《4.5.1函数的零点与方程的解》高频易错题集答案解析.docx

人教A版（2019）必修第一册451函数的零点与方程的解2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1 .己知函数/（x）=r2r+,“函数/U）在（0,2）上有两个不相等的零点”是“工<a<2”42的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】分三种情况讨论。，再利用数形结合得到有两个不同零点的不等式组，再根据充分，必要条件的定义即可判断.【解答】解：当G=0时，/（x）=在（0,2）上无零点，=l-4a2>0当a>0时，则f(0)=a>091f(2)=5a-2>0*-a0<；<2=l-4a2>0f(0)=a<0当V0时,则jf=5a-2<SJ无解，0<<2综上所述：ZvaV工，52.（2,JL）g（1,1）,5242：.f（x）在（0,2）上有两个不同的零点是工VaV工充分不必要条件.42故选：A.【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.2.己知"zR,"函数y=2'+m-1有零点”是“函数y=log城在（0,+）上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：若函数y=(x)=2*+w-l有零点,则/(O)=l+m-l=m<l,当m0时，函数)，=Iog比在(0,+8)上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=logw在(0,+8)上为减函数，则OV?VI,此时函数y=2"+m-1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2*+m-1有零点”是“函数y=log心在(0,+)上为减函数”的必要不充分条件，故选：B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键.3.函数f(x)=(X2-I)J2.4的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【分析】先求函数的定义域，然后解方程/(X)=0,即可解得函数零点的个数.【解答】解：要使函数有意义，则W-420,即/24,x22或x-2.由f(x)=0得X2-4=0或X2-1=0(不成立舍去).即x=2或X=-2,函数的零点个数为2个.故选：B.【点评】本题主要考查函数零点的求法和判断，先求函数的定义域是解决本题的关键，否则容易出错.y+1(0)4.己知函数f()=X则函数y=)+的零点个数是()Inx(x>0)【分析】设/=(x),则函数等价为y=(f)+1,由y=(f)+1=0,转化为/(f)=-1.利用数形结合或者分段函数进行求解即可.【解答】解：如图示：设=(x),则函数等价为y=(f)+1,由y=f(f)+=o,得/(f)=-1,若忘0,则-/+I=-I,即，=2,不满足条件.若r>0,则Int=-1,则r=满足条件.e故函数y='(X)+1的零点个数只有1个，故选：A.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键.5.函数Fa)=zu+3*r-6的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【分析】利用零点存在性定理，直接判断即可.【解答】解：/(x)=/皿+31-6显然是增函数，且XfO时，/(x)-,/(1)=-5<0,/(2)="2-3V0,f(3)=w3+3>0,/(2)/(3)<0,故/(x)在区间(2,3)上存在唯一零点.故选：C.【点评】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.16 .函数f()=2.弓)下的零点所在的区间为()【分析】显然，/(X)在(0,+8)上是单调递增的，再结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：因为y=x2与y=1-()x <0,+ 8)上都是增函数,1故f5)=、2吗)下在(0,+8)上是增函数,_1_(-l)2>0,所以/(0)/(1) <0,_1_因为/(0)=-g)2<o,/(1)=1-故/(x)只在(0,1)上存在唯一零点.故选：A.【点评】本题考查函数的单调性以及函数零点存在性定理，属于基础题.7 .函数/(x)=/心-工在下列区间中存在零点的是()XA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【分析】显然该函数是单调增函数，然后结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：易知/Cr)=而-工在(0,+8)上是增函数,>0,且/(1)=-KO,f(2)=Inl-A=M224所以7(1)/(2)<0,所以/(x)在(1,2)上有唯一零点.故选：B.【点评】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.8 .函数/(x)=Iog3(x-I)+-6的零点所在的区间是()A.(2,3)B,(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【分析】利用函数/Q)的单调性，区间端点处函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：因为)=Iog3(X-I)+x-6是增函数，且/(4)=-KO,/(5)=lg3(y)>0,故f(4)/(5)<0,所以/(x)在(4,5)上存在唯一的零点.故选：C.【点评】本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.Iog1(x+l),x0,1)9 .定义在R上的奇函数f(x),当时，f()=2,则关I-IX-3I，x口，+)于X的函数/(x)=(x)-(OVaVl)的所有零点之和为()A.2a-B.-2aC.2'a-1D.I-2'a【分析】根据函数/(x)为奇函数，作出它的图象，然后结合图象的性质求解.【解答】解：由题意，作出函数/(X)的图象：函数尸(X)=f(x)-(O<Vl)的所有零点，即为函数y=f(x)与y=(O<V1)图象交点的横坐标，据图可知，两函数交于五个点，易知交点的横坐标满足：X+X2=-6,X4+X5=,由题意知，该函数在(-1,0)上的解析式为y=-log(-X+1),2故Togl(-3+l)=a,解得、3=1-232故Xl+X2+X3+X4+X5=1-2d.10 .若?是方程X+阮L3=0的根，则下列选项正确的是()A.<rn<2B.2<m<3C.3<w<4D.OVMVl【分析】利用零点存在性质定理，结合函数的单调性判断即可.【解答】解：令/(x)=x+ln-3,x>0,显然函数为增函数，又/(3)=/3>0,/=Inl-KO,故存在小(2,3)使得/(m)=0.故选：B.【点评】本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.二.填空题(共5小题)11 .己知,及，b,Z>2R,则"方程mx+加=O与42x+b2=O的解集相同”是“m历=2历的充要条件.【分析】根据一元一次方程的解法判断即可.【解答】解：当m=2=0时，须有历=历=0,两方程同解，此时mZ>2=Bbi;-b1-bob1bo当m0,且加0时，则两方程的解分别为：X=_L和X=_£,两根相等，则=_二ala2ala2故ab2=a2bf综上可知，方程x+b=0与42x+历=0的解集相同，则m历=sb,故”方程x+b=0与历=0的解集相同”是“。1历=。24”的充要条件.故答案为：充要.【点评】本题考查充要条件的判断方法，属于基础题.12 .定义在R上的奇函数/(x),当GO时，f(x)=l°g2(x+l)(°4x<l),则函I-3I-1(xl)数g(x)=f(X)I的所有零点之和为_-1_.【分析】根据函数的奇偶性求出函数f()的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数g(X)的所有零点即可.【解答】解：函数/(x)是奇函数,：.当 XVo 时,f (X)"-log2(lx)»T<x<01-Ix+3I»x-l作出函数/(x)在R图象如图：由g(x)=f(x)-=0»即/()=1,由图象可知函数/(x)=/有5个根，不妨设为x=,b,c,d,e.且VbVcVd<e,则0,b关于X=-3对称，d,e关于x=3对称，OVcVl,贝号7,等玛.,a+b= - 6,d+e=6,V0<c<l,由/(C)=得IOg(C+1)】，即c+1=22=yf2'*c=V2-L，零点之和为a+b+c+d+e=6+6+2-I=V-1故答案为：2-l【点评】点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键.13 .已知方程gx=-2x+5的根在区间(k,RD(Z)上，则k=2.【分析】将问题转化为函数fCO=g%+2-5在(k,HD上存在零点来处理，列出不等式组，结合kZ求解.【解答】解：方程Igx=-2r+5=gx+2x-5=0,令KX)=lgx+2-5,由已知得/(x)在(2,HD上存在零点，显然/(x)是增函数，故只需产+手Y-,f(k+l)=lg(k+l)+2(k+l)+5>0因为/(2)=lg2-KO,/(3)=3+l>0,结合AZ,所以A=2.故答案为：2.【点评】本题考查函数的零点存在性定理解决方程根的分布问题，属于中档题.14 .已知函数/(x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都在(-2,4)内，则实数”的取值范围为(-1,3).【分析】结合二次函数的性质，根据两个零点都在(-2,4)内，构造出关于。的不等式组即可.【解答】解：因为函数/(x)=/-2数+/-1的对称轴为=,图象开口向上，=(2a)2-4(a?T)>0所以若两个零点都在(-2, 4)内，则1-2<a<4f (-2)=3+a2+4a>0f(4)=15+a2-8a>0解得-IVaV3.故答案为：(-1,3).【点评】本题考查利用二次函数的性质研究其零点的存在性问题，此类问题一般结合二次函数图象的开口、对称轴、端点处函数值的符号来研究，属于中档题.15 .己知/(x)=IlogaXl(>0,al),给出下列四个结论:若f(2)=1,则a或2；若OVmV，且/(，)=/()，则用=1；不存在正数上使得g(x)=(x)-Ax-I恰有1个零点；存在实数使得g(x)=(x)-恰有3个零点.其中，所有正确结论的序号是©©.【分析】对于，直接计算即可：对于先去掉绝对值符号，再计算即可；对于，结合图象的性质判断即可.【解答】解：对于，由己知得IlOga2|=1,故Ioga2=±1,故"=2或故对；logX,xl对于，不妨设。>1,则f()=,因为OVmV",故/()-f-log,x,x<1a(m)=IOga"+log”?=lognw=0,nn=I,同理OVaVl时，也有相同结论，故对；对于，不管>l或OVaVl,/(x)的图象形