5.2三角函数的概念（解析版）.docx

5.2三角函数的概念3w»，薇”生义“仇"&利用a<务混上检系念A在立<Att<C<<“仅JLf工船（ia&&限*4一枳JL公K-A规JLQ)，妁定义*左昭女»机鱼司£0工我息4*上A仇£利QMaWa*金蚓泉*左，贝京慎8注豆，q司*，灰化W女A仅豆励利电同wa晶鱼的泉，基,我证”知识点1:三角函数的定义苫国觥联.理1.知识点三角函数的定义三角函数的定义定义：设a是一个任意角，R,它的终边OP与单位圆交于P（Xy）,（1）把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作Sin,即y=sina；（2）把点P的横坐标X叫做的余弦函数，记作CoSa,即X=CoSa；（3）把点P的纵坐标与横坐标的比值上叫做。的正切，记作tana,即）=tana（x。）.正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：JT正弦函数：y=snx,XWR；余弦函数：y=cosx,XWR；正切函数：y=tanx9x-k（keZ【微点拨】1.三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小与点PCr,y）在终边上的位置无关，只由角。的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关.2 .知识点利用角的终边上任意一点坐标定义三角函数设角1终边上任意一点P（原点除外）的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r并且r=yf+卜,则SinyXya=,cosa=,tana=（x0）.rrX3 .知识点三角函数的定义域结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域在函数自变量取弧度制时有下表：三角函数定义域SinaRCosaRTana兀<aagR,且。+k,kwZ.注意:单位圆上x,y的取值范围是-1,1,根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域为-1,1.4 .知识点三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限内的符号Yi+卜+y卜+y卜+0X0X0X+sinacosatana上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.苫对青帮裙【经典剖析1】已知角。的始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点?(5/2),则COSa=()a5CI25n12A.B.C.D.13131313【答案】C【分析】根据三角函数的定义，可直接求解.【详解】根据三角韩的定义，角的终边经过点尸(5,12),疗苗=13,所以cosa=；=.故选：C【经典剖析2】在平面直角坐标系中，若角的终边经过点网-61)，则Sina=()A.-近B.IC.-D.立【答案】B【分析】利用三角函数的定义可求得Sina的值.【详解】由三角函数的定义可得Sma=不可丁=5.故选：B.【经典剖析3】已知SinaV(Uana>0,则角。可以为第()象限角A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据象限角三角函数值的符号确定.【详解】sin<0,则。的终边在X边下方，tana>0,。是第一象限或第三象限角，综上，。是第三象限角.故选：C.【经典剖析4】点4x,y）是一300角终边与单位圆的交点，则上的值为（）XA.3B.-3C.巫D.-B33【答案】A【分析】根据三角函数的定义得q=tan（-300）,再利用终边相同的角即可得出结论.【详解】由题意得?=tan（-300）=tan（-300+360）=tan60=。，故选：A.【经典剖析5】已知点尸（5皿一30。）,85（30。）在角。的终边上,且6280）,则角。的大小为（）a乃C2乃C?冗h4%A.B.C.D.3333【答案】D【分析】结合特殊角的三角函数值，求出点P的坐标，进而根据三角函数的定义即可求出结果.正【详解】因为P（Sin（30。），cos（-30。），所以PT,亭），所以是第二象限角，11.tan<9=-3,24TT又。£2冗，0）,所以6=-故选：D.【经典剖析6】已知点P（tan,sina）在第三象限，则角a在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】Dtana<0,八，进而根据三角函数值的符号判断角所在的象限即可.sma<0tana<0SEa<0，二。在第四象限故选：D.【经典剖析7】已知角Q的终边经过点（-8,-6）,则COSa的值为（）3443A.B.-C.一一D.一一4355【答案】Cx_84【解析】由题设知产-8,y=-6,所以Jg+6?=10,所以COSa=-=F=-=，故选C.r105【名师点睛】利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标X,纵坐标y,该点到原点的距离二若题目中已知角的终边在条直线上，此时注意“在终边上任取一点“应分两种情况（点所在象限不同）进行分析.【经典剖析8】已知角的终边过点P(5,a),且Iana=一1，则Sina+cos"的值为.7【答案】一卷【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】由三角函数的定义得，tan”=1=-，a=-12,JP(5,-12).这时r=13,12577sin=,cosa=,从而Sina+cos=.故答案为：13131313【经典剖析9】若角。的终边经过点P(5,T2),则Sina=,COSa=,tan=.12512【答案】一百WT【分析】根据=5,y=T2,得到“42+(-12)2=13,然后利用三角函数定义求解.【详解】因为x=5,y=-12,所以r=15?+(-12)2=13,则Sina=2=一2，CoSa=2=,tan=2=-.Yr13r13x5小田12512答杀:'TiTiT【经典剖析10(多选)给出下列各三角函数值，其中符号为负的是()A.sin(-100o)B.cos(-220o)C.tan(-10)D.cosO【答案】ABC【分析】判断角所在的象限，再由三角函数的各象限的符号判断可得选项.【详解】解：因为100。角是第三象限角,所以SinGIO0。)<0；因为220。角是第二象限角,所以cos(-2200)<0;7因为-IOW(-5肛一3外，所以-10是第二象限角，所以um(-l)v;CoSO=I>0.故选：ABC.【经典剖析11】确定下列各式的符号：(1)sin103os220°；(2)cos6otan6.【答案】(1)负号；(2)负号.【解析】(1)因为103。、220。分别是第二、第三象限的角，所以SinIo3。>0,cos220。<0,所以SinlO30cos3%220°<0：(2)因为一<6<2,所以6是第四象限的角，所以cos6>0,tan6v,所以COS6tan6<0.企养一反三a4【例题1】角的终边经过点P(W,4),且CoSa=-不，则tan。的值为_-鼻【分析】由已知中已知角的终边经过点P(九4),且8sa=-,根据三角函数的定义确定用的符号，并构造关于m的方程，解方程即可求出满足条件的m的值，进而利用任意角的三角函数的定义即可求解.【解答】解：,coSa=-IVO,为第象限或第HI象限的角，乂由角的终边经过点P(?,4),故。为第象限的角，即7v0,则CoSa=-。=2，解得zm=-3,或/=3(舍去)，所以tana=2=-9.故答案为：-士.-333【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的定义确定小的符号，并构造关于m的方程，是解答本题的关键，属于基础题.【例题2】(2022荥阳市开学)已知点P(-2,y)是角6终边上一点，且sin。=-乎，则y=_T_.【分析】由己知结合三角函数的定义即可求解.【解答】解：因为点P(2,y)是角。终边上点，且Sine=-挛=T=<05J4+V解得y=-4.故答案为：-4.【点评】本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题.【例题3】(2022春遵义期末)cosl35°=_-_.【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解.【解答】解：cos135o=cos(l80°-45o)=-cos45°=-.故答案为：-立.22【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题.【例题4】已知角a的终边上有一点P(见退)，且cos。=正竺，则实数%取值为0或土有.4【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.【解答】解：角a的终边上有点尸(皿6),且COSa=也坐，4,cosa=/="m,解得帆=。或土石.故答案为：0或土有.2+(3)24【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.【例题5】已知角，顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点P(3,l),则Sine=【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果.【解答】解：角6顶点在坐标原点,始边与X轴非负半轴重合，终边过点P(3,l),.sin6>=-4=->故答案为：.9+l1010【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.4【例题6】设v,角的终边经过点P(%,4),那么Sina=【分析】由己知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【解答】解：设v,角的终边经过点P(-%,4),所以Sina=,:=_=_1(-3)2+(4)255故答案为：-3.5【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题.【例题7】已知角a的终边过点P(T,2),则tana的值为2_.【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，可得结论.【解答】解：.角a的终边过点P(-l,2),.tana=2=-2,故答案为：2.-1【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.【例题8】已知角a的终边经过点P(m,3),且Sina=g,贝Jm=_±4_.【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得结果.【解答】解：角a的终边经过点P(肛3),且Sina=°=/3,则zw=±4,故答案为：±4.5n2+9【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.【例题9】若点P(2?，一<0)在角a的终边上，则Sina=_>【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【解答】解：因为点P(2m,-3M(m<0)在角a的终边上，则Sina=/-=不婆=噂(2m)2+(-3m)213w213故答案为：主叵.13【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义在三角函数求值中的应用，属于基础题.【例题10】若点P(T2)在角的终边上，则tan6=_-2_.【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得tan。的值.【