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第十四讲正弦定理和余弦定理【要点梳理】1. 正弦定理：焉=磊=康=2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(l)d：b:C=SinA:Sin:sinC；(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sin_C；(3)SinA=品，sinB=磊，sinC=点等形式，以解决不同的三角形问题.ZaZaZa2. 余弦定理：:二从+廿一2bccosA,b2=q2+c2-%CCOSB,C2=M+/-2欣OSC余.-ra-rl-f,从+c2/2÷C2-2/+52-/弦定理可以变形：CoSA=2,cosB=诟，cosC=圾石.3. SABC=absinC=csinA=%csinB=嗡=(+力+c)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算/?、匚4.在AABC中，已知a、6和A时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形ZLA'-VC*ABAB关系式a=bsinAbsnA<a<baba>b解的个数一解两解一解一解【基础自测】.a,_Lrra+Z>+c1.在aABC中，若A=60。，a=3,则.r=.VSmA十sin8十SlnC2 .已知AABC的三边长成公比为5的等比数列，则其最大角的余弦值为.353 .设aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且COSA=CoS8=於，b=3,则C=.4 .在aABC中，B=60。，AC=3,则A8+2BC的最大值为.5 .已知圆的半径为4,a、b、。为该圆的内接三角形的三边，若"c=16则三角形的面积为()A.22B.82C.2D芈例题讲解题型一利用正弦定理解三角形【例1】在aABC中，a=3,h=2,8=45。.求角A、。和边c.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在aABC中，a、b、C分别是角A、B、C的对边，且煞=一五匕(1)求角B的大小；若b=11,a+c=4,求aABC的面积.题型三三角形形状的判定m31在AABC中，内角A,B,C所对的边长分别是,b,c.(1)若c=2,C=?且4ABC的面积为L求,8的值；(2)若sinC÷sin(-A)=sin2A,试判断AABC的形状.题型四正弦定理、余弦定理的综合应用【例4】己知小b,C分别为BC三个内角A,B,C的对边,acosC+小sinC-b-c=O.求4(2)若=2,ZXABC的面积为小，求儿c.【巩固提高】1.在aABC中，若NA=60。，N8=45。，BC=32,则AC等于()A.43B.23C.3D坐2 .在4A8C中，角A,B,C所对的边分别为mb,c.若cosA=Ain8,则SinACOSA+cos%等于()A.B.C.-1D.13 .在钻C中，a,儿c分别角4B,C所对fi¾边，若=sG贝耻t三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形4 .在aABC中，若b=5,NB=；,sinA=J,则=.5 .若448C的面积为小，BC=2fC=60°,则边AB的长度等于.6 .在aABC中，角A,B,C所对的边分别为e,b,c,满足CoSS=竽，油公=3(1)求AABC的面积；(2)若力+c=6,求的值.