7.2.3三角函数的诱导公式.docx

7.2.3三角函数的诱导公式【考点梳理】考点一：公式一1 .角+与角a的终边关于原点对称.如图所示.2 .公式：sin(÷ot)=sina1cos(÷«)=cosa,tan(÷)=tan.考点二：公式三1 .角一。与角。的终边关于工轴对称.如图所示.2 .公式：sin(a)=Sina,cos(-a)=cos6t>tan(a)=tana.考点三：公式四1 .角-与角的终边关于上轴对称.如图所示.2 .公式：sin(¾)=sina,cos(-a)=cosa,tan(a)=tana.考点四：公式五1 .角，一a与角Q的终边关于直线口对称，如图所示.2 .公式：考点五：公式六1.公式：Sin住+ct)=Cosa,cosj÷aj=sina.2.公式五与公式六中角的联系+a=一(今一。大重点：诱导公式规律总结诱导公式作用公式一将角转化为02元之间的角求值公式二将02元内的角转化为0五之间的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为0方之间的角求值这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称-致，符号则是将。看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.。看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上。可以是任意角.3 .用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.(2)对于冗±a和±a这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名.【题型归纳】题型一：诱导公式一的应用1 .(2023下辽宁葫芦岛高一统考期末)Sin半的值为()4A.一3B.BC.一立D,也2222【答案】D【分析】利用诱导公式与特殊角的三角函数值即可得解.【详解】Sin与=sin(M+：)=sin：=#.故选：D.72. (2023上陕西西安高一统考期末)下列函数值：Sin(TOo0。)；(2)s(-2200o)；tan(-10)；(4)sin-,其结果为负值的是()A.B.C.D.(4)【答案】C【分析】利用诱导公式及各象限内三角函数的正负判断即可.【详解】对于：sin(-1000o)=sin(-3×360o+80o)=sin80°>0,对于：cos(-2200o)=cos(-7×3600+3200)=cos320o>0,对于：tan(-10)=tan-4+(4-10)J=tan(4-10),因为<4-10<,所以tan(4-10)<0,即tan(-10)<0,对于：因为所以sin>0.故选：C题型二，诱导公式二、三、四应用3. (2023上高一课时练习)求下列各式的值.,、254z154、(l)cosFtan()；34(2)sin810o+tan7650-s360°.3【答案】:(2)1【分析】由诱导公式化简后求解.【详解】(1)cos+tan(-)=cos-+tan=+1=.343422(2)sin810°+tan7650-cos3600=sin90o+tan45o-cos00=1+1-1=1.4. (2023下广东佛山高校联考阶段练习)cos(-1860o)=()A13c1d32222【答案】C【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数计算作答.【详解】cos(-1860o)=COS(-10×I80°-60o)=cos(-60o)=cos60°=.故选：C5. (2023下江西南昌高一校联考阶段练习)已知角。的终边在第二象限，且与单位圆交点的横坐标为，将角。的终边绕坐标原点沿逆时针方向旋转180。，得到角夕的终边，则sin£=()_1r1C2近n22A."-DC-U13333【答案】C【分析】依题意CoSa=-：，根据siMa+cos?。=1可求出Sina的值，再通过诱导公式Sin(18。+)=ina便可求出Sin夕的值.【详解】依题意COSa=-g,则Sina=JI-COS%=，则sin/?=sin(180+)=-Sina=-故选：C.6. (2023全国高一随堂练习)求下列三角函数值:(I)COSI35。；(2) sinllCOS(Tll0。)；(4) Sin16(5) sin870。；,、IE(6) cos；4(7)sin(-210o);【答案】一43- 23一 23- 22)3)4)(5><7)【分析】根据三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值，计算即可得出答案.【详解】(1)cos1350=cos(180°-45°)=-cos45°=-sin=Si品立32cos(-1110o)=cos(-3×360°-30°)=cos(-30o)=cos30o=当(4)Sin16sinf-6 + y(5)sin 870o = sin(2× 360o +150o) = Sinl 50。= g(6)1 lcos=4cos2+(7)in(-210°) = sin (-360o + 150o) = sin 150o = (8)COS83兀(1 / I cos -14 + - =Cos-题型三:：诱导公式五、六应用7. （2023贵州遵义统考模拟预测）若cos（ + a-ar 2231 C.一3D.【答案】【分析】以%。为整体，结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：sinl-l = sin + a 4 +a42故选：C.8. （2023上四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）己知sin（e+J=5,则COS（夕+年J=（A.1D.2【答案】D【分析】以e+B为整体，利用诱导公式运算求解.O【详解】由题意可得：COS故选：D.9. (2023上重庆长寿高一统考期末)已知/(0)=化简/();若f()=更0,且。为第四象限角，求2si112+3sincos2的值.【答案】/()=cos【分析】(1)根据诱导公式化简可得.(2)由/()=cOSa和同角三角函数关系得到COSa=巫,sin。=-%1,代入可得.cos (-cosa)(-sina)-cosa cosa (Tana)= cosasin+acos(+)sin(-)详解(1)/OUsinacos(2-)tan(-)(2)由题知，COSa=因为第四象限角,则 2sin2 + 3sinacosa = 2 4109H)题型四：利用诱导公式证明恒等式10. (2021高一课时练习)若角的终边落在直线V=X上，则Sin愕-j+cos5+j=.【答案】0或-&【分析】化简得到Sin仔-+COS(I)=-cos-Sin,考虑角为第一或第三象限角两种情况，计算得到答案.【详解】因为角。的终边落在直线y=上，所以角。为第一或第三象限角,-CoSa-Sina ,当角为第一象限角时，cosa=sina=»-cosa-sina=；222当角为第三象限角时，COSa=Sina=-也，-cosa-sina=+=222故答案为：6或-应.tan(2-)sin(-2%-)cos(6-)_11. (2021上高一课时练习)(1)求证：一玩一；一豆二sn(r+)cos(+)22_ w + 3W/+ 1./5;T、C,13%、sn(+)+3cos()(2)设tan( + ) = W, 7求证一.,20、z221、sn()-cos(+y-)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)(2)应用诱导公式化简等式中结构兔杂的一侧，即可证结论.tan(-)sin(-)cos(-)(一tana)(-Sina)CoSasin2asin2a【详解】(1)左边=(,re"(-Vic3x1tvc产cc7-Cosasiisi112-(z)cos2-(a)sn-(a)lcos-(a)-sn(a)cos(a)222222=一也里=Tana=右边，所以原等式成立.cosasin + ( + a) + 3cos(a + ) - 3%(2)方法 L 左边=7-7-osin4-(a + )-cos2- + (。+ ).,8万、C，8乃、-sn(-+a)-3cos(a+).8,8不-sn(a+)-cos(a+)tan(a+y)+3/n+31一而=77=右边，ian(a+)+1m+l7sin(y ÷ a) + 3cos(a + y) tan(cr + y) + 3 sin(, + y)+ cos( + ) tan(a + y) +1h右边，等式所以原等式成立.O7r-方法2：由tan(a+)=w,得tan(a+-)=m，77sin2%+(+a)+3cos(a+)-2所以，等式左边=7sin2乃+-(a+)-cos2+(a+y)成立.12.（2021全国高一专题练习）求证:sin(2-)cos(r+a)cos-tana.cos(-)sin(3-)sin(-+a2【答案】证明见解析.【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.=Tana=右边,详解左边二平Z智*a(-cos6r)smasnacosa团等式成立.题型五：诱导公式的综合应用（化简求值）问题13.（2023上江苏苏州高一）已知sin(-)若求tan。的值；（2）若噌-求信+可的值.答案】±2五【分析】（1）先利用诱导公式化简，再根据平方关系及商数关系即可得解;（2）找出己知角和所求角得关系，再利用诱导公式化简即可得解.（八 3 . （7 【详解】（1）COS/=-Sine(-COSe) 八，=L = COS6'sin(-)co,； 2 a + 2 应-COS 7 X，Sine由/=g,所以 lan = ±2;(2)由噌_q=；，得。喉-则/(系+ e) = cos(系+ ) = 8s - =-cos-