巧添辅助圆--妙证几何题.docx

巧添辅助圆妙证几何题1 .求角例1如图1,在AABC中，AB=AC,NB的平分线交AC于D,BC=BD+AD,求N4的度数。解：作ZVVBZ）的外接圆交BC于E,连结DE。因为BD是NABC的平分线CC所以AO=DE得AD=DE例2如图2,矩形ADEH是由三个正方形ABGH,BCFG和CDEF所组成，BH、CH、DH与AD所成的角分别为a、B、/o求证：a+y=90°o证明：设AH=I,那么=也有HB2=BC*BD作。O,使H、C、D都在。0上，那么HB为。O的切线例3如图3,AB=AC=AD,如果NZMe是NC48的k倍，那么NoBC是NBOC的倍。解：因为AB=AC=AD所以作以A为圆心，AB为半径的圆，使B、C、D三点都在。A上2 .证线段例4如图4,在RfAABC中，NC=90o,NC平分线CE与斜边的垂直平分线DE交于E。求证:CD=DE。CC证明：作曲AABC的外接圆。D,那么圆心即为AB的中点D,作LAB交。D于E,由AE'=BE'知例5如图5,在A45C中，BDlACfCElABf。为ABC的外接圆圆心。求证：AOAJED证明：作AABC的外接圆。O,过A作切线AF,那么NEAC=NAbC例6如图6,在A45。中，AB=AC=6D是BC上的一点，且Ao=1,求8。0C的值。解：以A为圆心，AB的长为半径作。A交AD、DA的延长线于E、F,那么点C在。A上由相交弦定理，得例7如图7,在AABC中，ZB=2ZCo求证：AC<2ABo证明：作AMC的外接圆，在其圆上截取那么A2。二%。连结BD、CD和AD,有例8如图8,在平行四边形ABCD中，过点A的圆分别交AB、AD、AC（或其延长线）于P、R、Q。求证：ABAP+ADAR=ACAQ.证明：过B、P、Q三点作圆交AC于G,连结PQ、PC、BG、QR那么有NBGC=NBPQ=ZR因为BC/AR3.面积例9如图9,AB=BC=CA=ADfAHLeD于H,CPI6C交AH于P。3求证：Sbc=AP*BD.证明：因为AB=AC=AD所以B、C、D三点必在以A为圆心，AB为半径的圆上如图9作辅助圆，易知/2='NBA。='X600=30。224.判定三角形形状例10如图10,P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点。当A运动到使NBAP=ZCAQ时，ABC是什么形状的三角形？试证明你的结论。证明：作A4BP、ACQ的外接圆。|、OO2,那么。O-OO2是等圆。连结公共弦AD并延长交BC于E那么AE垂直平分GO2作QMlBGO2NLBC