5伯努利方程具有伽利略变换的不变性.docx

伯努利方程具有伽利略变换的不变性摘要：先从矢量力学角度利用动能定理和机械能守恒定律推导了伯努利方程，然后从分析力学角度分析了伯努利方程，最后得出伯努利方程具有伽利略变换的不变性。关键词：伯努利方程：伽利略变换的不变性；动能定理：机械能守恒定律：分析力学机械能守恒定律是能量守恒定律在机械运动中的一个表现形式,早在力学初步形成时就已有了能量守恒思想的萌芽，例如伽利略研究斜面问题和摆的运动，斯梯芬(SteVin,15481620)研究杠杆原理，惠更斯研究完全弹性碰撞等都涉及能量守恒问题。17世纪法国哲学家笛卡儿已经明确提出了运动不灭的思想。以后德国哲学家莱布尼兹(LeibniZ,16461716)引进活力(ViSViVa)的概念，首先提出活力守恒原理，他认为用度量的活力在力学过程中是守恒的，宇宙间的“活力”的总和是守恒的。D.伯努利(DaniCIBCrnoUIli,17001782)的流体运动方程实际上就是流体运动中的机械能守恒定律，1726年伯努利通过无数次实验发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时，物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应“。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体，是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系。丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主要是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来。他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致。丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的研究之中，这对于力学发展具有重要的意义。伯努利方程是能量方程式，说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、重力势能和动能三种形式的能量，在适合限定条件的情况下，流场中的三种能量都可以相互转换，但其总和保持不变，这三种能量统称为机械能。由于对于理想流体压力是保守力，因此压力能也可以称为压力势能。假设地球质量充分大，从而稳定地保持为惯性系，此时一个保守力的功等于质点势能的减少o一、伯努利方程协变性疑难VzI图a如图a,理想不可压缩流体沿水平管道X方向稳定流动。设在位置1处流速为V1,管横截面积，压强为Pl；在位置2处流速为V2,横截面积为S2,压强为P2,流体密度为P。在相对于管道静止的X系中，伯努利方程为P1+Pvi22=P2+Pv222(1)又有连续性方程：ViS1=V2S2(2)现设想有一个相对管道以速度U(远小于光速)沿管道匀速直线运动的惯性系X系，在X系中流体的运动又如何呢？根据伽利略变换：Xr=X-Vt,y'=y,z'=z,t,=t,可得：V-V-U,V-V,Vz-Vz,即丫'=¥-U。由于力F和面积S都是伽利略变换的不变量，因此压强P不随坐标系改变，另有P不随坐标系改变，于是(1)式变换为：P+P(v+u)22=P+P(v2,+u)22,或P+PV"2=P2+P2/2+u(V2，-v/)(3)显然,P1+Pv72P2+Pv272,即在X系中形如(1)式的伯努利方程失效了，(1)式实质上就是流体运动中机械能守恒的关系，流体可视为保守场；(1)式不协变说明在不同坐标系中功能关系的形式有所不同。考察连续性方程：将变换关系代入(2)式得(vj+u)S1=(v2l+u)S2,即VIsWv2,S2,连续性方程也失效了，一个无源场在坐标变换中可成为有源的场。二、伯努利方程协变性疑难剖析伯努利方程是能量守恒定律在机械能领域的表现形式，应该满足协变性，下面利用动能定理和机械能守恒定律重新推导一下伯努利方程对于地面系观察者设在右图的细管中有理想流体在流动，且流动方向从左向右，我们在管的外处和在处用横截面截出一段流体，即&处和检处之间的流体，作为研究对象。设句处的横截面积为S,流速为力，高度为N检处的横截面积为S2,流速为匕，高度为加如图b所示，经过很短的时间At,这段流体的左端Sb由己移到b,右端S2由斑移到儿两端移动的距离为八/.和12,左端流入的流体体积为X=SlA/i，右端流出的体积为AV2=S2Lh.0%./=玄=/左端的力对流体做的功为丁匹=E=p51=p：U=piSlJl=plV图b作用于右端的力A=Sz,它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左，而这段流体的位移向右)，所做的功为：W2=Z72I2=-pzS2Iz=-piV，两侧外力对研究液体所做的功为：#三%+匹=(PLQ)K重力做功WS=Og(-h2)V根据动能定理得w+叼=(PLm)A/+Qg(hf)K=-Pr(v22-vi2)2整理后得：P1+pv+pgh=P2+1pv+Pgh1又国和色是在流体中任取的，所以上式可表述为：jcH-pv1+pgh=恒量，式中的三项都具有压强的量纲。其中LPV2相与流速有关，常称为动压强；Pgh是由于流体自身所2在高度(相对零势面)所产生的压强，P项与流速无关，常称为静压强。当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为"万。/=常量。+pgh=A=Const(4)把上式两边同除以密度P,便可得到如下的方程p/p+gh=B=const(5)方程(5)可从能量的角度来理解，其物理意义是描述了单位质量流体的压力势能、动能和重力势能三者之和在同一流线上为一恒量，即说明同一流线上流体的能量守恒。该方程中：0/P表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力势能(弹性势能)，从能量的角度讨论p/p项也可理解为单位质量流体相对于P=O状态所蕴含的能量。经典伯努利方程适用范围：定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变；不可压缩流:密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(M)Vo.3；无摩擦流:摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应；静止惯性参照系，一般指地面系。流体沿着流线流动:流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。此公式是选择理想流体中的细流管推导得出的，当令截面积趋于0时，细流管演变为流线，因此可适用于同一流线上,把上式两边同除以Pg,便可得到如下的方程pf)g+-g+h=const(6)2该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能，在水力学中广泛应用，第一项表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能称为压力头，也就是压力对单位体积重量所做的功，第二项单位重量流体所具有的动能称为流速头，第三项就是流场中该点的高度称为位置头，也称水头，因此该方程说明了同一流线上各点的压力头、流速头和位置头三者之和为一恒量。从上面的方程可以看出，对于静止流体同一高度压强相同，验证了帕斯卡定律。公式中每一项都具有长度的量纲，所以0/Pg表示所考察的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某以高度的能力。对于小车系观察者图C1.公式推导先从矢量力学的角度分析，如图C所示，设Xoy与XP勺，坐标系对应平行，且系相对于固有参照系(地面系)Xoy以恒定速度U沿X轴的负方向运动，即U=-UX,u,=0,Uz=Oo对于(y,系，在稳定流动的理想流体中截取的细流管，由AB位置流到A，B，位置的过程中，重力不做功，压力做的功等于%=%一%=PM(l+竺3-p,s,(,+±2)Mv2EE2-Ex(七肘+E”)(Ea+EBQ=EBLEAA.=(jwv22+mg%)-(jnv12+nigh)=(pL22v22+pI,v,g2)-(-lI1.vlv12+pL1.v1g,)由于流体是连续的，所以有2A.=Z4所以+万夕声+夕gz+p!LI=A+;?/一加%=const(7)假设这段流体在静止惯性系中的位移为r,在运动惯性系中的位移为Ro由于Rr也L)+L(t)是关于时间t的连续函数，这段流体在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=O(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，这段流体静止，受到的力是0,不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=6(R).因此公式(7)变为1 2,uvR)12->,、p+pv+pgh+p=A+WM-mu.vq=const-(8)2 v2上式为运动参考系伯努利方程的一般形式，当U=O时，两坐标系重合，(8)式便退化为(4),符合对应原理的要求，经典伯努利方程为(8)式特例，(8)式适用于所有的惯性系一满足力学相对性原理，这样就不会出现文献3中的佯谬，定常流经过伽利略变换后仍然是定常流。玻尔兹曼的格言：”形式是否优美的问题应该留给裁缝和鞋匠去考虑”。对于非定常流的问题需要利用柯西-拉格朗日方程研究。2.公式的剖析式中的四项都具有压强的量纲，其中;PV2相与流速有关，常称为动压强；Pgh是由于流体自身所在高度(相对零势面)所产生的压强，P项与流速无关，常称为静压强，一也为侧压强。当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表vL达为p+Jp廿+p”也”=COnSt。如果此时管的粗细相同，侧压力这一项也没有了,2v变为p+/Pl=nsto把（8）式两边同除以密度P,便可得到如下的方程po+/+gh+E"（R）=B+-mu2-WM.v0=const（9）2PVbL20方程（9）可从能量的角度来理解，其物理意义是描述了单位质量的流体的压力势能S/P+"呼）、动能（L/）和重力势能（gh）三者之和在同一流线上为一恒量，即说pv2明同一流线上流体的能量守恒。与静止惯性系比较，压力势能增加了一项K丝M：W,PvL原因在于在动惯性系侧压力做功，出现了一项侧压力势能，流体内压力的功也发生了变化，正压力势能也发生了变化，（R）不仅仅是侧压力势能。（9）式进一步验证了机械PvL能守恒定律满足力学相对性原理，对于同一个物理过程，如果在一个惯性系机械能（动能+重力势能+压力势能）守恒，在另一个惯性系机械能（动能+重力势能+压力势能）一定守恒。3 .对以往文献的分析从上面的推导可以得出，在稳定场中势能不可能显含时间，有些文献得出质点在稳定场（例如重力场、弹力场）中运动在某个惯性系势能测量可以显含时间是完全错误的。文献56得出与公式（8）相似的结论，但是该公式含有时间t,不符合物理学方程的要求（因为能量守恒定律是时间均匀性的体现，不能含有时间t）,指出了经典伯努利方程仅仅适用于静止惯性系（通常指地球坐标系）。文献3由于没有认识到这一点，提出因为力对各惯性系而言虽为不变量，但受力作用的质点的位移却因参照系而异,从而功也参照系而异，因此对某一惯性系而言体系能量守恒，对另一个惯性系而言能量可以不守恒。这样机械能守恒定律就不满足力学相对性原理了，进而得出能量守恒定律也不满足力学相对性原理了。4 ,分析力学的角度（8）式虽然满足力学相对性原理，但是形式复杂，不符合科学简单化的原则，狄拉克认为：简单性属于美，简单性原则改为数学美原理。我们换一个角度考虑问题，在小车系侧压力虽然做功，但是不改变机械能，伯努利方程是关于流体的机械能方程，我们也可以按照分析力学的方法不管侧压力。文献7利用侧壁压力在静止惯性系不做功从而在运动惯性系也不做功，得出伯努利方程在所有惯性系形式完全相同是错误，原因在流体流动中，流管侧管压力对流体微团所做的功只在特定惯性