2022浙江乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCO中，B=D=90o,分别以AB,BC,CD,OA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S伊，S乙，S丙,S/来表示它们的面积，那么下列结论正确A.S甲=S丁B.S乙=S丙C.S甲一S乙=S丁一S丙D.S1+S=+S1-【答案】D【分析】连接AC,根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解.由勾股定理得A82+8G=AC2,AD2CD2=AC2,团甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系.例3.（2022河南八年级期末）如图，正方形ABCO的边长为2,其面积标记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,按照此规律继续下去，则Sg的值为（）【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S,写出部分S.的值，根据数的变化找出变化规律（唯3）,依此规律即可得出结论.【详解】解：在图中标上字母E,如图所示.正方形ABCZ）的边长为2,ZXCDE为等腰直角三角形，：DE2+CE2=CD2>DE=CE,：,S2+S2=S1.观察，发现规律：S=22=4,S2=Is1=2,S3=Is2=I,S4=Is3=Is,”“=当"=9时，S°=（m*=eJ,故选：A.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律"S”=（gj”3，解决该题目时，写出部分S“的值，根据数值的变化找出变化规律是关键.例4.（2023春山东荷泽八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1,则第2023代勾股树中所有正方形的面积为.第一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树【答案】2024【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2,再次求出第二代、第三代勾股树中所有三角形的面积，总结出般规律，即可进行解答.【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为。和A斜边长为c，根据勾股定理可得：a2+h2=c2,团C?=1,团第代勾股树中所有正方形的面积为=2+2+c2=c2+c2=2;同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为=2/+给2+c2=3c2=3；第三代勾股树中所有正方形的面积为=牝2=4;第代勾股树中所有正方形的面积为=5+l）c2=+1;团第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024.故答案为：2024.【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，