30垂直于弦的直径教案.docx

垂直于弦的直径一、教学目标（一）知识与技能：1.充分认识圆的轴对称性;2.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理；2.运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图.（二）过程与方法：1.让学生经历“实验一观察一猜想一验证一归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力；2.让每个学生动手、动口、动眼、动脑,培养学生直觉思维能力.（三）情感态度与价值观：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神.二、教学重点、难点重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.难点：I.垂径定理的证明；2.垂径定理的题设与结论的区分.三、教学过程问题情境问题：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）？探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是。0的任意一条直径，A为。上点C,D以外的任意一点.过点A作AN_LCD,交。0于点H,垂足为M,连接0A,0A,.在AOAM中，0A=0A,AOAk是等腰三角形又AAUCD：,AM=MA*即CD是AH的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点T,因此。0关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道，如果。O的直径CD垂直于弦AA，垂足 为那么点A和点X是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A，重合，AM与A重合,AC,的分别与急向重合.因此，AM=AM AC=R, AD=H即直径CD平分弦AAJ并且平分O, Air.这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.定理应用格式： CD是。O的宜径，AB为弦，CD±AB,垂足为E.：.AE=BE, AC=BC, AD=BD.进一步，我们还可以得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理应用格式： CD是。的直径，AB为。0的弦（不是直径），且AE=BE：, CD±AB, AC=BC, AD=BD.例2赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智 慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的 距离）为7. 23m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）?解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为0,半径为R.经过圆心0作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C,连接0A.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m,CD=7.23m所以，AD=JAB=LX37=18.5(m),OD=OC-CD=R-7.2322在RtZkOAD中，由勾股定理，得0A2=AD2+0D2即R2=18.52+(R-7.23)2解得RQ27.3(m)因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m练习1.如图，在。0中，弦AB的长为8cm,圆心0到AB的距离为3cm.求。的半径.解：过点。作OEJ_AB,垂足为E,连接0A./11½-AE=BE=IAB=×8=4(cm)(、：在由ZAOE中，由勾股定理，得AE2+0E2=A02IqI即42+32=A02J解得A0=5cm因此，。的半径为5cm.2.如图，在。0中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD±AB,0E±AC,垂足分别为D,E.求证：四边形ADOE是正方形.证明:VAB±AC,OD±AB,OE±AC NA=NoDA=NoEA=90°,、 四边形ADoE是矩形:OD±AB,OE±AC/I AE=CE=-AC,AD=BD=LABI/22AE=AD 四边形ADOE是正方形.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关.在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用.