《4.5.3函数模型的应用》高频易错题集答案解析.docx

人教A版(2019)必修第一册453函数模型的应用2023年高频易错题集弁考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1. 一种药在病人血液中的量不少于1500?g才有效，而低于500名病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500®如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过()小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：20.3010,/30.4771,结果精确到0.1人)A.2.3小时B.3.5小时C.5.6小时D.8.8小时【分析】设应在病人注射这种药X小时后再向病人的血液补充这种药，根据题意列出不等式，求解即可.【解答】解：设应在病人注射这种药X小时后再向病人的血液补充这种药，由题意可得：2500×(1-20%)，1500,整理得：(g)XW旦,55两边取对数，得后1%去耳51 3因为IQg3_K_lg3-lg5_lg3-(I-Ig2)_04771-(1-0,3010)3514lg4-lg521g2-(l-lg2)-3×0.3010-15%所以xN2.3,即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.2. 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,碳14的半衰期为5730年,lg5二I.3,以此推断水坝建成的年份大概是公元前()IgO.552A.3500年B.2900年C.2600年D.2000年【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1,经过，年后则变成了0552,列等式求出/的值.【解答】解：根据题意可设原来量为1,则经过f年后变成了1X55.2%=O.552,t所以IX(1.)5730=0.552,两边取对数，得二一=logo.50.552,5730因为Iogo.5(1552=lg°552=1,IgO.51.1665所以t=-×57304912,1.1665所以49122010+1=2903,以此推断此水坝建成的年代大概是公元前2900年.故选：B.【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型应用问题，正确理解题意是解题的关键，是中档题.3.某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如表所示：可以享受折扣优惠金额不超过400元部分折扣率5%超过400元部分15%若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为()A.935元B.IOoo元C.1035元D.IloO元【分析】设此商场购物总金额为X元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额)，元与购物总金额X元之间的解析式，结合y=65>20,代入可得某人在此商场购物总金额，即可得出答案.【解答】解：设此商场购物总金额为X元，可以获得的折扣金额为y元由题可得当OVXW400时，y=0；当400VxW800时，y=0.05(x-400)=0.05x-20；当x>800时，j=0.15(x-800)+20=0.15x-100,0,0400综上所述，)，=005-20,400<<800,0.15-100,X>800,某顾客获得65元折扣优惠,即y=65>20,x>800,即0.15%-100=65,解得X=Ilo0,1100-65=1035元，故此人购物实际所付金额为1035元，故选：C.【点评】本题考查分段函数的应用和函数的值，考查函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.4.碳-14测年法是由美国科学家马丁卡门与同事塞缪尔鲁宾于1940年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用，其原理为：宇宙射线中的中子与氮-14反应产生碳-14,而碳-14会发生衰变变成氮-14,由此构建一个核素平衡.空气中的碳-14与氧反应生成的二氧化碳被生物圈接收,活体生物体内的碳-14和碳-12浓度比例是一定的，只有当生物死亡后，碳循环中断，碳14会衰变并逐渐消失.放射性元素的衰变满足规律N=M）/"（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量M）与经过时间，后的含量N间的关系，其中入=L（T'为半衰期）.已知碳-14的半衰期为5730年，TM）=I.2X10-12,经测量某地出土的生物化石中碳-14含量为4X10-3,据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据log23QL585）（）A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年【分析】根据题意，利用函数解析式，把数值代入函数解析式，求解即可得出结论.【解答】解：放射性元素的衰变满足规律N=M）得EN=InNO-Xt,INo1N0lrTln-则-JL=!L,ln2当T=5730,NO=L2X10%n=4X103时，5730 X In-1.2X10-124×1013-5730 ×ln3ln2ln2=57301og23=5730X1.585=9082.059082.所以出土的生物化石中碳-14含量为4X103时，推测该化石活体生物生活的年代距今约9082年.故选：C.【点评】本题考查了函数模型的选择及应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买IOg黄金，售货员先将5g的硅码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（）A.大于IOgB.大于等于IogC.小于IOgD.小于等于IOg【分析】不妨设天平的左臂长为小右臂长为从且4>b）,先称得黄金的实际质量为，后称得黄金的实际质量为加2,利用杠杆的平衡原理求得?1+，22,再利用基本不等式求出答案.【解答】解：因为天平的两臂不相等，可设天平左臂长为m右臂长为b（不妨设>b）,先称得黄金质量为小后称得黄金实际质量为?2,由杠杆的平衡原理知，加?=5,atn=5b,解得m2=皿，ba所以八十?2=皇+生，ba则叫+闭2=&+型22、厘二亮=10,baVba当且仅当昱=型，即=b时取“=”，ba因为>b>0,所以即顾客购得黄金大于10g.故选：A.【点评】本题考查不等式的应用问题，也考查了实际应用问题，是中档题.6. “字节”（8*e,B）常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，我们还用千（K,kilo）、兆（f,mega）>吉（G,giga）>太（T,iera）、拍（P,peta）等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=IO248；IMB=1024K8；IGfi=1024A/B；I7B=1024GB;PB=024TB=xB.已知X是一个m位整数，则m=（）（参考数据：g2七0.3010）A.8B.9C.15D.16【分析】计算1P8=25°B,利用对数转化为10进制，即可得出结论.【解答】解：因为IPB=207B=22°G8=23°MB=24°K8=25t,且g25°=50Xg215,所以25°al0%又因为是一个M位整数，所以/“=16.故选：D.【点评】本题考查了进位制的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.7.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000SP,四周空白的宽度为IOC旭，两栏之间的中缝空白的宽度为5c%要使矩形广告牌的面积最小，广告牌的高与宽的尺寸比值为()A.140：175B.175：140C.(25+605)：(20+605)D.(25+605):(20+605)【分析】可设广告牌的高和宽分别为bcm,由此表示出每栏的高和宽，基底广告牌的面积，利用导数求出最值，从而求出结果.【解答】解：设广告牌的高和宽分别为acm,bcm,则每栏的高和宽分别为a-20,上空，2其中>20,b>25.两栏面积之和为2Q-20)红臣=18000,由此得b=18°°°+25.2a20广告牌的面积S=b=(18000+25)=1800a÷25a.a-20a-20所以=18000(a-20)-a,"=_360000(a-20)2(a-20)2令S'>0,得>140;,令S'<0,得20VaVl40.所以函数在(140,+8)上单调递增，在(20,140)上单调递减，所以二140时，S()取得最小值为S(140).且当=140时，b=18000+25=175.140-20即=140,方=175时，S取得最小值为24500,所以当广告牌的高为140C宽为175Cm时，可使广告牌的面积最小.故选：A.【点评】本题主要考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.8.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素钠137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间，(单位：年)满足函数关系：M(力=M0230,其中Mo为I=O时钠137的含量.已知Z=30时，艳137含量的变化率是-10/2(太贝克/年)，则M(60)=()A.5太贝克B.75加2太贝克C.150/2太贝克D.150太贝克【分析】利用函数的解析式求出函数的导数，代入数据求出Mo的值，再求M(60)的值.【解答】解：因为M(f)=MO2-而，其中Mo为/=O时钠137的含量；所以铀137含量的变化率为M1(Z)=-LmoJ丽”2,30Z所以当f=30时，M(30)=-Jl-AZo930/“2=-加2=-10/2,30乙60解得MO=600,所以M(r)=600230,_60_所以M(60)=600×H30=6OoX工=150(太贝克).24故选：D.【点评】本题考查了函数的导数几何意义与应用问题，也考查了函数值的计算问题，是基础题.9 .我国古代数学著作周髀算经中记载了二十四节气与轻长的关系：每个节气的轻长损益相同.唇是按照日影测定时刻的仪器，唇长即为所测量影子的长度，如图1所示，损益相同，即相邻两个节气署长减少或增加的量相同，且周而复始.二十四节气及唇长变化如图2所示,已知谷雨时节轻长为5.5尺，霜降时节皆长为9.5尺，则二十四节气中展长的最大值为()器长逐渐变小冬至春分雨水惊蜚0°清明谷雨大寒30小寒I270V大雪小雪240 立冬210：150霜降暴露180°白露处喜立夏 件小满 )芒种 : ,90°夏至氏窘; 立秋 /秋分曷长逐渐变大图2A.14.5B.13.5C.12.5D.11.5【分析】设相邻两个节气署长减少或增加的量为d(d>0),根据题意求出d,再求冬至时对应的署长即可.【解答】解：设相邻两个节气署长减少或增加的量为d(d>0),则谷雨到夏至减少44