2.6平面向量数量积的坐标表示学案解析版.docx
§6平面向量数量积的坐标表示学习目标核心素养1 .掌握数量积的坐标表达式.(重点)2 .能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系.(重点)3 .了解直线的方向向量的概念.(难点)1 .通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养.2 .通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养.自主预习。擢新那1.平面向量数量积的坐标表示设向量=(x,y),b=(X2,”).()ab=xX2+vy2;(2)2=x+yi,即IQl=N六+M；(3)设向量与'的夹角为仇则CoSO=献=遮毒潴豆；(4)±Z>OxiX2÷y,V2-0.思考1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示能.a±bab=xx2+yy2=O.2.直线的方向向量给定斜率为A的直线/,则向量机=(1,一与直线/共线,我们把与直线/共线的非零向量m称为直线I的方向向量.思考2：直线的方向向量唯一吗？提示不唯一.因为与直线/共线的非零向量有无数个，所以直线/的方向向量也有无数个.初试身11. (2019全国卷II)已知6=(2,3),AC=(3,r),BC=1,则H后Z=()A.-3B.-2C.2D.3C因为3C=AC-A8=(1,r-3),所以8C=<1+(l3)2=1,解得/=3,所以8C=(l,0),所以AB3C=2X1+3X0=2,故选C.2 .已知=(2,1),b=(ifx),且。_1，则X=.2由题意知b=2xl+(-I)XX=0,得x=2.3 .已知向量”=(4,1),b=(x,3),若Ial=网，则X=,÷22由Ial=I加得42+(1)2=YX2+32,解得x=±24 .已知=(3,-1),b=(f-2),则Q与力的夹角为设Q与。的夹角为4则COS O=又 00, ,扫着做课3Xl+(-l)X(-2)_V2ib52合作探究。援素养-*H平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量和力同向，b=(l,2),ab=10,求：(1)向量。的坐标；若c=(2,1),求(c)"解1(1)设=劝=(九2)(2>0).Va=10,5z5cos0o=10,解得义=2.0=(2,4).(2)(c)A=(2x2+4x(-1)=()5=0.规律方法进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.跟踪训练1.(1)已知向量a=(2,l),6=(1,k),(2-6)=0,则=()A.12B.-6C. 6D.12(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CO的中点，点尸在Ao±,AF=2FZ),则84C/=(I)D(2)|(1)2。一5=(4,2)一(一1,Q=(5,2T),由a(2-)=0,得(2J)(5,2T)=0,所以10+2-2=0,解得=12.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2),E(2,l),0(2,2),B(0,O),C(2,0),因为港=2而，所以艰，2)所以i=(2,D,=(,2j-(2,0)所以赤a=(2,l)(一/2=2X(_|)+X2鼻讨短向量的夹角及垂直【例2】已知=(l,2),b=(l,力，分别确定实数/1的取值范围，使得:(Da与的夹角为直角；(2)与的夹角为钝角；(3)与的夹角为锐角.解。协=(1,2)(1,)=l+2.(1)因为。与b的夹角为直角，所以CoS。=0,所以Z>=O,即1+22=0,所以+=_"(2)因为与b的夹角为钝角，所以cosOVO,且cosOW1,所以bVO,且与力不反向.由协VO,得l+2lVO,故LV-g,由与共线得/1=2,故。与力不可能反向.所以/1的取值范围为(一8,3).(3)因为。与力的夹角为锐角，所以COSO0,且cosOWl,所以。协0且6不同向.由。协0,得4一.由4与b同向得=2.所以/1的取值范围为(一/2)U(2,+).现件方法1 .已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式Ial=后手进行计算.2 .求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)再求出两向量的模；h(3)由公式CoSe=而而，计算COSe的值；(4)在O,I,由COSe的值确定角力跟踪训练2.已知=(l,2),b=(-2,-4),c=5.求+2b;(2)若(+5)c=,求向量。与C的夹角.解(I)Q+25=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,一6),la+2b=(-3)2+(-6)2=35.(2)V=(-2,-4)=-2(1,2)=-2,.+b=a,：(+b)c=c=.设与C的夹角为仇_5a*c21则cosO=丽飞X#=22V06>,工。=铲,2即与C的夹角为铲."b向量的模探究问题1 .由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示设A(X1,y),B(X2,y2)f则A6=(x2-K,yz-y),由向量长度的坐标表示可得HBl=H8=y(x2-)2+(y2-y)2.2 .求向量的坐标一般采用什么方法？提示一般采用设坐标、列方程的方法求解.【例3】设平面向量Q=(I)，Z>=(0,2).3 a2b的坐标和模的大小.4 思路探究利用向量的坐标运算求得a2b的坐标表示，然后求模.解Va=(IJ),6=(0,2),o-2Zf=(1,1)-2(0,2)=(1,-3),a-2=l2+(-3)2=l.母题探究1 .将例3中的条件不变,若c=3a-(ab)b,试求c.解>=1×0+1×2=2,c=3(l,1)-2(0,2)=(3,-I),kl=32+(-i)2=io.2 .将例3中的方=(0,2)改为方=(0,-2),其他条件不变，若kab与a+b共线，试求A值.解Va=(l,l),b=(0,-2),ka-b=k(l,l)一(0,-2)=(2,k+2).+b=(l,1)+(0,-2)=(1,-1).t*ka-b与a+b共线，,%+2(一A)=0.3 .将例3中的=(0,2)改为b=(0,-2),其他条件不变，若抬一。的模等于而，试求改值.解Va-Z>=(l,1)(0,-2)=(2,k+2)9,.9ka-b的模等于l.A2+(+2)2=i,化简得F+2Z3=0,解得A=I或Z=3.即当&=1或=一3时满足条件.规律方法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示/的运算利用2=/,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示尸的运算,若=(x,y)9则=°2=IaF=X2+y2,于是有IaI=N*+y2.不课堂小结G1 .设Q=(XI,y),8=(X2，y)f则a_L方OXlX2+y1y2=O.应用该条件要注意：由a±b可得X1x2+y1y2=;反过来，由xx2+yy2=O可得a.Lb.2 .向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.当堂达标。固亶基TgyJgr1 .判断(正确的打“J”，错误的打“X”)若两非零向量的夹角O满足COS/?<0,则两向量的夹角0一定是钝(2)若A(X1，y),B(X2,力)，则3=，(一XiA+。2丁产()(3)两向量a与b的夹角公式cos =xx2+yy2+乂、京+货的使用范围是W0且b0.()答案(1)×(2)(3)2 .已知=(一小，1),6=(1,小)，那么4,力的夹角8=()A.30oB.60oC.120oD.150°一333Dcos3=szov=">又因为。0°,180°,所以。=150。1ZZZ3 .已知向量=(l,n),b=(-l,n),若2ab与b垂直,则Ial等于()A.1B.2C.2D.4Cu：(2a-b)'b=2ab-b=2(-1+n2)-(l+n2)=n2-3=0,n=±3.a=2+n2=2.4.已知4=(3,2),b=(4,lc)f若(5。-b)Q3a)=-55,试求b的坐标.解V=(-3,-2),b=(-4f%,5a=(-11,102).-30=(5,A+6),.(50)(-3)=(-11,10Z)(5,k+6)=-55也+10)(%+6)=-55,(+10)(A+6)=0,k=-10或k=-6,>=(-4,一10)或力=(一4,-6).
