4.2.1等差数列的概念（八大题型）.docx

4.2.1等差数列的概念【题型归纳目录】题型一：等差数列的判断题型二：等差数列的通项公式及其应用题型三：等差数列的证明题型四：等差中项及应用题型五：等差数列的实际应用题型六：an=am+(-?)"的应用题型七：等差数列性质的应用题型八：等差数列中对称设项法的应用【知识点梳理】知识点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.知识点诠释：公差4一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求：共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d(即公差)；符号语言形式对于数列4,若4-*=d("N',n2,d为常数)或生+-q=d("N*,d为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差.知识点诠释：定义中要求“同一个常数d”，必须与无关.等差中项如果,A,6成等差数列，那么A叫做。与人的等差中项，即A=色3.2知识点诠释：两个数的等差中项就是两个数的算术平均数.任意两实数,。的等差中项存在且唯一.三个数,A,人成等差数列的充要条件是A=T.2知识点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为4,公差为d的等差数列的通项公式为：an=al+(n-l)d,nwN推导过程：(1)归纳法：根据等差数列定义q,-4d=d可得：afl=%+d,所以4=4+d=q+(2-1)4,03=q2+d=(4+d)+d=a1+2d=4+(3-l)d,q=6+d=(4+2d)+d=4+3d=4+(4l)d,当=1时，上式也成立所以归纳得出等差数列的通项公式为：凡=4+(-1)4(2)叠加法：根据等差数列定义为-4=d,有：a2=d，a3-a2=d,a4-a3=d，把这-1个等式的左边与右边分别相加(叠加)，并化简得q,-q=5-l)d,所以q=4+(-IM.(3)迭代法：所以q=4+(-l)d.知识点诠释：通项公式由首项4和公差d完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了.通项公式中共涉及4、d、勺四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等差数列通项公式的推广已知等差数列”)中，第m项为勺，公差为d，则。“=4"+5-m)d.证明：因为=a1+(一l)d,am=ai+(m-V)d所以4-am=ax+(n-)d-a+(n-)d=(n-ni)d所以%=am+(w-tri)d由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式.%=q+(-Dd可以看成是W=I时的特殊情况.知识点三、等差数列的性质等差数列中，公差为d,则若2,p，4,且机+"=p+q,则品+%=。+%，特别地，当?+=2p时4+。=2%,.下标成公差为，的等差数列的项唳，4.2m，组成的新数列仍为等差数列，公差为以.若数列出也为等差数列，则仇±4,kan±b,（k,b为非零常数）也是等差数列.®ay+a2+03,a4+a5+a6,a1+a8+a9,仍是等差数列.数列伊凡+斗（4b为非零常数）也是等差数列.【方法技巧与总结】等差数列中对称设项法的应用1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a-d,a+d,公差为2d；2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a-d,a+d,公差为d;3、四个数成等差数列且知其和，常设成a%,ad,a+df+3d,公差为2d.【典型例题】题型一：等差数列的判断例1（2023高二课时练习）已知数列q是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（）%。"+-34+lM1A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】设%的公差为d,对于,a2（11+l）a2n2n+2a2nM»%,是等差数列，故正确；对于，（q+4,+J-（+q）=rt+-4=R,。“+。同是等差数列，故正确；对于，34+1-（3*+1）=3（4-%）=3",3+l是等差数列，故正确；对于，若4二-5,则|=|一5|不是等差数列，故错误；故选：C.例2.（2023湖北孝感高二校联考期末）设7；是数列4的前项积，则”,=3"”是“q是等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若北=3",则q=3：当2时，q=?=条=3.所以，对任意的N,可=3,则q=0,此时，数列q是等差数列，故U=3"”能得出”4是等差数列”;若”4是等差数列“，不妨设q=，则7；=3”，即”4是等差数列''不能得出"骞=3”.所以Z=3。”是“凡是等差数列,的充分不必要条件故选：A.例3.(2023重庆高二统考学业考试)下列数列中等差数列的是()A.an=3w+lB.an=3d+1C.an=log2n+l【答案】A【解析】对于A,向-4=3,相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，-q=3"-3"=2x3"，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C,art+1-«n=Iog2(+1)-log2«=Iog2,相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A变式L(2023广东惠州高二统考期末)在数列q中，若(/2,旷,为常数)，则称凡为“等方差数列“，下列是对“等方差数歹广的判断：若应是等方差数列，则忖是等差数列；卜-1)”不是等方差数列；若也是等方差数列，则%(&eN,&为常数)也是等方差数列；若%既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为()A.®B.C.©D.©【答案】A【解析】6是等方差数列，片-3=p(。为常数)得到d为首项是Y，公差为P的等差数列；故正确数列(一1)"中，d-3=(T)吁-(T)12=O,所以(-1)”是等方差数列；故不正确因为4是等方差数列，所以嫌+1-嫌=嫌+2-成+1=÷i)-+ih=P*把以上的等式相加，得(+l-)+(+2-<÷l)+()-d")T)=S，d(E-项=切，即数列%是等方差数列,故正确；q是等差数列，则设/=加+加，4是等方差数列，“：一4Ll=(a“+a“_Jd=(dn+m+c仇-d+m)d=ZFn+Qmd)d足常数,故土=。，故d=O,所以(2加一d)d=O,。；一。3=0是常数，故正确.二.正确命题的是®,故选：A变式2.（2023高二课时练习）给出下列四个命题：公比4>1的等比数列是严格递增数列；数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数；在平面直角坐标系中，表示数列的图象是一些离散的点；数列2n是等差数列.其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】对于，对于数列氏=-2"，夕=2时，有q=-2,a2=-4<al,故错误；对于，对于数列1,2,3,4,5,该数列的定义域为123,4,5,故错误；对于，由数列的概念可知，数列可以看作是函数，该函数的定义域是正整数集或其子集，所以表示数列的图象是一些离散的点，故正确；对于，因为Ig2"=lg2,所以，电2向-怆2”=怆2是常数，故正确.故选：B.变式3.（2023陕西成阳高二统考期中）若数列qj为等差数列，则下列说法中错误的是（）A.数列2q,2a2t2a3t2%为等差数列B.数列的，%，。6，生”，为等差数列C.数列见4+J为等差数列D.数歹1q+勺川为等差数列【答案】C【解析】A选项：因为”为等差数列，所以设为-=d（d为常数），又2an-2a=2（an-an,x）=2d,所以数列2q也为等差数列，故A正确；B选项：a2n-a2n_2=2d,所以数列%,为等差数列，故B正确；C选项：allan-aan=2dani不是常数，故,用不是等差数列，故C错；D选项：%+%-（%+2d,所以数列q+4川为等差数列，故D正确.故选：C.【方法技巧与总结】对于数列%,若att-a,.1=d（zzN*,n2,d为常数）或«N",d为常数），则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差.题型二，等差数列的通项公式及其应用例4.（2023甘肃酒泉.高二敦煌中学校联考期中）己知等差数列,中，4=-L4=8,则公差d=（）A.4B.3C.-4D.-3【答案】B【解析】在等差数列4中,%=Tl=8,所以有T+3d=8nd=3.故选：B例5.(2023全国高二随堂练习)已知数列“前项和为S,="+(1)试写出数列凡的前5项；(2)数列“是等差数列吗？(3)你能写出数列.的通项公式吗？【解析】(D由S*=/?+1得=S=2,a2=S2-S1=5-2=3,a3=S3-S2=10-5=5,4=S4-S3=17-10=7,%=Sii-S4=2617=9,所以4=2,4=3,%=5,4=7,%=9.(2)由(I)知4-4=1工七一生=2,所以数列4不是等差数列.(3)当=1时，,=51=2;当2时，an=Sn-Sn_t=w2+1(wI)2+1=2/t1；2,«=1综上勺=.2n-,n2例6.(2023全国高二随堂练习)(1)求等差数列8,5,2,的第20项；(2)TOl是否为等差数列-5,-9,-13,的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由.【解析】(I)可以得至U公差d=5-8=-3,故第20项为83x(201)=T9(2)可以得到公差4=-9-(-5)=Y,故通项公式为q=-54(-1)=T-1,令T-1=-401,解得=I(X),故Tol是等差数列_5,-9,-13,的第100项.变式4.(2023高二课时练习)己知等差数列8,5,2,.(1)求该数列的第20项.(2)试问-121是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由.(3)该数列共有多少项位于区间卜200,0内？【解析】(1)记该等差数列为“,公差为d,由4=8,d=5-S=-3,得数列的通项公式是4=8-3(-1)=一3+11.该数列的第20项的)=-3x20+11=-49.(2)由第一问，牝=-3+11,如果T21是这个数列的项，则方程-3+11=-121有正整数解.解这个方程，得=44,故-121是该等差数列的第44项.(3)由第一问，m=-3i+11,解不等式2(X)3+11O»得n§-因此，该数列位于区间卜200,0内的项从第4项起直至第70项，共有67项.变式5.(2023全国高二专题练习)已知数列6,的前项和为S”，且可>0,48=4+2勺.求数歹式。”的通项公