4.3等比数列（十四大题型）.docx

4.3等比数列课程标准学习目标1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2、探索并掌握等比数列的前项和公式，理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系.3、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4、体会等比数列与指数函数的关系.1、能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数歹U,并能进行简单的求值.2、能根据等比数列的定义推导等比数列的通项公式.3、掌握等比数列的通项公式的结构特征并能进行基本的运算.4、掌握等比数列的前.项和公式及公式证明思路.5、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点Ol等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（qw）,即：也二夕（夕工0）.知识点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此q可不能是0;“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；隐含条件：任一项,0且g0;“见0''是数列七成等比数列的必要非充分条件；常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为0的常数列是公比为1的等比数列；证明一个数列为等比数列，其依据也=45,0）.利用这种形式来判定，就便于操作了.an【即学即练1】（2023全国高二随堂练习）将公比为g的等比数列勾，%,%，4,依次取相邻两项的乘积组成新的数列4生，生4，4为，.此数列是（）.A.公比为4的等比数列B.公比为a?的等比数列C.公比为小的等比数列D.不一定是等比数列【答案】B【解析】设新数列为低，则因为4为等比数列，故。“工0,故2工0，而3二普产二"）故也为等比数列且公比为夕。½r-lan-an故选：B.知识点02等比中项如果三个数。、G、力成等比数列，那么称数G为。与力的等比中项.其中G=±而.知识点诠释：只有当。与。同号即必>0时，。与人才有等比中项，且。与b有两个互为相反数的等比中项.当。与匕异号或有一个为零即而0时，。与6没有等比中项.任意两个实数。与匕都有等差中项，且当。与力确定时，等差中项c=唯一.但任意两个实数。与2不一定有等比中项，且当与b有等比中项时，等比中项不唯一.当H>0时，。、G、成等比数列Og=2=G*=H=G=±5SF.aGG?=必是4、G、方成等比数列的必要不充分条件.【即学即练2】(2023广西桂林高二校考期中)已知是2和4的等差中项，正数6是-2和T的等比中项，则他等于.【答案】12【解析】因为。是2和4的等差中项，故=寄=3,正数人是-2和-8的等比中项，故b=J(-2)x(-8)=4,所以"=3x4=12,故答案为：12知识点03等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为4,公比为4的等比数列凡的通项公式为：推导过程：(I)归纳法：根据等比数列的定义区=夕可得q=an.xqn2)：an-l.%=%q="闯；3=。29=(%q)q=qq2=alq3l；%=%夕=(%q2)q=alq3=14,;当=1时，上式也成立，归纳得出：att=S5gN*,4°wO).(2)叠乘法：根据等比数列的定义区=g可得:%a2-L=q，a阻=q,%&=4，%二q，%把以上-1个等式的左边与右边分别相乘(叠乘)，并化简得：%=q"T,即4=qq"T("2)q又0也符合上式.*.a=aiqny(cN*,aiqO).(3)迭代法：.,.an=ai'gi(N*,夕H0).知识点诠释：通项公式由首项4和公比4完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定通项公式中共涉及4、q、勺四个量，己知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等比数列的通项公式的推广已知等比数列q中，第加项为(，公比为q,贝J:证明：.F=OIq1,ama,qm-l.2=VqiCC/T”仆=44由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式an=a,qn(neN*talg0)可以看成是机=1时的特殊情况12【即学即练3(2023全国高二专题练习)已知数列q的前项和S*=；%+',则可的通项公式A.【答案】C12【解析】令=1,则q=：%+：,解得4=1,1212时,5,j-1=-_|+»则4=S一Sa=%“一>"一,即凡=-g%,“2,所以数列4是以1为首项，-g为公比的等比数列,故选：C.知识点04等比数列的性质设等比数列4的公比为g若m,”,p,geM,B,m+n=p+qt则4”，。”=%外，特别地，当m+=2p时/H=*.下标成等差数列且公差为”的项4，/flr,4.2Wr，组成的新数列仍为等比数列，公比为若，“是项数相同的等比数列，则也、E、她（%是常数且&*0）、'、叫（meM,n”是常数）、凡“、M也是等比数列；n连续k项和（不为零）仍是等比数列.即品，S-Sk,-S”，成等比数列.【即学即练4（2023广西钦州高二钦州一中校考期中）在等比数列qj中，若。3、%是方程x2+5x+3=0的两根，则外的值是.【答案】-3【解析】对于方程X2+5x+3=0，=52-4×3>0>设等比数列q的公比为9,则&0,即心、卬同号，a3由韦达定理可得“必=3则、%均为负数，l=>0,/.7<0,&+%=-5a3由等比中项的性质可得W=a3a11=3,.a1=-3.故答案为：-石.知识点05等比数列中的函数关系等比数列6中，若设C=色，则：an=cqnqq(1)当g=l时，alt=c,等比数列%是非零常数列.它的图象是在直线y=C上均匀排列的-群孤立的点.(2)当夕>0旦夕Kl时，等比数列%的通项公式=c'是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线y="f(9>0且夕Hl)上的一些孤立的点.q当4>1且>0时，等比数列an是递增数列；当q>l且“<0时，等比数列q是递减数列；当0<qvl且4>0时，等比数列勺是递减数列；当O<qvl且4<0时，等比数列an是递增数列.(3)当q<0时，等比数列q是摆动数列.知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.【即学即练5】(2023河南信阳高二统考期末)已知等差数列4、等比数列4的前项和之积为n232n+l-2n2n-3n2+2n,设等差数列%的公差为d、等比数列的公比为7,以下正确的所有序号为.4二T;=-6；4=-8；g=9.【答案】【解析】显然等比数列d不是常数列，设等差数列4、等比数列2的前项和分别为A"+8?,C-Cq",其中A,B,C,«为常数，C#0,因为232向-2-32”-3/+2=(-32+2力(1-9"),即等差数列叫、等比数列也的前项和之积为(-3+2)(l-9n),所以(Ah2+Bn)(C-Cqn)=(-3/+2n)(l-9fl),所以(C41+C8乂10=(3+2力(19"),所以g=9,CA=-3,C6=2,所以A,B,C的值不确定，故答案为：.知识点06等比数列的前n项和公式等比数列的前项和公式推导过程：(1)利用等比性质由等比数列的定义，有包=&=&=夕4生.1根据等比性质，有+/+/=互.电二%”1+-1S,1/所以当gl时，SrJ=组或S”=皿二-q-q(2)错位相减法等比数列q的前项和S”=4+出+3+an,当q=l时，an-ay,Sn=a-a2+ay+an=na；当ql时,由ft=4/得:所以S,二幺二组或SrJ=%d").-q-q呷(q=)即S”=“(IT)4-4国川-qX-q知识点诠释：错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.在求等比数列前项和时，要注意区分9=1和夕工1.当qwl时，等比数列的两个求和公式，共涉及、外%、S,五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.【即学即练6】(2023上海虹口高二上外附中校考阶段练习)若等比数列%的前项和为，,Jla1=I,【答案】黑【解析】设等比数列,r的公比为夕00,因为冉=/=43=J，解得夕=:，o210Ix所以SH)故答案为:(21- 210235121023 512知识点07等比数列前n项和的函数特征1、S”与q的关系a.（-qn（1）当公比夕。1时，等比数列的前项和公式是S“=",1-（7它可以变形为S,=-设A=一，则上式可以写成S,=A-Ag”的形式，lq-q-q由此可见，数列S'的图象是函数y=A-A夕，图象上的一群孤立的点；（2）当公比q=1时，等比数列的前项和公式是则数列S,J的图象是函数y=qx图象上的一群孤立的点.2、S”与出的关系当公比gl时，等比数列的前项和公式是S,=幺二强，它可以变形为S”=上-q-q-q设A=",B=则上式可写成=Aq+8的形式，则S“是4的一次函数.-q-q【即学即练7】（2023江苏南通高二期末）已知数列“的前项和为S.,且满足S”=2q-1,则数列勺的通项公式为（）A.an=2nB.an=TnC.an=2,D.【答案】C【解析】当=1时，S=2q-l=4,.q=1,当2时,anSn-S.l=2a-2an,v:.an=2%，因此数列4是首项为1,公比为2的等比数列，an=2nlf故选：C.知识点08等比数列前n项和的性质1、等比数列q中，若项数为2，则粤F；若项数为2+1,则#&F.S奇S偶2、若等比数列q的前项和为S1,则S“，S2n-Sn,S3”S2”成等比数列（其中I，S2n-Sn,53-$2,.均不为0）3、若一个非常数列”的前项和S.=A/4（4/0国工0,£'），则数列,为等比数列.【即学即练8（2023江苏苏州高二吴江中学校考阶段练习）已知等比数列凡的前项和为45,前2项和为60,则其前3项和为（）A.65B.80C.90D.105【答案】A【解析】设数列q的前项和为S”，由等比数列的性质得5“，52-5.S3”一邑”成等比数列.S”=45,S211=60,故45,60-45,S3zt-6O成等比数列，故（60-45）2=45（$3,一60）,解得%=65.故选：A.【方法技巧与总结】