重难点专题01：建立空间直角坐标系常用建系的方法（解析版）.docx
重难点专题OL建立空间直角坐标系常用建系的方法立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一.所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系1.（2023新高考数学全国I卷（第18题）如图，在正四棱柱48CD-A/C。中，AB=2,AAy=4.点,B2,C2,D2分别在棱Al,明,CC,OZ）上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.（1）证明：B2C2ZZA2D2；（2）点P在棱上，当二面角P-4G-A为150。时，求&P.【详解】（I）以C为坐标原点，CQ,C8,CG所在直线为,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,则C(O,O,O),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),.B2C2=(0,-2,1),2D2=(0,-2,1),.,.B2C2A2D2,又不在同一条直线上，:.B2C2/A2D2.(2)设尸(0,2,4)(024),则AQ=(-2,-2,2),PQ=(0,-2,3-),D2C2=(-2AD，设平面P&G的法向量n(%，y，z),nA2C2=-2x-2y+2z=0nPC2=-2y+(3-)z=0令z=2,得y=3-2,x=4-l,.,./7=(1,32),设平面A2C2D2的法向量机=(也C),mAC-,=-2a-2b+2c=0则-，mD2C2=-2a+c=0令a=l,得b=l,c=2,.m=(1,1,2),Hnin6C明64+-l)2+(3-)2112化简可得，2-4+3=0-解得2=1或=3,.尸(0,2,1)或1(0,2,3),.B2P=I.2. (2022天津统考高考真题)直三棱柱A8CA1BC中，AAi=AB=AC=ZAAy1AB,AC1ABtD为AIBl的中点，E为AA的中点，/为C。的中点.求证：EF7/平面ABC：求直线觇与平面CGO所成角的正弦值;求平面ACO与平面CeD夹角的余弦值.【答案】证明见解析（2）1噜【分析】（I）以点4为坐标原点，AA、4、AG所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线房与平面CGO夹角的正弦值；（3）利用空间向量法Ur求得平面ACo与平面CG。夹角的余弦值.【详解】（I）证明：在直三棱柱ABCA4G中，AAtj平面AgG，且ACj_A8,则AG以点A为坐标原点，AA、as、AG所在直线分别为x、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A。)、3(220)、C(2,0,2),4(°，°，°)、4(°，2,0)、G(0,0,2)、O(OJO)、石(1,0,0)、F易知平面ABC的个法向最为m=(1,0,0),则所.?=(),故E户上m,EFa平面ABC,故所平面48C(2)解：C1C=(2,0,0),C1D=(0,1,-2),EZ?=(1,2,0),设平面CGo的法向量为"=(,y,z3则八，M-C1D=yl-2z1=0、fEBU4取y=2,可得=(0,2,1),cos<¾w>=p-i=-.因此，直线BE与平面CeP夹角的正弦值为短(3)解：AC=(2,0,2),/D=(0,l,0),设平面AiCD的法向量为v=(x2,y2,¾),则卜?二=2七+2=0,vAiD=y2=0wvI>取“I,可得(LoT),则c°s<",丽=-京万=-记，因此，平面ACo与平面CG。夹角的余弦值为巫.IO二、利用线面垂直关系构建直角坐标系3. (2023北京统考高考真题(第17题)如图，在四棱锥尸-ABCf)中，PDJ_平面ABCD,底面ABCD为菱形，E,F分别为AB,PD的中点.(1)求证：EF/平面PBC；(2)若4Z)=25,二面角E-FC-。的大小为45。，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知.求PD的长.条件：DE工PC；条件：PB=PC.【解析】(I)如图所示,取PC的中点M,连接MEM8,VM,F分别为PCPD的中点，尸是iPC。的中位线，Mf7CZIIMF=TCO,又E为AB的中点，,BECD且BE=NCD,.,MF7BE且MF=BE,2四边形是平行四边形，所MB,律a平面PBcMBU平面PBC,：.EF"平面PBC.(2)如图所示，选择条件：DE工PC,Pz)J平面ABCD,OEJ_PD.PCu平面PCD,PDU平面PCD,DE_£平面PCD,.0EJ_CZZ.Z)E_LAB,底面ABCD为菱形，E为AB的中点.DA=7)4、ZXABQ是等边三角形,以£)夕为Z轴，Z)C为y轴,。E为X轴，建立空间直角坐标系，设PZ)=2,则O(0,0,0),C(0,26,0),尸(0,0),E(3,0,0),设平面FCD法向量为3=(1,0,0),设平面尸EC法向量为加=(Ky,z),E户=(T(V).反?二卜3,26,0),2,3台”二面角石/C。的大小为45。-3X+Zz=O-3x+2"y=0'令广石厕昨.eos45? = . 2,1×44÷3÷ 2 '+ 7 = 8,.r = 6,2r = 12,PD=12选择条件：PB=PC.PDJ平面 ABCD, BCLPDyPB=PC取BC的中点O,:.PO±BC,叨U平面PDO,PoU平面PDO.BC人平面PDo,.Be，。,AO8C.D4J"OO,底面ABCD为菱形，O为BC的中点.OC=08、ZXCBQ是等边三角形,以OP为Z轴，以DA为X轴，以。为y轴Zz1=O一信+3y =0'设PD=2,则0(0,0,0),C(G,3,0),(0,0,1),E(¥，|,0设平面尸C。法向量为n1=(,%z)OF=(0,0/),QC=卜6,3,0)令*=1,=G,z1=0,则I=(6,L0).设平面尸EC的法向量为町=(2,y2,z2),333nEF =一_丁勺-/+/=0533n-七+二y2=o2F22令=56 x2=3tz2=-Mpn =3,5瓜,二面角ER?O的大小为45。,a"?=JG§今华+84=96,Q6,2E2ji2×J9+75+4. (2023全国甲卷(理数)第18题)在三棱柱ABCA,5G中，AA=2,AC，底面ABC,NAC8=90。,4到平面BCC蜴的距离为1.求证：AC=A1C；(2)若直线AA与BBl距离为2,求Aq与平面BCC1B1所成角的正弦值.【详解】(1)如图,BlC14CL底面ABC,BCu面48C,aAyClBC,又8C_LAC,AcACU平面ACCA，ACCAC=C,.8CL平面ACaA/,又BCu平面BCGe，.平面ACGA_L平面BCC蜴，过A作ACG交CG于O,又平面ACGAn平面BCG4=CG,AoU平面ACG4，.1O"L平面BCG片A到平面BCGM的距离为1，A。=1，Rt,cc1,ACLAGCG=AA=2,设CO=X,则GO=2X,.4。,440,24。£为直角三角形，且CG=2,CO2+AiO2=AiC2fAiO2+OC=CiA;,AiC2+AiC=C1C2f1+x2+1+(2-x)2=4,解得=l,.ac=ac=AG=",AC=AxC(2) 'AC=AG,8C_LACBC_LAC,.RtACBRt½,CB.BA=BAy,过B作3。_LA4,交4AJf>,则。为AAI中点,由直线4A与距离为2,所以BD=2AiD=,BD=2,.AxB=AB=y5f在RtZXABC，.BC=yAB2-AC2=3,延长AC,使AC=CM,连接GM,由CM/A,CrCM=1C1知四边形ACMG为平行四边形,.CMA。，.CM平面ABC,又u平面A3C,.ClM1AM则在Rt4AGM,AM=2ACXxM=AyC,.AC1=y(2AC)2+AyC2,l.Rt4B1Cl¼AC1=y(2AC)2+A,C2,BG=BC=B.AB1=(22)2+(2)2+(>)2=13,巫13又A到平面BCGM距离也为1,所以AB与平面BCC,l所成角的正弦值为J=13三、利用面面垂直关系构建直角坐标系5. （2022全国统考高考真题）如图，四面体ABC。中，AD工CD,AD=CD,ZADB=/BDC,E为AC的中点.（1）证明：平面8即，平面ACQ；设Ae=%>=2,ZACB=60。，点/在班）上，当人人?的面积最小时，求CF与平面9所成的角的正弦值.【答案】证明过程见解析B与平面9所成的角的正弦值为竽【分析】(1)根据已知关系证明AAE泾ACBO,得到AB=CB,结合等腰三角形三线合一得到垂百关系,结合面面垂直的判定定理即可证明；(2)根据勾股定理逆用得到破/OE,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】(1)因为Af)=8,E为AC的中点，所以AC_LDE：在AABO和ACBQ中，因为AD=CD,ZADB=CDB,DB=DB.所以AAB叫aC30,所以AB=C3,乂因为E为AC的中点，所以ACJ_3七；又因为0E,8Eu平面Ba,DEcBE=E,所以ACJ平面BE。，因为ACU平面ACQ,所以平面切%>_!_平面ACQ.(2)连接石尸，由(1)知，ACj_平面8TO，因为所U平面切北),所以AC_L所，所以SAw=gACE/,当七EjLQ时，EF最小，即AAPC的面积最小.因为AABZ运ZXCBD,所以C3=AB=2,又因为NAC8=60。，所以JlBC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=B因为AO_LC£>,所以。E=;AC=1,在aZ)R?中，DE2+BE2=BD2所以破上。£以E为坐标原点建立如图所示的空间宜角坐标系E-町2,则4(1,0,0),网,6),Q(0,0,1),所以4O=(T0,l),A5=(-l,J,0),设平面ABZ)的一个法向球为n=(x,y,z),则r,取y=L则=3,后3,n-AB=-x+j3y=0v7又因为C(TO,o)o,手，(，所以Cr二，岑梳.设“与平面4bd所成的角的正弦值为e（oe所以Sine=kOSCT7）=,所以B与平面丽所成的角的正弦值为竽.6. （2022年全国卷）如图，直三棱柱ABCA1BG的体积为4,二的面积为2忘.求4到平面A/C的距离;（2）设。为AC的中点，AAI=A8,平面ABC_L平面ABqA,求二面角A80C的正弦值.【答案】（l）【分析】（1）由等体积
