奥数知识点汇总(初一).docx

奥数知识点汇总初一第一章整数一、整数的几种表示方法：选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的根本方法之一。它是解决整数问题的前提。1、整数的多项式表示法：任何一个十进制的正整数N都可表示为：N=an×On+a,X10,-l+/X1°?+4X10+小，这里、a,、出、a'/各取于O9这十个数字中的任何一个。如果N是一个n+1位正整数，那么产0。为了方便，也可将N简记作N=。_%。这种表示法称为整数的多项式表示法。整数最左边的一位数字/叫做整数N的首位数字，最右边的一位数字为叫做整数N的末位数字。2、整数的质因数连乘积表示法：(1)算术根本定理一一每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起(相同因数的积写成基的形式)，那么这种分解方法是唯的。这就是说，任何一个整数N(N>l),都能唯一地表示成下面的形式：其中Q1,a2,%为自然数，P，P2，P”为质数，并且P<P2<<PnO这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N的标准分解式。(2)约数个数定理个整数N(N>l),如果它的标准分解式为N二以32琮“,那么它的约数个数为(l+a1)(l+a2)(l+a,)o另外，如果一个正整数N的约数个数是奇数，那么这个正整数N是完全平方数。3、整数的带余式表示法：如果整数a除以正整数m所得的商是q,余数是r,那么a=mq+r,其中q、都为整数，并且OWrm-lo这种表示法称为整数的带余式表示法。如果整数a、b分别除以正整数m所得得余数都是r,BRa=mp+r,b=mq+r(p、q为整数)，那么称a,b对于模m同余，记作a三b(modm)。容易推知对于模m而言，与a同余的一一切整数可以表示为mt+r(t为整数)，这里r=0,1,，m-lo把所有这样的整数作为一类，称为以m为模的一个同余类。一般地，对于模m而言，应当有m个同余类存在，可分别表示为：mt,mt+l,mt÷2,mt+(m-1)It为整数任何一个整数必定属于并且也仅属于其中一个同余类。这样一切整数就可以按照模m进行同余分类，把无数个整数分成有限个同余类，为我们解决问题带来方便。特别地，按模2分类，就得奇数与偶数两类；例如按模3分类，就有三个同余类：3t,3t+13t+2It为整数)。有时将3t+2写成3t1。二、数的整除特性：任意两个整数相加、减、乘的结果都是整数，但两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘的运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的。这样就出现了整除与余数的两个概念。1、整除的定义：对于整数a、b(b0),如果a除以b得到的商是一个整数q,即a÷b=q或a=bq,那么称a能被b整除，或称b能整除a,记作/z,此时a叫做b的倍数，b是a的因数；如果b不能整除a,记作ba2、数的整除的假设干性质：根据整除的定义，有如下性质：(1)如果ac»m,n为整数，3½a(mb±nc).(2)如果b,bc,那么卜。(3)如果怜°,且a、b互质，那么Hc。如果cb,且a,c互质，那么区。(5)n个连续整数的连乘积，一定能被1X2X3Xn整除。3、数的整除特征：(1)能被2(或5)整除的数的特征：个位数字能被2(或5)整除。(2)能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。(3)能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能被8(或125)整除。(4)能被3(或9)整除的数的特征：各位数字之后能被3(或9)整除。(5)能被11整除的数的特征：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除。(6)能被7、11、13整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被7、11、13整除。例如，判别34425391能否被7、11、13整除，先从后往前分节，得34,425,391。奇位千进位数段之和为34+391=425,偶位前进位数段之和为425,两者之差为425425=0。因为0能被7、11、13整除，所以34425391能被7、11、13整除。上述性质与特征是解决整除问题的重要理论依据。解决整除问题常用的方法有：利用数的整除特征,凑连续整数乘积法，整数的多项式表示法，按同余分类整数表示法、考虑余数法、奇偶性分析法等等。4、质数与合数：一个大于1的正整数a,如果只有1和a这两个约数，那么a叫做质数，也叫做素数；如果除了1和a这两个约数外，还有其他正约数，那么a叫做合数。这样，自然数按约数的个数可分为0、1、质数和合数四类。在关于质数与合数的问题中，除了广泛运用它们的定义外，还要运用如下关于质数与合数的性质：(1)质数有无穷多个，最小的质数是2,不存在最大的质数。(2)除2以外的全体偶数是合数，除2以外的全体质数是奇数。(3)任何大于1的自然数都可以分解成质因数的乘积，即N=P:'(N为大于1的自然数，P,P2,P,为质数，4，%，&为正整数)。如果不考虑这些质因数的顺序，这种分解方法是唯一的。质数与合数问题是数论中的另一个根本问题，解决的常用方法有质数分析法、分解质因数法、余数法、因式分解法等等。5、最大公约数与最小公倍数：假设卬生,。是不全为零的整数，并且4力/何，力。，那么d叫做4，%的公约数。公约数中最大的数叫做这n个数的最大公约数，记作(%,%，%)=do假设4，。2，。都是正整数，且(,。2，)=1，那么称4，。2，%这n个数互质或互素。互质的数不一定都是质数，但几个不同的质数一定互质。假设q,生，-q和m均为正整数，且4忸,|，anm,那么称m是4,4，”的公倍数。公倍数中最小的数叫做这n个数的最小公倍数，记作,出，4=机。有关最大公约数和最小公倍数的性质如下：如果目。，那么(a,b)=b,a,b=a0如果(a,b)=d,那么(ka,kb)=kd,(-,-)=1Ik为正整数)。dd(3)如果a,b=m,那么ka,kb=km,(,)=1Ik为正整数，c为a,b的公约数)。ccJcab(4)如果(a,b)=1,那么(a,be)=(a,c)(5)如果(a,b)=d,a,b=m,那么ab=md,或者m=电，dodm6、整数问题：整数有三种表示方法：多项式表示法、质因数表示法与带余式表示法。要会灵活运用整数各种表示法解题。解决整数问题，余数法、反证法、奇偶性分析、抽屉原理是常用方法。7、奇数与偶数：在整数中，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常把奇数记为2n+l,把偶数记为2n,这里n为整数。要注意0也是偶数。一切整数分成两大局部：奇数和偶数。一个奇数和一个偶数不会相等，这种数的奇偶性是整数最根本的性质。奇数与偶数有以下一些重要性质：(1) 奇数加奇数，其和是偶数；奇数加偶数，其和是奇数；偶数加偶数，其和是偶数。一般地奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和总是偶数。(2) 奇数减奇数，其差是偶数；奇数减偶数或偶数减奇数，其差都是奇数；偶数减偶数，其差是偶数。(3) 奇数乘奇数，其积是奇数；奇数乘偶数，其积是偶数；偶数乘偶数，其积是偶数。一般地，N个奇数的积是奇数；几个整数相乘，如果其中有偶数，那么乘积是偶数。(4) 如果一个偶数被奇数整除，那么其商是偶数；如果一个奇数能被一个奇数整除，那么其商是奇数。对于奇数、偶数的上述四条性质，通常称为奇偶性原理。在解决一些有关整数问题时，灵活而巧妙地运用这些性质，再加上正确的推理分析，在解题中会收到较好的效果。第二章整式1、有理数及其运算技巧：在自然数、正分数的根底上引入负数后，数集就扩大到了有理数范围。也就是说，整数和分数统称为有理数。有理数通常可表示成分数己形式，这里m,n都是整数，且mWO。m四那么运算对有理数是封闭的，即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不为零）结果的和、差、积、商仍为有理数。有理数可以作以下两种分类：r正整数'整数零I负整数有理数r正有限小数r正分数正无限循环小数位数*分数本有限小数I负无限循环小数rr正整数正有理数t正分数零有理数负有理数乖整数I负分数有捻数可以比拟大小，任意两个有理数之间都有无穷府哦个有理数，有理数的巧算是一种根本的运算技巧。巧算的关键是从整体上观察算式和其中每个数的特点，寻求一定的规律，以简化计算工作量。常用方法有：1、分组计算（凑整法、应用运算定律、应用添（去）括号）；2、拆项法【=n（n+l）nn+11/1、11/11、=-II=-IJ-(，+&)knn+kn(n+l)(n+2)2(11+1)(n+l)(+2)5-1)；3、换元计算；4、倒写相加或叫反序求和法；5、错位相减法;(n-a)(n-b)a-bn-an-b6、探索规律法；7、应用累的性质；7、逆向思维法。2、乘法公式：一般常用的乘法公式有：(1) =a2-b2；(2) (a±b)2=a2±2ab+b2；(3) (a+b)3=a3+3a1b+3ab2+b3；(4) (a-b)3=a3-3a1b+3ab2-b3；(5) (+Z>)(a2-abvb2)=a3+b3；(6) (a-b)(a2-ab+b2)=a3-b3；(7) (tz+?+c)2=«2+Z?2+c2+2ab+2bc÷2ac在熟练掌握上述根本公式的根底上，将这些公式变形逆用可得下面的重要公式:(1) a2+b2=(a+b)2-2ab,或者/+从=(。一切2+？心：(2) (+/?)2-(a-b)2=4ab；(3) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(2+b2+c2-ab-bc-ac)；(4) tz3+b3=(a+b)(a2-ab+b)；(5) a3-b3=(a-b)(a2+ab-b1)；(6) a2+Z?2+c2-bc-c=(-/O?+(b-c)2+(c-1)23、整式的运算与求值：整式的运算就是将一个整式通过恒等变形变换成另一个与之恒等的式子。它包括代数式的化简、求代数式的值等。在初中数学竞赛中，代数式的运算与求值是两个根本内容，其方法灵活多变，技巧性强。所以进行整式的运算与求值除了掌握一些根本方法外，还应掌握一些典型的技巧和特殊的方法。常用方法有：(1)、观察找规律；(2)、整体代入法；(3)、拆添项法；(4)、套用公式法等等。4、整式的恒等变形：恒等式分为两类：一般恒等式和条件恒等式。例如S+/?)?=+2b+/，不管a、b取任何实数,等式总能成立，称这类等式为一般恒等式。又如，当a+b=O时，a2-b2=O,这个等式对任意a、b的值并不成立，仅当满足a+b=O时才成立，称这类等式为条件恒等式。在初中数学竞赛中，恒等变形是重要的根本内容之一。所谓恒等变形是指在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式。恒等变形方法灵活多变，技巧性也很强。常用方法和技巧有：(1)配方法；(2)换元法；(3)代入法；(4)差、商比拟法(作差法、作商法)；(5)消元法；5、有理数的表示法及其应用：有限小数或无限循环小数叫做有理数。有理数总可以表示成既约分数K(其p、q是没有公因数的q整数，且q#0)。例如，-=0.5,-=0.6,。23第三章一次方程与一次不等式一元一次方程的一般表达式：ax=b(a、b均为常数)