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    5.2.2同角三角函数的基本关系(解析版).docx

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    5.2.2同角三角函数的基本关系(解析版).docx

    5.2.2同角三角函数的基本关系【知识点梳理】知识点一:同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2a+cos2a=1(2)商数关系:s*na=tangCOSa知识点诠释:(1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立;(2)sin?是(Sina)2的简写;(3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和绝对值的概念,应注意"土”的选取.知识点二:同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形:sin2a=1-cos2a>cos2=l-sin2,1±2sinorcosa=(sina±cosa)22、商数关系式的变形SinaSma=COSatana,COSa=.tana【方法技巧与总结】(1)求值题型:已知一个角的某个三角函数值,求该角的其他三角函数值.已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限,此类情况只有一组解;已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出,解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限,然后分不同情况求解;一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取,一般思路是“倒、平、倒、商、侄的顺序很容易求解,但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型:化简三角函数式的一般要求是:化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sia+cos2a=l,以降低函数次数,达到化简的目的.(3)证明题型:证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异,就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征,灵活、恰当选取公式.证明恒等式常用以下方法:证明一边等于另一边,一般是由繁到简.比较法:即证左边一右边=0或-=1(右边W0).【题型归纳目录】题型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二,已知tana的值,求关于Sina、CoSa的齐次式的值问题题型三:Sina±cosa与SinacoSa关系的应用题型四:利用同角关系化简三角函数式题型五,利用同角关系证明三角恒等式【典型例题】题型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值例L(2022全国高一课时练习)己知。是第二象限角,tana=-2,则CoSa等于()5Rlr25n25555【答案】A【解析】任意角的三角函数,Sina.C.tana=-2=,.2cosa=-Sina>CoSasin2a+cos2a=1,a是第二象限角.*.CoSa=-去.故选:A例2.(2022全国高一课时练习)已知角a的终边在直线y=-2x上,则COSa=()A.空B.好C.土立D.土拽5555【答案】C【解析】由题设知:tana=-2,即Sina=-2COSa,且si/a+cos?a=1,所以c<a=",而a终边在第二或四象限,所以COSa=土好.5故选:C例3,(2022全国高一课时练习)已知tana=3,O<a<c,则CoSa-Sina的值为()AMrioronTio551010【答案】B【解析】由tana=3,得Sina=3cosa.又ae(0,兀),所以Sina>0,cosa>0.结合sia+cos?a=1得311)10击”10Slna=,COSa=,所以CoSa-SIna=.10105故选:B.变式1.(2022全国高一课时练习)已知0<<r,且CoSa=;,则tana=()A.正B.一走C.22D.-2>244【答案】C【解析】因为O<<1r,cosa=;,所以Sina=Jl-cos?=J3Sina_yr-tan=22.cosa故选:C.变式2.(2022.河南新乡市第一中学高一阶段练习)-sin22=()A.cos2B.-cos2C.sin2D.-sin2【答案】B【解析】JITin22=JCOS22因为2C,r),所以COS2<0,所以JCOS22=-cos2.故选:B变式3.(2022浙江杭州高级中学高一期末)已知COSa=;,Ky<«<2,则tana的值为()A.巫3【答案】DB.-4C.-2D.-22【解析】由题意得Sina=-卜(I=-竽,贝黑=-2式,故选:D变式4.(2022新疆柯坪湖州国庆中学高一期末)若。为第三象限角,且Sina=-:,则COSa=()A,至B.一在C,显D.一亚3443【答案】D解析】由题意,cosa=-JI-Sin*a=-故选:D变式5.(2022贵州凯里一中高一期中)若6e(g,且满足一Tane=1,则Sino+cos。=()V2)tan。A.巫B.式C.一或D.5555【答案】A【解析】由-tan=l得(tane-2)(ta11e+3)=0,,tan,=一3或tan。=2,因为6(,r),tanJ<O,所以tan6=-3.tan=-3*310.4Sine10COSe/乂sin。>Ofjsin=,cos=,sin÷cos=l10tan。10所以sin6+8s6=.5故选:A【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧:(1)巧用力”进行变形,如I=Sin2。+8$%=tancot=tan45'等.(2)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取.题型二:已知tana的值,求关于Sina、COS。的齐次式的值问题例4.(2022全国高一课时练习)已知tana=2,则生;竺竺里=()Cosar-SinaA.-4B.-C.-1D.-23【答案】C.,2sina+cosa2tana+1-4+11【解析】:="=7,cosQf-Sinflf1-tana1-(-2)故选:C.例5.(2022全国高一课时练习)若tan<9=-2,则she+2sin%os6-cos26的值是()A.B.-C.D.5555【答案】A【解析】因为tan6=-2,所以sin?+2sincos-cos2_sin2<9+2sincos-cos2sin2+cos2tan2+2tan-(-2)+2x(-2)-11tan2+l(-2)2+15'故选:A例6,(2022全国高一课时练习)已知tan®=:,则一/"SHIe=()2cos3+sin<9cos2C.D. 6A.IB.2【答案】A【解析】因为tan。=;忆、Isin3+sin所以一7-COS-+sincos-sin3+sin(sin2÷cos2cos3+sincos2_2sin3+sincos2cos3+sincos2_2tan'e+lan01 ÷tan-2 - 3-4-3-2故选:A变式6.(2022四川德阳五中高一阶段练习)若函数HX)=Iog.(x+3)7(4>0mn1)的图象经过定点尸,且点尸在角。的终边上,则Sine-CoSe4sin6 + cos9【答案】A【解析】对于函数"x)=Iogx+3)7(>0MWl),令x+3=l,解得=-2,所以/(一2)=1Ogal-1=一1,所以函数恒过定点网一2,-1),又点尸在角6的终边上,所以tan0=g,,Sine-COSetan-1弓一1所以=4sin6+cos64tan+l4v1164X1-12故选:A变式7.(2022.云南德宏.高一期末)若si,"=。="则3。=()Slna-COSa2D.3【答案】BsinaCOSar疑柘】由Sina+coSa_1COSjCOSa_1-Iana+1_1-=>tana=2-3,Sina-Cosa2sinacosa2tana-1cosacosa故选:B变式8.(2022辽宁凌源市实验中学高一阶段练习)已知tan。=3,则COS28+cos6sine=()l+3R3+3r6AB.C-225D.56【答案】C【解析】因为tan6=T112+一1,cos"。+SineCOSe1+tan?6JWf.一一=,=乙=sin2+cos20l+tan21z125l+()故选:C.变式9(2022陕西汉中倜期中)己知tan=2,三3sin2J2cog2a=()A.-B.-C.J332D.一2【答案】C解析由题串得1_Siira+cos,。_tan'a+_1LJ11TVIJrJ?2-22一3sina-2cosa3sin*-2cosa3tan2a-22故选:C.变式10.(2022江西赣州市赣县第三中学高一阶段练习)已知UInx=2,贝USinXCoSX+1=()2 7CA.-B.-C.2D.355【答案】Bra,j.r.-.,sinXCos,tan%.2,7【解析】sinxcosx+l=;-+1=;-+1=-+1=-.snx+cosxtanx+l55故选:B.【方法技巧与总结】减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及Sina、COSa的齐次分式问题,常采用分子分母同除以8s"a("ND,这样可以将被求式化为关于tana的式子,从而完成被求式的求值;在求形如45出2。+加皿08$0+<?8520的值,注意将分母的1化为SiYa+COSa=I代入,转化为关于tana的表达式后再求值.题型三:Sina±cosa与SinaCoSa关系的应用例7,(2022全国高一课时练习)已知r<x<0,sinx+cosx=,Wsinx-cosx=7【答案】【解析】(sinx+cosx) =241+2SinXCoSX=,解得2sinxcosx=2525因为一万<x<0,2sinxcosx<0.所以一,vx<0.249所以(SinX-CoSX)-=l-2sinXCOSX=-,Xsinx-cosx<0,所以SinX-COSX=-.7故答案为:例8.(2022全国高一课时练习)已知sine-cos6=g,则si,一cos”=【答案燃Iv913【解析】因为Sine-COSe=,平方得(Sine-Cos9),=,所以sin6cos6=一,248所以si

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