4-2导数的应用-2024.docx

4.2导数的应用基础篇考点一导数与函数的单调性考向一求函数的单调区间1.(2022长沙明达中学入学考,7)已知函数/(x)=xlnx,则/U)()A.在(0,+8)上单调递增B.在(0,+8)上单调递减C.在(0,3上单调递增D.在(0,J上单调递减答案D2. (2022山东烟台莱州一中开学考,3)函数f(x)=-2lnxx9的单调递增区间是()A.(0,+)B.(-3,1)C.(l,÷)D.(0,1)答案D3. (2022河北衡水中学模拟，15)已知一元二次不等式加+b+c>O的解集为U-l<x<5,则函数/V)%3+，/+以的单调递增区间为.答案(-1,5)4. (2023届哈尔滨师大附中月考，17)设函数/(工)=111(1+0¥)+区,且(%)习6：)-加.(1)若a=ih=-t求函数/G)的单调区间；若曲线y=g(x)在点(1,In3)处的切线与直线1lx-3=0平行,求,b的值.解析(1)由题意知/(x)=In(I+x)-x,定义域为(-1,+),求导得/'(x)=A-1=搭，令/(X)=O,得户0,当14<0时,1(x)>0,当Qo时JQ)<0,所以/Cr)的单调递增区间为(1,0),单调递减区间为(0,÷oo).(2)g(x)=f(x)-br=n(1+ax)+bx-bx2,求导得g'(x)=-jfb-,2bxt因为曲线产g(x)在点(Ijn3)处的切线与直线IN3产。平行,所以g<l)=E+b-2b=-y,(1)=In(1+a)+h-h=n3,解得a=2fh=-3.5. (2022福建泉州质量监测二，17)已知函数G)=xsinX的图象在点(Oj(O)处的切线方程为y=-x.求。；求在0,2冗上的单调区间.解析(1)对/(x)=x-sinX求导得/(X)=I-acosx,则,(0)=l-acos0=1-,根据f(x)=X-tzsinX的图象在(OJ(O)处的切线方程为y=-x,有l-=-l,解得a=2.(2)由可得,(x)=l-2cosx在区间0,2冗上，由f(x)=0,解得X=T或=y.当()4竹或MV2时Jq)<0,则/(x)单调递减；当TV%V曰时J'()>,则单调递增.综上可得J(X)的单调递减区间为(,旨2n,单调递增区间为停号).考向二利用单调性比较大小、解不等式1. (2023届江苏南京、镇江学情调查,7)设函数/(X)=-SinX+ln(jKI+x)+x,则满足/(x)4(3-2x)<0的X的取值范围是()A.(3,+oo)B.(1,+)C.(-oo,3)D.(-oo,1)答案A2. (2021湖南郴州质检三,8)已知a=41n3,Z?=31n4,c-41n3,则aih,c的大小关系是()A.c<b<aB.h<c<aC.h<a<cD.a<b<c答案B3. (2022河北邯郸二模,8)已知函数/(x)=(X-I)Inx,且白弓(|)，加戏)，c=(V?),则()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a答案B4.(2022全国甲文，12,5分)已知9,=1(),a=W,-,b=S,-9t则()A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a答案A5. (2022广东汕头一模,5)已知斫乎,b=ic#,则以下不等式正确的是()2e5K.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a答案C6. (2023届广东六校联考，16)若不等式(x+l)eZr<0有且仅有一个正整数解,则实数的取值范围是.答案)考点二导数与函数的极(最)值1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考，11)设。WO,若x=4为函数"1)R(、/261)的极小值点,则(A.4<lB.4>lC.a<a2D.a>a2答案C2. (2022海南海口四中期中，14)若函数/(x)=-+r-4在x=2处取得极值,则a=_.答案33. (2022沈阳三十一中月考，13)写出一个同时满足下列要求的函数/(x)=一(功的表达式中至少含有e'x("N*)InX中的两个;存在一个极值点x=3.答案宗或e'(x-4)(答案不唯一)4. (2021新高考/,15,5分)函数/(1)=|2片1卜2瓜工的最小值为.答案15. (2023届重庆八中入学考，18)已知函数/(x)=ax+b+cosx(afZ>R),若曲线/Cr)在点(OJ(O)处的切线方程为卢夕+2.求f(x)的解析式；求函数/(x)在0,2冗上的值域.解析(1)因为/(功=0¥+匕+85%(。,/，所以/G)=-sin,f(°)=b+cosO=2,(b+1=2,11由题意得.n1即J1所以a=6=1,则/(x)=+l+cosx.广(O)=Q-SmO=&,(a=-,2j2(2)由(1)得f(x)=x+1+cosx,f,(x)=-sin%,由广(X)20且x0,2可得(Xw或詈f式，函数/(x)在区间。用和片,2上单调递增，由*<0且x0,2兀可得VxV当函数g)在区间停泮)上单调递减;因此当W时,函数取得极大值段)=TXHl+COS3=1+工+今当L金时,函数取得极小值/(第=TX詈+1+cos"=1+工一冬又/(0)=2,/(2)=×2+l+cos2=1+1=2+,1+瑞一苧V2V1+"+曰<2+冗，所以函数/在0,2冗上的最大值为2+“，最小值为1+所以f(x)在0,2兀上的值域为1+-日,2+j.6. (2022河北衡水中学模拟一,21)已知函数/(x)=In吟(1)若>(),证明:/在定义域内是增函数；若/(x)在口,e上的最小值为|,求a的值.解析证明：由题意知/O的定义域为(o,+8)j'(x)W+爰=誓.必)，广>o,故/(x)在(0,+8)上是增函数.由可知JG)=詈.若。2-1,则x+20,即/'(x)20在l,e上恒成立,此时/(x)在1,e上为增函数，V)min=/=-,=卷(舍去)；若a-e,则x+a0,即/(x)WO在1,e上恒成立,此时/(x)在口，e上为减函数，V(x)min=,(e)=l-=|,.=q(舍去);若e7<-1,令/'(x)=0,得x=-at当-a<x<e时/(x)>0,/./G)在(Ue)上为增函数，当14<。时Jq)<0,."tv)在(1,加上为减函数，/./(x)min=()=In(-)+1=,/.a=-ye.综上所述,a=-ye.7. (2020北京，19,15分)已知函数/(x)=12-f.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于2的切线方程；设曲线产ZG)在点(r,/(r)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为SS,求S的最小值.解析由/(x)=12-2得/G)=-2x.(1)令f,(W)=-2,即-2xo=2,得Xo=1.又因为凡珀可=11,所以切点为(1,11).故所求的切线方程为y-ll=-2(x-l),即y=-2x+13.(2)由题设知f0,根据对称性，只需考虑/X)的情形.曲线y=f(x)在点(rJS)处的切线方程为y=2-t1-2t(x-t).切线与x轴的交点是0+KO)与)，轴的交点是(0,12+*).所以切线与坐标轴围成的三角形面积为Sa)=KI+B(12+r2)WG3+24t+爷因此5,(z)=i(3t2+24-詈)=*(r2-4)G2+12).令S,M=0,即(t2-4)(2+12)=0,得Z=-2(),=2.因为当r(0,2)时,SoVO,SM单调递减；当r(2,+oo)时,S,>O,SS单调递增，所以S的最小值为S(2)=32.综合篇考法一利用导数研究函数的单调性考向一含参函数的单调性问题1. (2023届福建部分名校联考,21)已知函数/(x)=+x2(1)讨论八x)的单调性；(2)若/(x)20恒成立,求a的取值范围.解析(1)因为G)=aex+x-2=x-2,所以广(工)=三券若WO,则尸(x)>0恒成立；若>0,则当x(-,Ina)时J'(x)<O,当Xe(Inai+)时J'(x)>O.故当a0时Ja)的单调递增区间为(。,+8),无单调递减区间；当a>0时J(X)的单调递增区间为(In+oo),单调递减区间为(。,In加.(2)f(x)20等价于2(2x)e",令函数gG)=(2x)e,则gG)=(lx)e*,当x(-8,1)时,g<x)>O,g(x)单调递增；当x(1,+00)时,/(功<0,8(1)单调递减.则g(x)g(l)=e,故a的取值范围为e,+).2. (2022山东莱州一中开学考,21改编)已知函数/0=，(2"“小1工(江叱求函数Da)的单调区间.解析函数/(x)的定义域是(O,+8),f,x)=2x-(-2)上=(叶1)(2%一2XX(1)当0时J3>O对任意x(0,+00)恒成立，所以函数在区间(o,÷)上单调递增；(2)当。>0时，由/G)>0得心多由/G)<0得0<x<*所以函数在区间,+8)上单调递增,在区间(0,9上单调递减.综上,0时J(X)的单调增区间为(0,+00),无单调减区间;>0时J(X)的单调增区间为&+8),单调减区间为(0,53. (2022浙江舟山中学质量检测,20改编)已知函数/(x)=x2-2x+lnx,当a>0时,求函数/(x)的单调区间.解析/(x)=x1-2x+anx的定义域为(O,+),(x)=2x-2+=卒-j+Q(v>)j令/G)=0,可得2x2-2x+a=0U>0),当J=4-80,即。若吐/'Cr)20对于x(0,+8)恒成立,所以/(x)在(O,+oo)上单调递增.当=4-84>0,即0<a<1时,解2xi-2x+a=()可得X=I土'；由1G)>0可得0<上手至或XW三至，由/G)<0可得匕笋<x<山尹，所以f(x)在(0,上尹)和(上宇,+8)上单调递增,在(心分,上笠)上单调递减.综上所述,当心机寸J(X)的单调递增区间为(O,÷oo);当OV冶时Ja)的单调递增区间为(0,上竽3和(11笋,+8),单调递减区间为(上手红,笔羽)4. (2020课标文,21,12分)已知函数=2lnx+l.(1)若/V)2x+c,求c的取值范围；(2)设«>0,讨论函数g(x)J!?M的单调性.解析设(x)=f(x)-2x-ct则h(x)=21nx-2x+1-c,其定义域为(0,+oo),h,(x)=-2.当Oa<1时,"(x)>0;当Ql时,<0.所以z(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(l,+)上单调递减从而当ml时,/?取得最大值,最大值为=-l-c.故当且仅当-I-C0,即c-l时，f(x)2x+c.所以C的取值范围为-1,+00).取c=-l得力(X)=21nx-2x+2,Zl(I)=O,则由(1)知，当x1时，/?金)<0,即1-x+lnXVo.故当x g(x)x-ax-a,x