关于连续自然数的k次方和.docx

关于连续自然数的k次方和学夫子偶然之间想到，也许这个方法比拟有用，对于解决连续自然数的k次方和问题。这个问题我想是每一个学过中学课程的朋友都想过的，我在？阿尔哈曾公式？一文里提到过一种方法。今天来介绍另外一种，应该算是比拟简单的一种。那就是用待定系数法。我们首先必须要明白的是下面一个道理：一：假设记f(n)=lk+2k+3k+nko那么f(k)一定是一个次数为k+1的多项式，也就是f(n)可以写成下面的形式f(n)=A0+Aln+A2n2÷A3n3+ak+lnk+l知道了这个的话，我们就可以通过待定系数法求出f(n)的各项系数就行了，从而求出f(n)确实定表达式。除了这个外，我们可以预先了解一些这个多项式的性质。1：第一个性质就是,AO=Oo为了证明这个，我们可以记f(n)=0k+lk+2k+3k+nko也就是n的范围扩大到自然数，而不仅仅是正整数。显然这不影响f(n)的表达式，从而f(n)仍然为A0+Aln+A2n2+A3n3+ak+lnk+1。假设取n=0,那么f(n)=O,从而知道AO=Oo2：f(n)的系数之和Al+A2+A3÷+AK+1=1这个证明和1一样，你取n=l就行了，这个性质可以拿来检验结果。因此,f(k)=Aln+A2n2+A3n3+ak+lnk+l。我们可以通过性质1得到一个数论里的结果f(n)=lk+2k+3k+nk一定能被n整除，其中n取自然数。二：应用举例我们就来看看上面的性质的具体应用吧！例1：计算f(1)=1+2+3+n¾f(n)=An+Bn2.f(1)=1,f(2)=3,所以有A+B=l2A+4B=3解得A=l2,B=12,从而f(n)=l2n÷l2n2例2：计算f(n)=13+23+33+n3同样，我们设f(n)=An+Bn2+Cn3+Dn4,f(1)=1,f(2)=9,f(3)=36,f(4)=1OO,所以：A+B+C+D=l2A+4B+8C+16D=93A+9B+27C÷81D=364A+16B+64C+256D=IOo解得：A=O,B=14fC=l2,D=1/4从而得到f(n)的表达式。通过上面的两个例子可以看出，越到后面，计算量越大。不过如果学过线性代数的话，可以通过行列式的理论来解这个方程组，那样会显得很简单。不管如何，这终究是个不错的方法。(