4.4求数列通项公式(培优精练）.docx
求数列通项公式求数列通项公式1一、分类题型1题型一公式法求通项公式1题型二累加法求通项公式17题型三累乘法求通项公式25题型四构造法求通项公式34题型五通过ar1与Sn关系求通项公式45二、分层训练：课堂知识巩固67一、分类题型题型一公式法求通项公式一.公式法求通项1 .使用特征：前n项和与项数或项的关系2 .公式为：通项=前n项和前nl项和3 .解题思路1 .记S“为等差数列q的前项和，若S4=g=2,则q=()A.10B.8C.10D.8【答案】D【分析】根据等差数列等差中项与前n项和性质求解即可.【详解】由S4=Ss=20,可知$5-$4=%=0,因为5%=Ss=20,所以%=4,2%=%+%=8.故选：D2 .已知等差数列%中，«6=-24,%。=-48,则首项q与公差d分别为()C. -19,-2A.-18,-2【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列凡的公差为d,a.+5d=-24a.=-19依题得向解得11a+29f=-48J=-I故选：D3 .记数列/的前项和为S“，若等差数列1的首项为5,第4项为8,则。=.【答案】23【分析】法1,设出公差，从而得到方程组，求出公差，进而得到S“=/+4，利用q0=S0S9求出答案;法2：设出公差，从而得到方程组，求出公差，进而得到S.=+4",从而得到2时，勺的通项公式,得到%.【详解，法1：设等差数列*的公差为d,则5 &T - - £-1 邑4解得d = l,S、所以-2=5+(-l)d=5+(-I)Xl=+4,所以S”=(+4)=2+4，n所以o=SoS9=MO117=23；件=5法2：设等差数列的公差为"，则!c,解得d=l,邑=&+34=84 1C所以一JL=5+(-l)d=5+(-1)×1=/7+4,所以SzI=M+4)=/?+4，n当2时，%=S“-SI=G2+«)一(-1)2+417)=加+3，所以qo=2xlO+3=23.故答案为：234 .若等比数列/的前项和为S”，且满足S.=%+-3,则数列/的通项公式/=.【答案】32-,【分析】由题意当=1时4=/，当=2时d-2g=0,解之可得夕;2,结合等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意知滔等比数列满足S.=%+-3,设其公比为巩则gx且夕为1,当=1时，S1=a2-3,即=。2-3,得q=j,当=2时，S,=%-3,即4+出="3-3,+-=3,q-q-q-即m=Tfi,整理得22夕=0,由4*°解得9=2，所以4=7=3,所以QltF尸=32Tq故答案为：32w-,5 .已知数列q满足6=1,%d=%+l(/2N,71),则为=.【答案】【分析】由题意得到4为等差数列，公差为1,从而求出通项公式.【详解】因为%z=,+l("N,"1),故%为等差数列，公差为1,所以=1+(-1)x1=.故答案为：6 .设等差数列的前项和为S”.已知出+4=2,59=-18.求知；(2)当为何值时，ISj最小？并求此最小值.【答案】生=13-3/1(2)8,4【分析】(1)设等差数列为的公差为d,由/+4=2,Sg=-18求解;由ISJ =抓23一3)卜；w(23-3?),w 7,分7, ”8,利用二次函数的性质求解.-n(3n-23)tn8【详解】(1)解：设等差数列&的公差为力又出+% = 2, S9 =-18,所以 2q + 64 = 2,9tzl+36 = -18,解得 = 10," =-3 ,所以qf = + (一l)d = 133/7 ；w(23-3w),w 7(2)由得M =驷23-3)卜;3(3 -23), 8当方7时,23 n529 + 24当1“3CN时，7；递增，当4"7eN时，7；递减，又（=10,4=7,所以看的最小值为7；当8时，7=；（3-23）=H-K）-鲁，7；在8,+oo）上递增，又£=4,所以1的最小值为4,综上:ISJ的最小值为4.7.在等差数列q中，%=7,%=9（1）求”的通项公式；（2）求%的前项和S”【答案】（IM=2+3（2）S=w2+4w【分析】根据等差数列的通项公式，前项的和公式可对（I）,（2）求解.【详解】（1）设4的公差为d,由：t71=5d=2所以：ctn=1+(n-)d=2n+3,故：数列%的通项公式：勺=2+3.（2）由等差数列前项公式：Sf=+当心"，zctC-1).n(n-),得：Sn=nal+-d=5?+-×2=n2+4?»故：数列q的前项的和：S.=1+4.8 .已知数列加,但满足=4,=-2,且应是公差为1的等差数列，%+“是公比为2的等比数列.求/，帆的通项公式；(2)求也的前项和7；.【答案】(IM=+3,bll=2n-n-37；=2加上-久-222【分析】(D结合等差数列和等比数列的通项公式求解即可：(2)根据分组求和即可.【详解】(1)根据题意，可得%=4+(-I)XIK+3,所以%="+3,zcN',所以见+“=2x2""=2",所以二2"-3,neN*，(2)由(1)知，=2rt(+3),=2"JJF2.229 .已知等差数列%满足4+%=4,且外,包,%成等比数列.(1)求”的通项公式；(2)记4为数列4前项的乘积，若4<0,求的最大值.【答案】(l),=2或%=2-11(2)945【分析】(I)利用4+%=4,和a”4,%成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差,从而求解.(2)根据(1)中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.【详解】(1)设4的公差为d,由4+%=4,得：2+lk=4;由q,4吗成等比数列，得：夕；=牝，即：(q+3d)2=q(q+44),整理得：d(2q+9d)=0.解得:4=2d = 0或2a+llt=4rhJ1Hld(24+9d)=0所以：为的通项公式为凡=2或凡=2-IL(2)因为<0,所以：an=2n-,得：当5时，ar<Q.当6时，all>0.从而7；(0,功0/0Z0Z<0,1<0(5),又因为：T2=axa1=63,7；=aia2a3a4=945,所以：空的最大值为7；=945.故Z,的最大值为945.10.己知等比数列q,等差数列也的公差d>0,且4=1,a2=b”ai=b5f%=%.求数列6与也的通项公式；(2)设数列q,对任意eN*,均有力+2+2+4="成立，求,的通项公式.aa2a3an【答案】4二2-1,an=3n-'11,=1G=I2x3"。22【分析】(1)设等比数列叫的公比为夕，根据己知列出关系式，求解油IM=2,进而得出4,的项，进而得出夕，即可得出q的通项公式：(2)根据前项和公式以及通项之间的关系，即可得出色乜="+=2,从而得出Cm=2用，得出c”的。”+1表达式，然后求出G的值，检验即可得出答案.【详解】(1)设等比数列4的公比为夕，由题意，b2=a2fb5=a3fbl4=a4,所以质=4%，即(1+4疗=(1+4)(1+13"),解得d=2,或d=0(舍去),所以"=1+2(-1)=2-1.所以42=d=3,4=4=9,所以夕=史=3,q=1,%q所以=lx31=3E.(2)由题意,=,a+ -+ =+, % a2an %-得所以c”+is = +1- = 2, an+l=,所以=¼1=2x3"T(之 2).当 =1时，由，=4可得q=l不满足上式.所以c. =1, = 12×3nn2'11.已知等差数列%的前项和为S”，且，-S2=7q, 55=30.(1)求数列m的通项公式凡;(2)设数列2的前项和7；1。82(川-加)，对任意的【答案】(1)4=2"N'恒成立，求实数?的取值范围.(2)(-,-lp2,+oo)【分析】(1)利用等差数列前项和基本量运算求得4 =d = 2,即可求解通项公式:(2)利用裂项相消法求得北，利用恒成立转化为对数函数不等式，求解即可.【详解】(1)设等差数列®的公差为一,则由 Sf=7q, S5 =30,得(a%)：?。'解得 4=d = 2,所以, =2 + (-l)x2 = 2，即q=2./ 、 , 1 1 1由可得SL小+I),所以"=而而=7,易知在W单调递增，当趋向正无穷人时，4无限趋向于1,所以由1«Iog2(,-w)Ww2-w2»解得一1或加2,即实数机的取值范围为（-8,-lN2,+）.12.已知等差数列%满足。2+%+6=15,SS=I5.求%的通项公式;（2）已知求数列"=粤，求何的前项和S2【答案】（1）勺=【分析】（I）根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出公差，求出通项公式;（2）利用错位相减法求和【详解】（1）%为等差数列，设出公差为d,因为+%+4=3%=15,所以%=5,因为Ss=15,所以5（%+%）=5。=15,所以%=3，2所以2d=5-3=2,所以d=l,所以%÷（-3）d=3+w-3=；（2）由（1）知见=，所以"喙=£，仁口、JC123n所以*=5+齐+声+，山2GIClIl1所以S”S”=+r+-r+2222232n2,h所以上S“=2”所以S,t=213.设4是等差数列，也是等比数列，且=4=%-62=%-4=1.（1）求/与也的通项公式;设4的前项和为s“，求证：÷n+1)=Sn+l+1-%;【答案】(IH=2-1,=2b,.(2)证明见解析【分析】(1)设等差数列勺的公差为d,等比数列4的公比为4，由题目条件可得d=g=2,即可得答案；(2)由可知，所证结论等价于=Se-，而这显然正确，即可证明结论.【详解】(1)设等差数列&的公差为d,等比数列"的公比为必*,=b、=%-A=%-b=I,.1+d-夕=1,+2d-q2=,解得d=g=2,.art=l+2(-l)=2n-l,=2rt,.(2)证明：-L=20,要证明(SN÷«+1)=5+1+1-Snbn,即证明.I+%“)=2S向也-S也，
