1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（解析版）.docx

142用空间向量研究距离、夹角问题考点01：异面直线夹角的向量求法1 .如图四棱锥RABC。中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（）【答案】A1C.D.【分析】连接AC与3。交于点。，连接PO,以。点为原点，建立空间立角坐标系，分别求得向量A2和PC的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接AC与8。交于点O,连接尸。，由题意得，AClBD,且POl平面ABCD,以。点为原点，建立如图所示空间内角坐标系,设四棱锥P-ABCZ）各棱长均为2,则人O=BO=DO=JJ,PO=母,可得a(,o,o),e吟'、号,c(,o,o),p(o,o,应),-喈,PC = (-2,0,-2),设异面直线AE与PC所成角为6，l.lAEPC(-2)×(-2)÷×(-2)下则cos=COSAE,PQ=11=11回同qq,27o726故选：A.2 .如图所示，在正方体ABS-AMGR中，求异面直线A/与4G所成的角.【答案】异面直线A/与AC所成的角为90.【分析】利用向量的分解和数量积运算，结合正方体中的线线关系，可证明A8AC；=0UUUUUUUUU【详解】A1B=AB-AA1.AC,=AB+AAi+AD,于是A1BAC,=(A-AAt)(A+AA1+ADj=AB2-AA12+AD-AA1)t对于正方体来说，AB2-AAi2=0>ADJ.AB,4O_LA4,故AZ>45=0,4>A1=0,即"("一私)=0,于是A&AC；=O,即A1B_LAC,故异面直线AB与AC所成的角为90考点02:已知线线角求其它量3 .如图，在正三棱柱A8CAgG中，AB=AAy=2.E,/分别是BC、AG的中点.设。是线段4G上的(包帮羊个般点)动点，当直线8。与律所成角的余弦值为坐，则线段8。的长为.Bl【答案】22【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设。(U,2)(T1),利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解.【详解】解：如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则E(O,O,O),F8(0,-1,0),设D(0,/,2)(-1rl),则Eb=¥，表2)8。=(0/+1,2),设直线8。勺所所成角为。r+2+4所以S/二EFBD2+加,gp23z2+14r-37=0.IErlIBDl5(r+l)2+44解得f=l或f=琮（舍去），所以闸=Jo2+2+22=2五,故答案为：2.4 .如图，在直三棱柱ABCABG中，ZBAC=,AB=AC=AA,=,已知G与E分别为Aq和CG的中点，0与F分别为线AC和AB上的动点（不包括端点），若Gz）_LEf'、则线段。尸长度的取值范围为（）故 E尸=,GD =tn-，因为Gz）_1砂,A.李1）B.坐.刍C.2）D.I也,布15455【答案】A【分析】以A为坐标原点建立空间"角坐标系，设出。,尸的坐标，根据已知条件求得参数之间的关系，并建立OP关于参数的函数关系式，求其值域即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，5l_则3,OR,G，设点0坐标为(2,0,0),尸(0,几0),0<w<l,0<n<l,故可得E7GZ)=-6一,+,二。，WJw=-2zh+1,由(0,l)可得加+ 5,又DF=(T几/1,0),故IDF=yjm2+n2=j5m2-4n+l=5故当Zn=,时，I闭取得最小值比；又当旭=0时，。月=,但无法取到桁=0,则IM无法取到1；55综上，线段。尸长度的取值范围为故选：A考点03：线面角的向量求法5.如图，在长方体A8C。-A4GA中，B=AD=2,DR=4,则A圈与平面AGo所成的角的正弦值为【答案】I【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】以A为坐标原点，ARAD,M所在直线分别为X,)，,Z轴，建立空间直角坐标系,A(0,0,4),4(2,0,4),。(0,2,0),G(2,2,4),设平面ACI。的法向量为6=(X,乂Z),nAyC=(x,y,z)(2,2,0)=2x+2y=0则,，mAiD=(x,y,z)(0,2,-4)=2y-4z=0令z=l,则y=2,x=-2,故?=(-2,2,1),设Aq与平面ACQ所成角的大小为。，则Sine小何间卜”二玲Me1'71m-A,B4+4+l×2A4与平面ag。所成角的正弦值为;.6.己知四棱锥P-ABC。中，AB/CDtABlBC,AB=PA=4,BC=CD=求证：ADYBP;求直线尸C与平面P8。所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析利用几何法找到线面所成【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直；（2）角进而求解或者利用空间向量求解.【详解】（1）在梯形A8CQ中，ABHCAABlBC,AB=4,BC=CD=2,可算得AD=J与+BC?=2&,BD=4BC2+CD=22,所以AD2+BD2=所以AD±BD，在.皿）中，Q4=4,PD=AD=满足PA?=也?十尸。2,所以AD_LPD，又PDU平面PBD,8。U平面24。，RPDcBD=D,所以AC)_L平面P/”)，又因为BPU平面PB/),所以4)_1_80：(2)由证明可知，AZ)J_平面因为ADU平面ABeD,则平面P8D_L平面ABa),取BD中点O,连OP,0C,因为BC=CD,所以OCJL80,而OCU平面ABC。，且平面尸8D平面ABCL>=80,OC_L平面?8。，所以/0PC就是PC与平面PBD所成的角，在ABCO中，易得0C=J,在APBO中，PB=2«，BD=PD=2近,计算可得OP=旧，解法2:由证明可知，AD_L平面。8Q,因为ADU平面ABCQ,则平面PBDL平面ABCD,通过计算可得NPOB=笥，建立以DA，Z)B为X轴，y轴的正方向，以过。与平面AAC。垂直的向量为在Z轴的正方向建立如图空间宜角坐标系,显然Z轴再平面PBD中且垂直于BD,则50,0,0),B(0,22,0),P(0,-衣病,C(G近,0),所以PC=(应,2l#)，DP=(0,-,6),DB=(0,22,0),设平面PBD的法向量为=(x,y,z),取,0,0),设直线PC与平面PBD所成角为6,则SinfC,旦=旦所以求直线PC与平面PB。所成角的正弦值为正.PC44考点04：已知线面角求其它量7.己知平面。的法向量为=(1,2,0),直线/的方向向量为L则下列选项中使得/_La的是()A.v=(2,-l,0)B.V=(2,1,0)C.V=(2,4,0)D.v=(-l,2,0)【答案】C【分析】根据法向量与方向向量的定义，即可求得本题答案.【详解】若/_La,则红线/的方向向量B垂直于平面所以G与平面。的法向量=(1,2,0)平行，显然只有选项C中丫=2满足.故选：C8.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=CG=3,BC=4,AC=5,AE=AAAi,。为8C的中点.（1）当4=；时，求证：AO平面8CE;（2）若J4也，CQ与平面8CE所成的角为/求Sine的取值范围.44【答案】（1）证明见解析J返迈（）39，13【分析】（1）首先取BG中点。，连接0。，0E,。为BC的中点，易证四边形AQOE为平行四边形，从而得到AD/OE,再利用线面平行的判定即可.证明AO平面BCiE.（2）以B为原点，BeBA,84分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向吊法求解即可.【详解】（1）取BG中点。，连接。，OE,。为BC的中点，如图所示:B因为O。分别为BG和8C的中点,所以O°；CG且OO=TCG，又当4=；时，E为AA的中点，所以AEgcG，且AE=；CG，所以OOAE,且QD=AE,所以四边形AQQE为平行四边形，所以AOOE,因为AO0平面BGE,OEU平面3CE,所以A£>平面8。出.(2)因为AB=3,BC=4,AC=5,所以AB?+8C?=AC?,即AB18C又因为三棱柱ABC-48£为直三棱柱，所以以8为原点，BCBA.BB分别为x,y,z轴建M空间宜角坐标系，如图所示:Bc=(4,0,3),E=(0,3,32),设平面BC1E的一个法向量n=(x,y,z),nBC,=4x+3z=0.、所以,令x=3,得万=(3,4l,-4).nBE=y+Az=0又OG=(2,0,3),所以Sine=怦9)=L/6,=pZ)C113162+25又LWg所以SineJ噜,平，所以Sine的取值范围为噜，当.考点05:二面角的向量求法9 .在如图所示的圆柱QQ中，AB为圆。I的直径，C,。是AB的两个三等分点，EA,FC,GB都是圆柱GQ的母线eC Qj)求证：股平面Ae>£；(2)若BC=FC=2,求二面角A-BF-C的余弦值大小.【详解】(1)连接OC,因为区4，Q都是圆柱的母线，所以AE/B,又AA为圆。I的直径，C,。是AB的两个三等分点，所以C0A5,CO=gA5,所以四边形AoCol为平行四边形，所以A。O0,又AElAD=A,CFf,101F=F,AEAoU平面AED,CEaFU平面。尸，所以平面AEO/平面QCr，因为FaU平面OC尸，所以r平面AOE；(2)连接AC,因为48为圆。1的直径，所以AC/8C,因为CF_L平面ABC,C4,C8u平面ABC,所以b_LC4,Bj.CB,如图建系，因为C3=。=2,所以=4,CA=>JAB2-CB2=23则C(0,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),4(2,0,0)，AB=(-23,2,0),AF(-23,0,2),设平面ABF的法向最为笳=(x,y,z)，AB-m=-2y3x+2y=0,L-1.,取X=1,得w=(1,0,6),Fn=-23x+2z=0平面BCF的一个法向最为=(1,0,0),所以二面角A-M-C的余弦值为也4L=J=也.fnn717所以二面角A-B尸-C的大小为五.10 .在图1中，四边形ABCO为梯形，ADIlBC,ZABCt/BCD=ZAD=CD=2,过点A作AE_LAB,63交BC于E现沿AE将折起，使得BC_LOE,得到如图2所示的四棱锥B-AfCD,在图2中解答3(2)若尸在侧棱此上'BF=严,求证：二面角C-b"为直二面角.【答案】(1)4(2)证明见解析【分析】(1)利用线面垂直的判定定理确定高，再用体积公式直接求解;利用空间向量的坐标运算，证明两平面的法向量数量积等于O即可.【详解】(1)在图1中，