5.1.2弧度制导学案.docx
导学案【学习目标】1 .了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2 .理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)3 .了解“角度制"与"弧度制”的区别与联系.(易错点)【自主学习】一.度量角的两种单位制1 .角度制：(1)定义：用作为单位来度量角的单位制.(2)1度的角：周角的.【答案】度2 .弧度制：(1)定义：以作为单位来度量角的单位制.(2)1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角.【答案】弧度半径长3 .弧度数一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个一，零角的弧度数是一如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为/,那么，角的弧度数的绝对值是Ial=这里，Q的正负由角。的终边的旋转方向决定.【答案】正数负数O:4.弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°=rad2rad=180°=radrad=l0-1rad0.01745rad1oUIQA1rad=(一)o57.30o【答案】2360°180°5.一些特殊角与弧度数的对应关系度O030°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度064322T3T563T2角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起的关系：每一个角都有的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图.【答案】一一对应唯一唯一二.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为/,(0VV2)为其圆心角，则1 .弧长公式：I=.2 .扇形面积公式：S=.【答案】aRlRaR2注意：(l)为弧度制.(2)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：/12S=r,=;,r=而；S=那|户，IaI=产【当堂达标基础练】1 .按照下列要求，把67。30'化成弧度：精确值；(2)精确到0.001的近似值.解：因为67°30'=(号)。，所以67°30'=竽XWrQd=qrad.ZZIou8利用计算器可得：67o30,1.178rad.2 .将3.14rad换算成角度(用度数表示，精确到0.001).解:利用计算器可得：3.14rad179.909°.3 .利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1)/=aR；(2)S=口R23)s二夕旦其中R是圆的半径，(0VV2r)为圆心角，?是扇形的弧长，S是扇形的面积.证明：由公式Ial=j可得：I=R下面证明(2)(3).半径为R,圆心角为几。的扇形的弧长公式和面积公式分别是：'=罂，S=寓,将九°转换为弧度制，得：=器，于是，S=aR2.将=R代入上式，即得S=?R.6、用弧度表示：(1)终边在X轴的角的集合(2)终边在y轴的角的集合解：(V)aa=k9keZ);7.利用计算工具比较下列各对值的大小：°和cosO.75；°和tanl.2.解：(1)cos0.7501.000,cosO.750.732,/.cos0.75°>cos0.75&.分别用角度制，弧度制下的弧长公式计算半径为Icm的圆中,60。的圆心角对对弧的长度。9.已知半径为120mm的圆上，有一条弧长为144mm,求该弧所对圆心的弧度数和角度数。【当堂达标提升练】一、单选题1 .1920°转化为弧度数为（）【解析】1 920o =5 × 360°÷120o=(5×2+)rad=rad.16at32bt1632c.-33【答案】D42 .在。到2n范围内，与角一丁终边相同的角是（）avb2冗4C."-D.-OO【答案】C【解析】与角一不终边相同的角是2A+（一旬，MZ,令k=l,可得与角一亍终边相同的角是亍,故选C.3 .下列表示中不正确的是（）A.终边在X轴上角的集合是。AZ!B.终边在y轴上角的集合是卜a=1"+%”，AZC.终边在坐标轴上角的集合是。a=k*，AeZD.终边在直线尸X上角的集合是%，AZ>【答案】D【解析】对于A,终边在X轴上角的集合是="n,左Z,故A正确；对于B,终边在y轴上的角的集合是:<7=y÷A,Az,故B正确；对于C,终边在'轴上的角的集合为Ia=mAZ,终边在y轴上的角的集合为,ao=-+A,AZr,故合在一起即为0a=k,4ZUja=+An,AZr=JaZl,故C正确；对于D,终边在直线y=x上的角的集合是。=宁+丸，*Z故D不正确.4 .若J二-5,则角J的终边所在的象限是（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【答案】D【解析】因为-20V-5V费L,所以。是第一象限角.5 .己知扇形的弧长是4cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1B.2C.4D.1或4【答案】C【解析】因为扇形的弧长为4,面积为2,所以扇形的面积为;X4Xr=2,解得r=l,4则扇形的圆心角的弧度数为1=4.故选C.二、多选题6 .己知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】AD【分析】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.2r+=6,（r=2,【详解】设扇形的半径为，弧长为/,则1,C解得，；或，Tr=2,1=41=2,12又圆心角=,所以a=4或=l,r故选：AD.7 .中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为R,其圆心角为凡圆面中剩余部分的面积为S2,当Sl与邑的比值为史二！时，扇2面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：52.236）（）S1A=S22-8 .若5l=;,扇形的半径R=3,则，=2万C.若扇面为“美观扇面”，PW138D.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20,则此时的扇形面积为200（3-6）【答案】ACS°I【分析】首先确定与,S?所在扇形的圆心角，结合用形面积公式可确定A正确；由不L=H=K可求得8,2L-UZ代入扇形面积公式可知B错误；由学=7rJ=即可求得。，知C正确；由扇形面积公式可直接判S22冗一2断出D错误.【详解】对于A,，与S?所在扇形的圆心角分别为。，2-0,12A正确;,S产.。S?L(2-r2对于B,今=V=I,-6=4，R2=:x"x9=3万，B错误；S22-23223对于C,q=.6=(3-6)乃，.e(3-2.236)x180l38,C正确;对于D,S1=¼?2=(3->)-×400=200(3-5),D错误.故选：AC.8 .己知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的弧度数可能是（）A.1B.4C.2D.3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为L弧长为/,面积为S,圆心角为则/+2r=12,5=r=8,解得r=2,/=8或r=4,/=4,则='=4或1.故C,D错误.r故选:AB.9 .sin2（）A.是正数B.是负数C.大于cos2D.大于tan2【答案】ACD【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.【详解】由于<2<,故2弧度的角是第二象限角，则sin2>0,故A正确，B错误；cos2<0,tan2<O,½sin2>cos2,sin2>tan2,C,D正确;故选：ACD三、填空题10 .在中，若/1：8：仁3：5：7,则角4B,C的弧度数分别为.7【答案】A=,B=,C=【解析】因为力+8+C=n,又力：B：=3：5：7,3_5_1-所以'=3+5+7=M'"=3+5+7=T6lF11 .用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为.【答案】O-y+2A<0<-+2kfAZ【解析】y轴对应的角可用一方，方表示，所以y轴右侧角的集合为Ji0-y+2<<y+2A,AZ512 .已知扇形如方的圆心角为,Ji,周长为5北+14,则扇形力8的面积为.华、35【答案】【解析】设扇形的半径为r,圆心角物无，5/.弧长7=Hr,5.扇形的周长为5兀+14,z11r÷2r=5÷14,151535Jt解得r=7,由扇形的面积公式得=5X7n×？=2××49=四、解答题13 .已知角a=2010°.(1)将改写成1+2)UaZ,0WSV2D)的形式，并指出。是第几象限的角;(2)在区间-5”,0)上找出与。终边相同的角.r677解(1)2OlO0=2010×-=-=5×2+,IoU_73又VWVF-，OZa与索终边相同，是第三象限的角.(2)与a终边相同的角可以写成y=+2AZ),O又一5W<0,29,当女=-3时，X=-T-H；O17当”=-2时，y=一；O5当=-1时，r=-.O14 .已知半径为10的圆。中，弦力的长为10.(1)求弦/切所对的圆心角。的大小；(2)求a所在的扇形的弧长/及弧所在的弓形的面积S解由。0的半径r=10=仍知/如是等边三角形，=N4如=60°=rad.(2)由(1)可知a=Trad,r=10,弧长1= ar=-× 10=JIOjTXlO=50 而SzaS=T4B53=×10×53=253,*S=S康彩-Su浙=2515 .如图，点4优。是圆。上的点.JT(1)若A=4,ZACB=,求劣弧AB的长；6(2)已知扇形AOB的周长为8,求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.【答案】(DT(2)2【分析】(1)由圆心角为?可知AAoB为等边三角形，由扇形弧长公式可求得第果；(2)设圆。的半径为，扇形AOB的弧长为/,圆心角为。，可知2厂+/=8；方法一：由S=:",利用基本不等式可知当2r=4时，S取得最大值，由=,可求得结果；方法二：由S=:/",将S表小成关于/的二次函数的形式，根据二次函数性质可确定最大值点，由此可得由=,可求得结果.r【详解】(1)/ACB=J,.NAO5=2ZAC8=g,又04=08,.工4。8为等边三角形，.OA=AB=4,则劣弧AB的长为。0A=子.(2)设圆。的半径为，扇形AOB的弧长为/,圆心角为。
