4.2.2等差数列的前n项和公式（8大题型）精讲.docx
等差数列的前项和公式重点：1、探索并掌握等差数列的前项和公式；2、会解决与等差数列前项和公式的最值有关的问题；难点：1、掌握等差数列前项和的性质及应用；2、掌握等差数列前项和公式综合应用。一、等差数列的前项和公式1、等差数列的前项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式/(+%)n2n(n-)号为2、等差数列前项和公式的推导对于公差为d的等差数列，S“=4+（4+d）+（4+2d）+.+4+（l）dCDS=4+（ai）+（42"）+.+%-（-l）d由+得2凡=（4+。）+（4+4）+（4+4）+（4+4）个二（4+4）,由此得等差数列前项和公式Sn=詈1,代入通项公式%=%得Srf+"；"d.二、等差数列的前项和常用的性质1、设等差数列%的公差为4,S”为其前项和，等差数列的依次攵项之和，臬，Sx-Sk,S”.组成公差为k2d的等差数列；2、数列4是等差数列QS“=m2+M（a,6为常数）=数列为等差数列，公差为g；3、若S奇表示奇数项的和，S他表示偶数项的和，公差为d；当项数为偶数2时，S2=（4+%）,S偶-S奇=皿，3=区；S偶a,+l当项数为奇数2+1时，52zi+,=（2t+l）¾+1zS奇-S偶=a，"L4、在等差数列%,电）中,它们的前项和分别记为S“工则皆三、等差数列的前项和公式与二次函数的关系将等差数列前项和公式s“=q+当Rd,整理成关于的函数可得cd.(dS11-n+a.n."2I,2)当时，5“关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(,S,J在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数，它的图象是抛物线>='f+L_X上横坐标为正整数的一系列孤立的点.四、求等差数列的前项和S的最值的解题策略1、彳等S“=q+当心d=g+(q-配方，若d0,则从二次函数的角度看：当d>0时，S有最小值；当dv时，S有最大值.当取最接近对称轴的正整数时，S“取到最值.2、邻项变号法：当q>0,d<0时，满足了的项数使S“取最大值；IA+1WO当q<0,d>0时，满足凡的项数使S取最小值。+0题型一等差数列前项和与基本【例1】(2023江苏镇江高二统考期中)已知等差数列几的前项和为S.，3%-。3=S5-%=2。，贝So=()A.78B.100C.116D.120【答案】D【解析】设等差数列%的公差为d,3a4-3=3(u1+3)-(1+2J)=20=Ad=ISs-%=54+10d-(q+6d)=20,解传可一“4一2，贝SH)=Ioq+45d=30+90=120.故选：D.【变式11】(2023江苏南京高二师大附中校考期中)设等差数列也的前项和为S一若尹4,咤=（）di3A.-B.4【答案】C【解析】设等差数列%的首项为,公差为"，等会列丹的前项和为3ff=4z036q+",3x2 .3 +d=4整理得d = 24 ,C9x8/.S9,9q+d9q+36d,9'.豆"6q+"d=6q+15厂K-,2【变式（2023广东珠海高二统考期末）已知等差数列叫的前项和为S.，且tz2+6=12,S4=18,则为=()B.4C.3D.2【答案】A【解析】设等差数列6的公差为d,1-1%+4=12if2+6J=12.,a=3由题忌K=18,则44+6d=l8，解得Id=1'所以6=4+24=5.故选：A【变式13】(2023天津和平高三天津市第二十一中学校考阶段练习)等差数列%中,al0=30,a20=50.(1)求数列的通项公式；(2)若1=242,求.【答案】(1)4=10+2(N")；(2)11【解析】(1)设公差为"，贝U由题意可得。-40=10d=20=d=2,又%=q+9d=30=+18=12所以4=4+(-l)d=12+2(-I)=IO+2，(");(2)由(1)可知S./他；为)=(12+,2)=山+川=242,gP+ll-242=(j-ll)(w÷22)=0(N),所以=11.题型二等差数列片段和的性质【例2】(2023湖北高二校考期中)已知”为等差数列，若S,=3,§6=24,贝(|几=()A.73B.120C.121D.122【答案】B【解析】设等差数列也的公差为"，+3d=34+d=1(2ai+2d=2*6q+15d=24124+51=8124+54=8'所以1=2吗=-1再2=124+661=-12+132=120.故选：B【变式21】(2023甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考阶段练习)设等差数列可的前项和为5一若£=7,则()A禺BC-DUA,7B,2J7D,6【答案】A【解析】在等差数列叫中，SlS14-S7,S2几成等差数列，BP2(S14-57)=57÷(S21-514),设S7=MnO),则几二7加，于是12加=利+图-7,)，解得S18*所以自=?.故选：A【变式22】(2023贵州贵阳高二统考期末)等差数列依的前项和记为S”，且SLIO,So=50,则S'=()A.70B.90C.100D.120【答案】D【解析】在等差数列q中，£，九-邑,几-品)成等差数歹小所以2(SH)-S5)=S5+S5-S0,贝J2x(50T0)=10+Sl50r即，=120.蝇：D.【变式23】(2023上海闵行高二校考阶段练习)已知等差数歹支见的前项和为S”，满足鼠=30,S2m=100,贝gffr=.【答案】210【解析】因为血是等差数列，所以S%-Sfn成等差数列，则2母2,-SWf)=Sfn+(Ssm-S2m),因为S*=30fS2m=100,所以2x（100-30）=30+6”,-100）,S3i=210.题型三等差数列前项利与的比值例3（2023安徽合肥高二合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列也的前项和为Snl若&=1,Sm=16,则56人=（）A.18B.36C.40D.42【答案】B【解析】Sr+当。-d,故界为等差数列，nn172故M-*中虹菊，故J=BH,解得SL36.故选：B【变式31】（2022贵州毕节统考模拟预测）等差数列间的前项和为S”，若篇=糕+1且=3,则（）A.an=2n+B.all=n+C.S11=2n2+nD.Sn=4n2-n【答案】A【解析】设”的公差为d,n（n-l）Sn=na-d.Sn-l.dd=÷-=2w+-，即（为等差数列，公差为gt由t一里=1知且=l=d=2,B20212020八H2'故。”=2+1,S.=（3+j+1）=2+2.故选：A.【变式32】（2023江苏常州高二奔牛高级中学校考期末）在等差数列间中M=2,其前项和qq为S"力-'=厕儿=.n+n【答案】no【解析】由题知q为等差数列,记数列2=个,所以4=:=4=2,由学-§=1,可知+1-=l,所以也是以2为首项,1为公差的等差数列，所以"= = 2 + ( - 1) = + 1, 所以邑=/+,所以SK) = Il0.【变式33（2023新疆高二校联考期末）已知等差数列间的首项为q ,前项和为S一若 黑-黑=1 ,且tSs ,则4的取值范围为.【答案】-10,-8【解析】设等差数列凡的公差为"，St,=n4+d l ., = l+（n-l）- = w +二数列图是以 = 4为首项，3为公差的等差数列,S1L-L = = 角*彳导, d = 2 -2023 2022 2，除传 ,，S sJ%=4+4d = 4+80f ",解得：T0%-8 ,即。的取值范围为TO，-8.题型四两个等差数列前项和的比值【例4】（2023河南周口高二校联考期中）设等差数列叫，低的前项和分别为S”，T一一 S“ + 2 , am若宁罚，则力(a 4C 22a7B.0【答案】Dc7d【解析】因为SL所以詈=DIo叫4+%)= %2Slq也=& =旦=51 加 391975故选：D【变式41】（2023黑龙江鹤岗高二鹤岗一中校考期中）已知等差数列0和也的前项和为分别为SQ,若A需，则言的值为（）a 103A豆103 b TTKC .等64D 篙【答案】B令Szj=A?-2）,则（=加（3+1）,所以知=Sll-SK)=I03A,=-9=118,所以A嘿嗡，辘：B%jI】oIlo【变式42】(2023湖南益阳高二统考期末)(多选)已知两个等差数列叫、他的前项和分别为S.和且A甯，则使得上为整数的人的取值可以是()nrer1ukA.4B.3C.2D.1【答案】ACD【解析】由等差中项以及等差数列求和公式可得4二2_S21=5(21)+13=54UZ"÷-.(-l)(÷-l)T2k,x-2kk12又因为AN,wl,2,4.故选：ACD.【变式43】(2023浙江嘉兴高二统考期末)已知等差数列也和低的前项和分别为S.、一S”3+4,a,+a1+a-若亍=F，则TV=()AlIlB-C-D卫A,13B,13C,26D.26【答案】C【解析】设等差数列%的公差为d,贝(J3+/+4=4+2d+4+6d+4+7d=3q+15d=3%,因为4+2o=2d,所以一西一5五，因为等差数列婚和间的前项和分别为现满足A瞿,11(4+a”)所以&=2="=3x11+4=卫mk11(4+%)11+213，21_,、，&+久+43434337111所以打十%=或=5凉=5Xli=云，:C题型五等差数列奇数项与偶数项的和【例5】（2023黑龙江哈尔滨高三校考期中）已知等差数列叫的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中间项为（）A.28B.29C.30D.31【答案】B【解析】设等差数列4共有2+1项，贝!JS奇=-+%+%+,¾=2+4+6+a2n中间项为凡川，故S奇-S阙=q+（q-q）+（%-&）+（4”+%）=4+d+d+d=4+叔=川，。向二S奇-W=319-290=29,故选：B.【变式51】（2023全国高二课时练习）已知等差数列q的项数为奇数，且奇数项的和为40,偶数项的和为32,则出=（）A.8B.9C.10D.
