如何进行柯西不等式的教学(含答案).docx
如何进行柯西不等式的教学？柯西不等式是根本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的根底，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的根底上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的根底上，教科书安排了一个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这局部内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的根底，但这局部教与学的难度是显而易见的.柯西不等式£见2£；(f也)2是柯西在1931年研究数学分析中的“留数问题时得到的.r=lJ=I/=I外表上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a2-b2)(c2+d2)(ac+bd)2t几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，那么是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式，以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在起柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式KI网不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式也)2有一个推广形式：1=1I=I1=1(+%'+。/)PSJ+4,+/)，¾+a2b2+11m.其中,+工=1.该不等式称为赫尔德(Holder)不等式，当=q=2时，即为柯西不等式，是数pq学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式(闵可夫斯基不等式)也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要到达标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值"对很多同学来说是一个难点.那么，如何到达学习目的呢？1 .首先熟悉"E"的含义有很多同学十分"痛恨"E这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科(24)使用了连加号"E”,许多考生不懂，其实这个符号在课本屡次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯J'X4下方写i=l,上方写"，这里i是下标变量，1是i起始的值，是i终止的值，这时ZA=A+A?+4./=12 .柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解对于个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：设a=(4,%6=(4也,。“)，由同耳可得2(A)2.1=1J=Ir=l3 .认清柯西不等式的结构形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯诺依曼(L.J.VonNeumann)指出“大多数最好的数学灵感来源于经验"，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方".等号成立条件比拟特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想.如：例1设4,瓦。为正数，求证：+6f+7+C.bca分析,如果要运用cauchy不等式，就要联想到小的一边是“积和方形式就自然分析出只要证在2»22不等式两边同乘以a+b+c,即(。+6+。)(9-+幺+J)(+b+c)2,bca而另一边要看成“方和积，只需变形+"c=WY+(可+(研,+7÷=)2÷)2÷2-应用柯西不等式，得Mb2cl即一+a+h+c.bca4 .含有常数的不等式处理方法在不等式中含有常数，这个常数一般与cauchy不等式中向量的维数有关，通常把n写成I2+12+I2+I2的形式或1+1+1的形式,又如：例2证明：W+zz+d+/yaw+r+d+/)分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“/+/+/+产”，用柯西不等式：+尸+c3+/(12+12+12+2),6+加+?+J6)即可.例3设4是实数，对任意实数X,z恒有(x2+y2+z2)24(/+yl+Z")成立，试求Zi的取值范围.分析：与柯西不等式的一般形式比拟，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方和积"即可，由于+y2+z2)2(12+r+2)(f+y4+z4),所以，3.例4求三个实数x,y,z,使得它们同时满足以下方程2x+3y+z=134x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得(2x)2+(3y+3y+(z+2)2=108.由第1个方程变形，得2x+(3y+3)+(z+2)=18于是由柯西不等式，得=弁.从而由等号成立的条件可得2x=3y+3=z+2=6,故原方程的解为x=3,y=l,z=4.提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy不等式等号成立的条件.5 .在应用CaUChy不等式求最值时，要善于构造例52001年全国初中联赛题)求实数小y的值，使得(y-l)2+(x+y-3+(2x+y-6)2到达最小值.分析：就需要把(y-iy+(x+y-3)2+(2x+y-6看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子2x+y-6对应的坐标为1,考虑x+>-3乘以-2就可以把X抵消，因此-2就是x+>-3对应坐标，最后看l×(2x+y-6)+(-2)×(x÷j-3)=-j,因此y-l对应的坐标为1,从而就有CaUChy不等式：l×(y-l)+(-2)(x+y-3)+l×(2x+y-6).,-1)+(jv+y-3)2+(2x+y6)".例6假设54+W-7c+4d=l,求3+2+502+d2的最小值,并指出等号成立的条件.分析：由于,b,c,d各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求3/+2从+5。2+2的最小值，一定要把%2+2+502+/看成“方和积”的一局部，而条件5。+667c+4J是常数，它一定是“积和方”的一局部.而且使用柯西不等式不受-7c这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.6 .知识小结1 .二维形式的柯西不等式：假设4,0,gd都是实数，那么("+加。？+d)(c+仇/丫，当且仅当Qd=OC时，等号成立.2 .柯西不等式的向量形式：设,夕是两个向量，那么.23,当且仅当仅是零向量或存在实数左，使=S时，等号成立.3 .二维形式的三角不等式：设x1,y1,x2,y2?,÷x+b+y；-2)2+(y1-y2)24 .三维形式的柯西不等式：设风,4，4,么,白是实数，那么当且仅当=0(i=l,2,3)或存在一个数%,使得区=幼(i=1,2,3)时等号成立.5 .一般形式的柯西不等式：设GM2Ma，见，乙也也，也是实数，那么(2+a2+4：%；+b；+Z)(/+”)当且仅当b=0(z=1,2,h)或存在一个数k,使得q=左G=1,2,)时等号成立.7 .应用举例例13+2y26,求证：2jc+y(11.证明：由柯西不等式得所以2x+yJTL.,ab+2bc+cdV2+1例2设。,0,c,d是4个不全为零的实数，求证：；7a+c+J2证明：ab+2bc+cd=(ab+cd)+(be-ad)+(be+ad)ab+2bc+cd41+1所以1;；7a2+fo2+c2+J22例3假设3x+4y=2,试求A：*+V的最小值及最小值点.解：由柯西不等式得(£+y32+42)(3x+4)y,/、4得25(+V)4,所以E+y5-.当且仅当2=2时等号成立,34为求最小值点，需解方程组3x + 4y = 23 46x = 一258 y =25即当了 = ,y 时，k + y-的最小值为，最小值点为 9252525(2525/例4a,bH且Q+h=L求证：(x+byr2+by2那么证明：设m=Q7x,4iy),n=b%,M.(ax+by)2r2+by2.Tt例5假设X 0,-I 2.值.,试求函数f(X)=3cosX+4l+sin2x的最大值，并求出相应的X的解：设An=(3,4),t=(COSX,Jl+sin?),那么当且仅当机时，上式取“=",此时31+sin2%=4cosx，解得/y.工当x=arcsin彳时，函数/(x)=3cosx+4Jl+sin?x取最大值5叵.例6设x,y,z是正数，证明:I + yz + zx)0r + 01 + zx + xy + xy+ yzy+ Z + X)21.证明：由柯西不等式得z(x÷y)+l+1 > (x ÷ y +1)2.所以同理 + zx + xy(l + y+z)2 x+ y + z1 ÷ xy + yz (1 + x + z)2x+ y + z将三个不等式相加，得1 + ZX + * + 1 + xy + yz1 + yz + ZX(l + x+y)2 4 (l÷ + z)2 (1÷ z + %)21.1+yz+ZXZ(1+%+y)2X+y+z说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.例7解方程V4x+3+212x=J15.解：原方程变形为其中等号成立的重要条件是十二=22解得x=-l.3说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.例8m个互不相同的正偶数与个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有这样的相、，问3m+4的最大值是多少？试证明你的结论.解：设区（i=l,2,m）为互不相同的正偶数，2C=l,2,），那么a+a-a2+4+2m,I2b,+b,Tkb1+3hF(2n-1),(+,41生)+(+b,+)=1987,由上述三式可得机（机+1）+？1987,即（m+g+n21987÷.由柯西不等式得，+1+；+力（3'+夕）.即,机+4,z+g(1987+;×5,.*.3m + 4 53<222. 3m + 4九22L2又当机=27,=35时，+4=221且满足加(加+l)+f
