12.4 复数的三角形式（分层练习） 试卷及答案.docx
第12章复数12.4复数的三角形式精选练习基础篇一、单选题1. （2022春江西南昌高一南昌县莲塘第中学校考期中）复数（Sinl00+icos 10。）（Sinl00+icos 10。）的三角形式是（）A. sin 30o + icos 30°B. cos 160o÷isin 1600C. cos 30o + isin 30°D. sin 160o + icos 160°2. （2022春新疆巴音郭楞高校考期末）任意复数z = +比（。、bR, i为虚数单位）都可以写成 z = r（cos9+isin6）Mm,其中r = 77，F（O。 2乃）该形式为复数的三角形式，其中6称为第数的辐角主值.若复数z = 3 + U,则Z的辐角主值为（） 2 2 A.-6b 7C包 ,3d3. （2022春黑龙江绥化高一校考期末）已知（l-ipz = 3+2i,则2:=（）1 3.3.3 .3A. -1 1B. -l + -iC.+ iD.22224. （2022春甘肃金昌高一永昌县第一高级中学校考期末）已知z = 2-i,则z（3+i）=（）A.6-2iB.4-2iC.6÷2iD.4+2i5. （2021春广东惠州高一校联考期中）已知Z = （I 后卜卜CoSe+ isin£j, MaFgZ=（）C九一2兀C5A.-B.-C.D.32366. （2022春广东广州高一广东实验中学校考期中）复数Z = CoS（-J + isin（-会）的辐角主值为（）8C8一 2、2A. B.C. D.55557. （2022春北京大兴高一统考期中）在复平面内，复数的共辄更数对应的点位于 I-ZB.第二象限A.第一象限C.第三象限D.第四象限8. （2021春江苏苏州高一统考期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：*=cosO+isinJ 为自然 对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三 角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，e±=（）A. 1B. 0C. -1D. 1 + Z二、多选题9. （2021春江苏南京高一南京市第二十九中学校考期末）欧拉公式*=8s0 + isin6 （其中i是虚数单位, 0R）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数 函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正 确的是（）A,复数/对应的点位于第一象限B.复数士的模长等于立1 + i2C. *为纯虚数D.尚苧+ = o10. （2022春福建莆田高一莆田一中校考期中）已知i为虚数单位，若Zl=MCOSg+isinq）,z2 =/;（cosft +isin）,，zn = ,（cos ÷isin）,则Z1Z2 Zn = rxr2 fcos（9,+ +¾）÷isin（91+ + +劣）.特别地，如果2 = z2 = = zn =r（cos + isin）,那么r（8se+isin。）" = '（CoS夕+ isin。），这就是法国数学家棣莫佛 （16671754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题箝误的是（）A.若Z = COS2+ isin2，则/二 一2+且i 662 2B.若Z=COSq+ isin?,贝Jz5=l + i一 . J 7万.l J . . 1 ril /C. zl =21 cos +1 sin I, z2 =31 cos- + sn-j-1, 则 zZ2=6 + 6,.23万.23.（ 兀.兀、 rrD. =31 cos-一sn-p-I, z2 =41 cos + sn-I,则 z1 z2 =63-6i 三、填空题II.（2022春广西钦州高一校考期末）arg（-l-i）=.2 212. （2022春安徽合肥高一合肥市第八中学校考期中）写出复数z = 6 + i的三角形式是.（辐角 0,2）13. (2022春上海嘉定高一校考期末)复数的三角形式cos + isin1的辐角主值为.14. (2022春上海闵行高一校考期末)若复数z = -6+i(i为虚数单位)，则argz=.四、解答题15. 将下列复数化为三角形式：(l)-3+i;(2)-l-3i;(3)-21 COSy+ sny I ；(4)21 Siny+ ICOSy I.16. 计算下列各式：l,( 4zr . . 4 ( 5乃.( )16 cos + sn×4 cos + sn：I 33 J I 66 Jt(2)3(s 20 +isin20 )12 (cos 50 +isin50 ) 10 (cos 80 +isin80 )；(3)(-l + i) 可CoS子+ isin?).17. 已知复数z=i(l-i)3.(1)求argz及IZll ；(2)当复数Z满足IZI = L求z-zj的最大值.18. (2021春.广东茂名.高一统考期末)已知A(1,1), 3(肛2), C(-2,3), 0(-1,)是复平面上的四个点，其中小，wR,且向量BC，4。对应的复数分别为ZI, z2.(1) z1-z2=l-i,求z, z2(2)若k+z, = 0k = 2, N?对应的点在复平面内的笫二象限，求二坐.ZIT19. (2022春福建泉州高一福建省泉州市培元中学校考期中)己知复数z = ("z+3)-(z+l)i已在复平面内对 应的点在第一象限，i是虚数单位.(1)求实数加的取值范围(2)当? = -2时，求复数Z的三角表示（3）若复平面内，向量。2对应（2）中的复数Z ,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ；,求向量OZ；对 应的复数4 （结果用代数形式表示）20. （2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中）欧拉（17071783）,他是数学史上最多产的数学 家之一，他发现并证明了欧拉公式d9=cos%isin仇从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的。 取作兀就得到了欧拉恒等式e%l=0,它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来， 两个超越数自然对数的底数%圆周率乃，两个单位虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类 伟大发现之一的0,数学家评价它是“上帝创造的公式“，请你根据欧拉公式：-0=COS升isin仇解决以下问 题：（1）将复数,+*写成+加（。，bQR, i为虚数单位）的形式；（2）求*i-* I （9R）的最大值.提升篇一、单选题1.（2022春河北张家口高一统考期末）欧拉公式eM=cose+isin9（e = 271828 ）是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知J“JrTrJTA. - + 2kk Z)B. + 2E(ZeZ)C. - + E(ZwZ) D. 一+ E(%Z)36362. （2022春吉林长春高一长春十一高校考阶段练习）在复平面内，若复数-1-5对应的点的坐标为（-1,2）,A. 1B. -1C. 2D. -254_ 11_ 5A. -B. -C.D.一乃63634. （2021春山西朔州高一统考期中）已知复数Z=正"L 则 argz=() 22C.5C 1A.-B.D.63633. （2022春河南开封高一校联考阶段练习）iz1=-l + 3i,5. （2022春上海浦东新高一校考期末）-1-曲的三角形式是（）,则argZ2=()C. 2(sin乂+ ic。SF)D. 2fc0s + isinZl(66 )166 J6. （2021春.吉林长春.高一长春十一高校考阶段练习）任何一个复数z = +历（其中力Ki为虚数单位）都可以表示成：z = "cose + isin9）的形式，通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现: z" =mcose+isin6）" = /（cos/+isine）（GN.）,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）团=IZF（2）当 r = l,时，z3 = l（3）当r = l, 6 = 9时，z=-i32 2（4）当r=1,£时，若为偶数，则复数z”为纯虚数4A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题7. （2022春福建三明高一统考期末）设复数z = ' +且"其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（） 22A.z + z = lB. Z2 = zC.z是方程2r+l = 0的一个根D.满足z"R最小正整数为38. （2022春重庆沙坪坝高一重庆八中校考阶段练习）下列关于复数Z的运算结论，正确的有（）A. zz = z2B. z2 =z2c. z1z2=z1z2d. z1+z2zl+z29. （2021春广东东莞高一东莞市新世纪英才学校校考阶段练习）已知i为虚数单位，在复平面内，复数Z =皂，以下说法正确的是（）2 + 14A,复数Z的虚部是72 4C.复数Z的共加复数是彳B. IZl=ID.复数Z对应的点位于第一象限10. （2022春江苏盐城高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）任何一个复数z = +历（其中a, 6 w R, i为虚数单位）都可以表示成：z = "cos+isin0的形式，通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： zn =r（cos<9 + isin w, = r（cos + isin7<9）（wV*）,我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说 法正确的是（）A. z2 =I 212B.当 r = 2, O = 1时，z =l-3i6C.当r = l, 6 = 2时，Z3=-ID.当r = l,?时，若为偶数，则复数z"为纯虚数三、填空题11. （2023春江苏盐城高一盐城中学校考阶段练习）将复数化为三角形式：I-i=.12. （2022春.上海青浦.高一上海市青浦高级中学校考期末）复数1 + i的辐角主值是.13. （2022春上海虹口高一校考期末）已知复数z=-5 + i,若复数Z满足2iz = z,则复数Z的辐角主值 为.14. （2022春浙江温州高一校联考期中）欧拉公式e"=cosx+isin% （i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧 拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.试用欧拉公式计算
