几何概型的经典题型与答案解析.docx
几何概型的常见题型及典例分析一.几何概型的定义1 .定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2 .特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.、十篁八中尸（八）二构成事件4的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4.古典概型和几何概型的区别和联系:（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的;两种概型的概率计算公式的含义不同.二.常见题型（一）、与长度有关的几何概型例1、在区间上随机取一个数X,CoS巴的值介于O到L之间的概22率为（）.解：在区间上随机取一个数X,即xT,l时,要使COSg的值介于r2t1-1Af/+TtTCXTC_P，Tt冗XTC0到一之间，需使-一一-一或一一-2223322777Tx-W或±xl,区间长度为±,333由几何概型知使COSR的值介于0到-之间的概率为P=符合条件的区间长度二屋.故选A.所有结果构成的区间长度23例2、如图,A,B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C,D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？ACDB解：记E：“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30X二10米，3AG1°1.P（E）=.303（二）、与面积有关的几何概型例1、ABC。为长方形，AB=ZBC=If。为48的中点，在长方形48CO内随机取一点，取到的点到。的距离大于1的概率为（）A.-B.1-C.-D.1-4488解:长方形面积为2,以。为圆心，1为半径作圆,在矩形内部的部分（半4L£圆）面积为因此取到的点到。的距离大于1的面积为2-T,则取A到的点到。的距离大于1的概率为取到的点到JO的距离大于1的面积长方形ABCQ的面积故选B.例2、在平面直角坐标系XOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为0解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），而区域E表示单位圆及其内部，因此P=注=3。答案C4×41616（三）、与角度有关的几何概型b._7例1、在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线。C,aVz/求使得ZAOC和N3OC都不小于30°的概率？解：记事件4是“做射线OC,使得ZAOC和NBOe都不小图2于30°”，ZAON=ZLBOM=ZMON=30°,则符合条件的射线OC例2、如图所示，在等腰直角.ABC中，过直角顶点。在NACB内部做一条射线CM,与线段AB交于点M,求A/<AC的概率。解析：在48上取A。=AC,连接8,则ZACD=180°45(=67.5°,记“在内部作2一条射线CM,与线段48交于点例，AMVAC”为事件A,则«75°aaP（八）=HL=4,所以，所求概率为士。9044点评：本题所求事件的本质是在NAC3内部做一条射线CM,所构成的区域是一个“角”域，故应属于几何概型中的角度之比类型；本题极易易犯的错误是，用长度的比得出Xil=I-也这一错误结果。（四）、与体积有关的几何概型例1、在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P（八）=取出的水的体积所有水的体积-=0.2.5从而所求的概率为0.2.（五）、会面问题中的概率例1、某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。解析：设事件A表示两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待，两艘外轮到的时间分别为9点到10点之间的X分、y分，则-yW20,0W-20X-y20X,y60,即4=<（刘y）,0x60,以0y609点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，事件A所对应的区域如图中阴影区域所示：所以，其概率P（八）=阴影面积/ABCD面积二5/9。例2、两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机的接收范围是25km,下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00,他们可以交谈的概率。解：设羽y为张三、李四与基地的距离X0,30,j0,40,以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对(x,y),表示区域总面积为1200,可以交谈即/+y22525万192-725241200
